高中数学第一章基本初等函数II1.2任意角的三角函数1.2.2单位圆与三角函数线课件

1 2 2单位圆与三角函数线 一 二 一 单位圆 正射影 问题思考 2 哪个圆是单位圆 提示 O1 一 二 2 填空 设角 的顶点在圆心O 始边与x轴的正半轴重合 终边与单位圆相交于点P 过点P作PM垂直x轴于点M 作PN垂直y轴于点N 则点M N分别是点P在x轴 y轴上的正射影 简称射影 如图所示 一 二 二 三角函数线 问题思考 1 设单位圆的圆心与坐标原点重合 则单位圆与x轴的交点分别为A 1 0 A 1 0 而与y轴的交点分别为B 0 1 B 0 1 角 终边与单位圆的交点为P 1 试求点P的坐标 提示 P cos sin 2 能否用向量表示sin cos tan 提示 过P作x轴 y轴的垂线 垂足分别为M N 过点A作单位圆的切线 交 的终边 或终边的反向延长线 于点T 一 二 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的打 错误的打 1 单位圆的圆心必在原点 2 三角函数线是有向线段 3 作正切线时 可以将点A放在单位圆与x轴负半轴的交点处 答案 1 2 3 探究一 探究二 探究三 易错辨析 作出三角函数线 例1 在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 反思感悟三角函数线的应用三角函数线可以用来求出满足形如f m的三角函数的角 的终边 体现了对三角函数线的深刻理解 同时这也是利用三角函数解决问题的关键 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 利用三角函数线解不等式 例2 在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围 并由此写出角 的集合 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 利用三角函数线比较大小 例3 若 则下列各式错误的是 填序号 sin cos 0 sin 0 解析 画出单位圆如图所示 借助三角函数线进行判断 由图可观察出 当时 sin 0 cos 0 且 sin cos 所以 正确 错误 答案 探究一 探究二 探究三 易错辨析 反思感悟通过此题 我们发现三角函数线在解决一些与三角函数有关的不等式 比较大小等问题时十分快捷有效 所以我们要熟练地画出一个角的三角函数线 结合图形对比得出结论 这也是数形结合思想的很好体现 探究一 探究二 探究三 易错辨析 变式训练2cos1 sin1 tan1的大小关系是 A sin1 cos1 tan1B sin1 tan1 cos1C cos1 tan1 sin1D cos1 sin1 tan1解析 作出单位圆 用三角函数线进行求解 如图所示 有OM MP AT 即cos1 sin1 tan1 故选D 答案 D 探究一 探究二 探究三 易错辨析 易错点 因忽视角的终边在坐标轴上而致误 典例 利用三角函数线证明 sin cos 1 错解 证明如图所示 MP sin OM cos 根据三角形中两边之和大于第三边 易知 sin cos 1 错因分析 上述解法忽视了角 的终边在坐标轴上的情况 并且正弦线 余弦线是有方向的 不能写成MP sin 和OM cos 探究一 探究二 探究三 易错辨析 正解 证明当角 的终边在x 或y 轴上时 正弦线 或余弦线 变成一个点 而余弦线 或正弦线 的长等于r r 1 所以 sin cos 1 当角 的终边落在四个象限时 如图 利用三角形两边之和大于第三边 有 sin cos MP OM 1 综上 有 sin cos 1 纠错心得要证明一个问题是正确的 我们必须把它所包含的所有情况逐一说明 若漏掉一种情况 整个证明过程就是不严密的 探究一 探究二 探究三 易错辨析 1 已知角 的正弦线是单位长度的有向线段 则角 的终边 A 在x轴上B 在y轴上C 在直线y x上D 在直线y x或y x上答案 B2 已知 在单位圆中角 的正弦线 余弦线 正切线分别是a b c 则它们的大小关系是 A a b cB c a bC c b aD b c a答案 B 3 已知角 的余弦线长度不大于角 的正