第二章 第八节

第八节函数与方程1函数的零点函数零点的概念对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点方程的根与函数零点的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点函数零点的存在性定理函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，若f(a)f(b)0，则yf(x)在(a，b)内存在零点2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系b24ac000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无零点个数01判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()(4)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2二次函数f(x)ax2bxc(xR)的部分对应值如下表：x32101234y6m4664n6可以判断方程ax2bxc0的两根所在的区间是()A(3，1)和(2,4)B(3，1)和(1,1)C(1,1)和(1,2) D(1,3)和(4，)解析：选A由表格可得二次函数f(x)的对称轴为x，a0.由f(3)f(1)0，f(2)f(4)0，可得f(x)的零点所在区间为(3，1)和(2,4)，即方程ax2bxc0的两个根所在区间是(3，1)和(2,4)3函数f(x)ln x的零点所在的大致区间是()A(1,2) B(2,3)C.和(3,4) D(4，)解析：选B易知f(x)为增函数，由f(2)ln 210，f(3)ln 30，得f(2)f(3)0，故函数f(x)的零点所在的大致区间为(2,3)4函数f(x)xx的零点个数为()A0 B1C2 D3解析：选B函数f(x)xx的零点个数是方程xx0的解的个数，即方程xx的解的个数，也就是函数yx与yx的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示，可得交点个数为1.5若函数f(x)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是_解析：由题意知2ab0，即b2a.令g(x)bx2ax0，得x0或x.答案：0，6若函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_解析：当a0时，函数f(x)1在(1,1)上没有零点，所以a0.所以函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(1)f(1)0，即(3a1)(1a)0，所以(a1)(3a1)0，解得a1，所以实数a的取值范围是.答案：考什么怎么考高考中对函数零点所在的区间的考查主要以选择题、填空题形式出现，体现了基本概念的灵活运用，难度不大.1(2018烟台模拟)函数f(x)ln(x1)的一个零点所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析：选Bf(x)在(0，)上为增函数，且f(1)ln 210，f(x)的零点所在区间为(1,2)，故选B.2设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4) 解析：选B函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的范围作出两函数图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)故选B.3若x0是方程xx的解，则x0属于区间()A. B.C. D.解析：选C令g(x)x，f(x)x，则g(0)1f(0)0，gf，gf，结合图象可得x0.4函数f(x)x23x18在区间1,8上_(填“存在”或“不存在”)零点解析：法一：f(1)123118200，f(1)f(8)0)，yln x(x0)的图象如图所示由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.2函数f(x)的零点个数是()A0 B1C2 D3解析：选C当x0时，令f(x)0，即x22x0，解得x2或x0(舍去)所以当x0时，只有一个零点；当x0时，f(x)exx2，而f(x)ex1，显然f(x)0，所以f(x)在0，)上单调递增，又f(0)e00210，f(2)e240，所以当x0时，函数f(x)有且只有一个零点综上，函数f(x)只有两个零点，故选C.函数零点的应用主要是利用函数零点的存在性定理求相关参数值或范围.多以选择题、填空题的形式出现，体现了化归的数学思想，题目难度较大.典题领悟已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)a|x2|a，其中a0，且为 常数若函数yf(f(x)有10个零点，则a的取值范围是_学审题可知函数f(x)的图象关于y轴对称；由f(x)0，得x1或x3；等价于函数yf(x)的图象与直线y1和y3共有10个交点解析：当x0时，令f(x)0，得|x2|1，即x1或x3.因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)的零点为x1或x3.令f(f(x)0，则f(x)1或f(x)3.因为函数yf(f(x)有10个零点，所以函数yf(x)的图象与直线y1和y3共有10个交点由图可知1a3.答案：(1,3)解题师说利用函数零点求参数范围的思路方法及步骤(1)常规思路已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题(2)常用方法(3)一般步骤 冲关演练1若函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3)B(1,2)C(0,3) D(0,2)解析：选C因为函数f(x)2xa在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0，解得0a0，f(2)3log2220，f(4)log240，f(3)0，f(5)0时，f(x)3x1有一个零点x，所以只需当x0时，exa0有一个根即可，即exa.当x0时，ex(0,1，所以a(0,1，即a1,0)，故选D.7已知函数f(x)a的零点为1，则实数a的值为_解析：由已知得f(1)0，即a0，解得a.答案：8函数f(x)exx2的零点有_个解析：f(x)在R上单调递增，又f(0)120，函数f(x)有且只有一个零点答案：19已知f(x)则其零点为_解析：当x0时，由f(x)0，即xln x0得ln x0，解得x1；当x0时，由f(x)0，即x2x20，解得x1或x2.因为x0，所以x1.综上，函数的零点为1，1.答案：1，110设函数yx3与yx2的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_解析：设f(x)x3x2，则x0是函数f(x)的零点，在同一平面直角坐标系下作出函数yx3与yx2的图象如图所示因为f(1)1110，f(2)8070，所以f(1)f(2)0，所以x0(1,2)答案：(1,2)B级中档题目练通抓牢1已知函数f(x)则函数yf(x)x4的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：选B函数yf(x)x4的零点个数，即函数yx4与yf(x)的图象的交点的个数如图所示，函数yx4与yf(x)的图象有两个交点，故函数yf(x)x4的零点有2个故选B.2(2018云南第一次统一检测)已知a，b，c，d都是常数，ab，cd.若f(x)2 018(xa)(xb)的零点为c，d，则下列不等式正确的是()Aacbd BabcdCcdab Dcabd解析：选Df(x)2 018(xa)(xb)x2(ab)xab2 018，又f(a)f(b)2 018，c，d为函数f(x)的零点，且ab，cd，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可知cabd，故选D.3(2017山东高考)已知当x0,1时，函数y(mx1)2的图象与ym的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A(0,12，) B(0,13，)C(0， 2，) D(0， 3，)解析：选B在同一平面直角坐标系中，分别作出函数f(x)(mx1)2m22与g(x)m的大致图象分两种情形：(1)当01时，01，如图，要使f(x)与g(x)的图象在0,1上只有一个交点，只需g(1)f(1)，即1m(m1)2，解得m3或m0(舍去)综上所述，m(0,13，)4已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_解析：作出f(x)的图象如图所示由于函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得0m1，即m(0,1)答案：(0,1)5方程2x3xk的解在1,2)内，则k的取值范围为_解析：令函数f(x)2x3xk，则f(x)在R上是增函数当方程2x3xk的解在(1,2)内时，f(1)f(2)0，即(5k)(10k)0，解得5k0，f(3)0，f(5)0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数yf(x)在区间1,6上的零点至少有3个3.(2018四川双流中学必得分训练)函数f(x)2x2x的零点所处的区间是()A2，1 B1,0C0,1 D1,2解析：选Bf(2)222(2)0，f(1)212(1)0，由零点存在性定理知，函数f(x)的零点在区间1,0上故选B.4.(2018甘肃天水一中月考)已知函数f(x)ln xax2ax恰有两个零点，则实数a的取值范围为()A(，0) B(0，)C(0,1)(1，) D(，0)1解析：选C由题意，显然x1是函数f(x)的一个零点，取a1，则f(x)ln xx2x，f(x)0恒成立则f(x)仅有一个零点，不符合题意，排除A、D；取a1，则f(x)ln xx2x，f(x)，令f(x)0，得x1，则f(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，f(x)maxf(1)0，即f(x)仅有一个零点，不符合题意，排除B，故选C.5(2018云南第一次统一检测)已知a，b，c，d都是常数，ab，cd.若f(x)2 018(xa)(xb)的零点为c，d，则下列不等式正确的是()Aacbd BabcdCcdab Dcabd解析：选Df(x)2 018(xa)(xb)x2(ab)xab2 018，又f(a)f(b)2 018，c，d为函数f(x)的零点，且ab，cd，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可知cabd，故选D.6函数f(x)exx2的零点有_个解析：f(x)在R上单调递增，又f(0)120，函数f(x)有且只有一个零点答案：17已知f(x)则其零点为_解析：当x0时，由f(x)0，即xln x0得ln x0，解得x1；当x0时，由f(x)0，即x2x20，解得x1或x2.因为x0，所以x1.综上，函数的零点为1，1.答案：1，18已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_解析：作出f(x)的图象如图所示由于函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得0m1，即m(0,1)答案：(0,1)9.已知函数f(x)x3x2.求证：存在x0，使f(x0)x0.证明：令g(x)f(x)x.g(0)，gf，g(0)g0.又函数g(x)在上是连续不断的曲线，存在x0，使g(x0)0，即f(x0)x0.10已知yf(x)是定义域为R的奇函数，当x0，)时，f(x)x22x.(1)写出函数yf(x)的解析式(2)若方程f(x)a恰有3个不同的解，求a的取值范围解：(1)设x0，则x0，所以f(x)x22x.又因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)x22x.所以f(x)(2)方程f(x)a恰有3个不同的解，即yf(x)与ya的图象有3个不同的交点作出yf(x)与ya的图象如图所示，故若方程f(x)a恰有3个不同的解，只需1a1，故a的取值范围为(1,1)B级拔高题目稳做准做1.已知x0是f(x)x的一个零点，x1(，x0)，x2(x0,0)，则()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0，f(x2)0Cf(x1)0，f(x2)0 Df(x1)0，f(x2)0解析：选C因为x0是函数f(x)x的一个零点，所以f(x0)0，因为f(x)x在(，0)和(0，)上是单调递减函数，且x1(，x0)，x2(x0,0)，所以f(x1)f(x0)0f(x2)2.设函数f(x)exx2，g(x)lnxx23.若实数a，b满足f(a)0，g(b)0，则()Ag(a)0f(b) Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b) Df(b)g(a)0解析：选A因为函数f(x)exx2在R上单调递增，且f(0)120，所以f(a)0时，a(0,1)又g(x)ln xx23在(0，)