初中数学中考试题研究《方案设计试题综合》

初中数学中考试题研究初中数学中考试题研究 方案设计综合试题方案设计综合试题 应用方程 组 不等式 组 解决方案设计型应用方程 组 不等式 组 解决方案设计型 例例 1 1 2009 益阳 开学初 小芳和小亮去学校商店购买学习用品 小芳用 18 元钱买了 1 支钢笔和 3 本笔记本 小亮用 31 元买了同样的钢笔 2 支和笔记本 5 本 1 求每支钢笔和每本笔记本的价格 2 校运会后 班主任拿出 200 元学校奖励基金交给班长 购买上述价格的钢笔和笔记本共 48 件作为奖品 奖给校运会中表现突出的同学 要求笔记本数不少于钢笔数 共有多少种 购买方案 请你一一写出 解析 解析 此类试题一般涉及二元一次方程组 不等式组在实际问题中的应用 以两人的用的 总钱数为等量关系 可以列出方程组 第二问注意 不少 的含义可以根据总钱数和钢笔 与笔记本的数量关系列出不等式组 解解 1 设每支钢笔x元 每本笔记本y元 依题意得 解得 3152 183 yx yx 5 3 y x 所以 每支钢笔 3 元 每本笔记本 5 元 2 设买a支钢笔 则买笔记本 48 a 本 依题意得 解得 所以 一共有 种方案 aa aa 48 200 48 53 2420 a 即购买钢笔 笔记本的数量分别为 20 28 21 27 22 26 23 25 24 24 点评 点评 解决问题的基本思想是从实际问题中构建数学模型 寻找题目中的等量关系 或不 等关系 列出相应的方程 或不等式组 同步检测 1 1 2009 安顺 在 五一 期间 小明 小亮等同学随 家长一同到某公园游玩 下面是购买门票时 小明与他 爸爸的对话 如图 试根据图中的信息 解答下列问题 1 小明他们一共去了几个成人 几个学生 2 请你帮助小明算一算 用哪种方式购票更省钱 说明理由 2 2 2009 益阳 开学初 小芳和小亮去学校商店购买学习用品 小芳用 18 元钱买了 1 支 钢笔和 3 本笔记本 小亮用 31 元买了同样的钢笔 2 支和笔记本 5 本 1 求每支钢笔和每本笔记本的价格 2 校运会后 班主任拿出 200 元学校奖励基金交给班长 购买上述价格的钢笔和笔记本共 48 件作为奖品 奖给校运会中表现突出的同学 要求笔记本数不少于钢笔数 共有多少种 购买方案 请你一一写出 练习参考答案 练习参考答案 1 1 解 解 1 设成人人数为x人 则学生人数为 12 x 人 则 35x 2 35 12 x 350 解得 x 8 故 学生人数为 12 8 4 人 成人人数为 8 人 2 如果买团体票 按 16 人计算 共需费用 35 0 6 16 336 元 336 350 所以 购团体票更省钱 所以 有成人 8 人 学生 4 人 购团体票更省钱 2 2 解解 1 设每支钢笔x元 每本笔记本y元 依题意得 解得 3152 183 yx yx 5 3 y x 所以 每支钢笔 3 元 每本笔记本 5 元 2 设买a支钢笔 则买笔记本 48 a 本 依题意得 解得 所以 一共有 种方案 aa aa 48 200 48 53 2420 a 即购买钢笔 笔记本的数量分别为 20 28 21 27 22 26 23 25 24 24 二 应用函数设计方案问题 二 应用函数设计方案问题 例例 2 2 2009 安徽 1 请说明图中 两段函数图象的实际意义 2 写出批发该种水果的资金金额 w 元 与批发量 m kg 之间的函数关系式 在下图 的坐标系中画出该函数图象 指出金额在什么范围内 以同样的资金可以批发到较多数量 的该种水果 3 经调查 某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图 2 所 示 该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果 且当日零售价不变 请你帮助该经销商设计 进货和销售的方案 使得当日获得的利润最大 解析解析 此类试题结合函数图像所提供的信息 对信息加工应用 可以求出函数解析式 分 析题意 根据 销售利润 日最高销售量 每千克的利润 每千克的利润 零售价 批yx 发价 由此整理可得到关于的二次函数 yx 解解 图 表示批发量不少于 20kg 且不多于 60kg 的该种水果 可按 5 元 kg 批发 图 表示批发量高于 60kg 的该种水果 可按 4 元 kg 批发 2 由题意得 函数图象略 2060 60 5 4 mm w mm 由图可知资金金额满足 240 w 300 时 以同样的资金可批发到较多数量的该种水果 3 设日最高销售量为xkg x 60 则由图 日零售价p满足 于是32040 xp 320 40 x p 销售利润 当x 80 时 此时p 6 2 3201 4 80 160 4040 x yxx 160y 最大值 即经销商应批发 80kg 该种水果 日零售价定为 6 元 kg 当日可获得最大利润 160 元 点评 点评 注重数形结合 领会通过图形所传递的信息 以及二次函数顶点的意义的理解与应 用 同步检测 3 3 2009 四川省南充市 某电信公司给顾客提供了两种手机上网计费方式 方式A以每分钟 0 1 元的价格按上网时间计费 方式B除收月基费 20 元外 再以每分钟 0 06 元的价格按上网时间计费 假设顾客甲一个月手机上网的时间共有分钟 上网费用x 为元 y 1 分别写出顾客甲按A B两种方式计费的上网费元与上网时间分钟之间的函数关yx 系式 并在图 7 的坐标系中作出这两个函数的图象 2 如何选择计费方式能使甲上网费更合算 10 10 0 y 元 O 图 7 x 分 练习参考答案 练习参考答案 练习练习 3 3 1 方式A 0 1 0 yx x 方式B 两个函数的图象如图所示 0 0620 0 yxx 2 解方程组 得 0 1 0 0620 yx yx 500 50 x y 所以两图象交于点P 500 50 由图象可知 当一个月内上网时间少于 500 分时 选择方式A省钱 当一个月内上网时间 等于 500 分时 选择方式A 方式B一样 当一个月内上网时间多于 500 分时 选择方式 B省钱 三 三 设计图形剪拼方案设计图形剪拼方案 例例 3 3 2009 浙江省温州市 在所给的 9 9 方格中 每个小正方形的边长都是 1 按要求 画平行四边形 使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上 1 在图甲中画一个平行四边形 使它的周长是整数 2 在图乙中画一个平行四边形 使它的周长不是整数 注 图甲 图乙在答题纸上 解析 解析 本题为图案设计题 在设计前一定要注意到要求 除了要满足所画平行四边形 使它 的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上外 还要满足平行四边形的周长是否为整数 的要求 10 10 0 y 元 O x 分 20 50 50 0 P 方式 A 方式 B 点评 点评 本题考查的是设计图形题 在读清要求后 然后根据要求 进行方案的尝试设计 一般要经历一个不断修改的过程 使问题在修正中得以解决 同步检测 4 4 2009 2009 河南 河南 为创建绿色校园 学校决定对一块正方形的空地进行种植花草 现向学 生征集设计图案 图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计 使正方形和所画的图弧构成 的图案 既是轴对称图形又是中心对称图形 种植花草部分用阴影表示 请你在图 图 图 中画出三种不同的的设计图案 提示 在两个图案中 只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种 例如 图 图 只 能算一种 练习参考答案 练习参考答案 解 下面给出参考方案 四 四 设计测量方案 解直角三角形应用 设计测量方案 解直角三角形应用 例例 4 4 2009 济宁 坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋 公元 1112 年 为砖彻八角形十三层楼阁式建筑 数学活动小组开展课外实践活动 在一个 阳光明媚的上午 他们去测量太子灵踪塔的高度 携带的测量工具有 测角仪 皮 尺 小镜子 1 小华利用测角仪和皮尺测量塔高 图 1 为小华测量塔高的示意图 她先在塔前的平 地上选择一点A 用测角仪测出看塔顶 M的仰角35 在A点和塔之间选择一点B 测出看塔顶 M的仰角45 然后用皮尺量出A B两点的距离为18 6m 自身的高 度为1 6m 请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度 tan350 7 结果保留整数 2 如果你是活动小组的一员 正准备测量塔高 而此时塔影NP的长为am 如图 2 你能否利用这一数据设计一个测量方案 如果能 请回答下列问题 在你设计的测量方案中 选用的测量工具是 要计算出塔的高 你还需要测量哪些数据 解析 解析 本题以解直角三角形为依托 通过设计实际的测量活动 使学生能够灵活的应用所 学知识 解决实际生活的问题 第二问是在解决了第一问的基础上让学生另行设计一种测 量方案 但是要注意提供的工具和数据的选择使用 解 解 1 设CD的延长线交MN于E点 MN长为xm 则 1 6 MExm 0 45 1 6DEMEx 1 6 18 617CExx 0 tantan35 ME CE 1 6 0 7 17 x x 解得45xm 太子灵踪塔 MN的高度为45m 2 测角仪 皮尺 站在 P 点看塔顶的仰角 自身的高度 注 答案不唯一 点评 点评 本类试题关键在于画出直角三角形 再分析角边关系 选择合适的三角函数求解 另外要注意设计的方案因为工具的选择不同而方法的多样性 还经常与相似三角形结合 A B CD 同步检测 5 2009 四川省成都市 某中学九年级学生在学习 直角三角形的边角关系 一章时 开展测量物体高度 的实践活动 他们要测量学校一幢教学楼的高度 如图 他们先在点 C 测得教学楼 AB 的顶点 A 的仰角为 30 然后向教学楼前进 60 米到达点 D 又测得点 A 的仰 角为 45 请你根据这些数据 求出这幢教学楼的高度 计算过程和结果均不取近似值 练习参考答案 练习参考答案 解 解 1 设CD的延长线交MN于E点 MN长为xm 则 1 6 MExm 0 45 1 6DEMEx 1 6 18 617CExx 0 tantan35 ME CE 1 6 0 7 17 x x 解得45xm 太子灵踪塔 MN的高度为45m 2 测角仪 皮尺 站在 P 点看塔顶的仰角 自身的高度 注 答案不唯一 练习 6 如图 由已知可得 ACB 30 ADB 45 在 Rt ABD 中 BD AB 又在 Rt ABC 中 tan30 即 BC AB BC AB BC AB 3 3 3 BC CD BD AB CD AB 即 1 AB 60 33 AB 30 1 米 13 60 3 答 教学楼的高度为 30 1 米 3 五 设计游戏方案 概率应用 五 设计游戏方案 概率应用 例例 5 2009 5 2009 重庆重庆 有一个可以自由转动的转盘 被分成了 4 个相同的扇形 分别标有数 1 2 3 4 如图所示 另有一个不透明的口袋装有分别标有数 0 1 3 的三个小球 除 数不同外 其余都相同 小亮转动一次转盘 停止后指针指向某一扇形 扇形内的数是小 亮的幸运数 小红任意摸出一个小球 小球上的数是小红的吉祥数 然后计算这两个数的 积 1 请你用画树状图或列表的方法 求这两个数的积为 0 的概率 2 小亮与小红做游戏 规则是 若这两个数的积为奇数 小亮赢 否则 小红赢 你认 为该游戏公平吗 为什么 如果不公平 请你修改该游戏规则 使游戏公平 解析解析 修改游戏规则 首先通过列表或树形图求出游戏中的双方的概率 看是否相等 若 不相等通过修改规则使得概率对两方相等了 所以应现将两个人的获胜概率计算出来 解 解 列树形图如下 由树形图可见共有 12 种可能 并且每种可能出现的机会均等 而小亮和小红的获胜概率分 别为 由此可见游戏不公平 要使的游戏公平 概率应相等 我们 可以修改为 若这两个数的积为奇数 小亮赢 若这两个数的积为偶奇数 小红赢 点评 点评 本题以摸球和转盘游戏为背景 设计试题 游戏公平性方案设计 其关键是保证游 戏双方获胜的概率相同 同步检测 2009 广东省梅州市 五 一 假期 梅河公司组织部分员工到A B C三地旅游 公 司购买前往各地的车票种类 数量绘制成条形统计图 如图 根据统计图回答下列问题 1 前往 A地的车票有 张 前往C地的车票占全部车票的 2 若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给 100 名员工 在看不到车票的条件下 每人抽取一张 所有车票的形状 大小 质地完全相同且充分洗匀 那么员工小王抽到去 B 地车票的概率为 3 若最后剩下一张车票时 员工小张 小李都想要 决定采用抛掷一枚各面分别标有数 字 1 2 3 4 的正四面体骰子的方法来确定 具体规则是 每人各抛掷一次 若小张掷 得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大 车票给小张 否则给小李 试用 列表 法或画树状图 的方法分析 这个规则对双方是否公平 ABC 地点 车票 张 50 40 30 20 10 0 练习参考答案 练习参考答案 1 30 20 2 1 2 3 可能出现的所有结果列表如下 1234 1 1 1 1 2 1 3 1 4 2 2 1 2 2 2 3 2 4 3 3 1 3 2 3 3 3 4 4 4 1 4 2 4 3 4 4 或画树状图如下 共有 16 种可能的结果 且每种的可能性相同 其中小张获得车票的结果有 6 种 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 P 小张获得车票 则P 小李获得车票 1 6 16 3 8 3 8 5 8 这个规则对小张 小李双方不公平 随堂检测随堂检测 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 4 开始 小张 小李 小李抛到 的数字 小张抛到 的数字 1 2009 齐齐哈尔 一宾馆有二人间 三人间 四人间三种客房供游客租住 某旅行团 20 人准备同时租用这三种客房共 7 间 如果每个房间都住满 租房方案有 A 4 种B 3 种C 2 种D 1 种 2 2009 襄樊 为实现区域教育均衡发展 我市计划对某县A B两类薄弱学校全部进 行改造 根据预算 共需资金 1575 万元 改造一所A类学校和两所B类学校共需资金 230 万元 改造两所A类学校和一所B类学校共需资金 205 万元 1 改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元 2 若该县的A类学校不超过 5 所 则B类学校至少有多少所 3 我市计划今年对该县A B两类学校共 6 所进行改造 改造资金由国家财政和地方 财政共同承担 若今年国家财政拨付的改造资金不超过 400 万元 地方财政投入的改造资 金不少于 70 万元 其中地方财政投入到A B两类学校的改造资金分别为每所 10 万元和 15 万元 请你通过计算求出有几种改造方案 3 2009 天津 注意 为了使同学们更好地解答本题 我们提供了一种解题思路 你可 以依照这个思路填空 并完成本题解答的全过程 如果你选用其他的解题方案 此时 不 必填空 只需按照解答题的一般要求 进行解答即可 如图 要设计一幅宽 20cm 长 30cm 的矩形图案 其中有两横两竖的彩条 横 竖彩条 的宽度比为 2 3 如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一 应如何设计 每个彩条的宽度 分析 由横 竖彩条的宽度比为 2 3 可设每个横彩条的宽为2x 则每个竖彩条的宽为 3x 为更好地寻找题目中的等量关系 将横 竖彩条分别集中 原问题转化为如图 的情 况 得到矩形ABCD 结合以上分析完成填空 如图 用含x的代数式表示 AB cm AD cm 20cm20cm 30cm DC AB 图 图 30cm 矩形ABCD的面积为 cm 2 列出方程并完成本题解答 4 2009 烟台 某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出 平均每天能售出 8 台 为了配合国家 家电下乡 政策的实施 商场决定采取适当的降价措施 调查表明 这种 冰箱的售价每降低 50 元 平均每天就能多售出 4 台 1 假设每台冰箱降价x元 商场每天销售这种冰箱的利润是y元 请写出y与x之间的 函数表达式 不要求写自变量的取值范围 2 商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元 同时又要使百姓得到实惠 每台冰箱 应降价多少元 3 每台冰箱降价多少元时 商场每天销售这种冰箱的利润最高 最高利润是多少 5 2009 达州 6 分 阳光明媚的一天 数学兴趣小组的同学去操场上测量旗杆的高度 他们带了以下测量工具 皮具 三角尺 标杆 小平面镜等 首先 小明说 我们用皮尺和三角尺 含 30 角 来测量 于是大家一起动手 测得小 明与旗杆的距离 AC 为 15 小明的眼睛与地面的距离为 1 6 如图 9 甲 所示 然后 小红和小强提出了自己的想法 小红说 我用皮尺和标杆能测出旗杆的高度 小强说 我用皮尺和小平面镜也能测出旗杆的高度 根据以上情景 解答下列问题 1 利用图 9 甲 请你帮助小明求出旗杆 AB 的高度 结果保留整数 参考数据 5 030sin 87 030cos 58 030tan 73 130cot 2 你认为小红和小强提出的方案可行吗 如果可行 请选择一中方案在图 乙 中画出 测量示意图 并简述测量步骤 6 2009 漳州 小红与小刚姐弟俩做掷硬币游戏 他们两人同时各掷一枚壹元硬币 1 若游戏规则为 当两枚硬币落地后都正面朝上时 小红赢 否则小刚赢 请用画树状 图或列表的方法 求小刚赢的概率 2 小红认为上面的游戏规则不公平 于是把规则改为 当两枚硬币正面都朝上时 小红 得 8 分 否则小刚得 4 分 那么 修改后的游戏规则公平吗 请说明理由 若不公平 请 你帮他们再修改游戏规则 使游戏规则公平 不必说明理由 随堂检测参考答案 随堂检测参考答案 1 C 2 解 1 设改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为a万元和b万 元 依题意得 2230 2205 ab ab 解之得 60 85 a b 答 改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为 60 万元和 85 万元 2 设该县有A B两类学校分别为m所和n所 则 60851575mn 17315 1212 mn A类学校不超过 5 所 17315 5 1215 n 15n 即 B类学校至少有 15 所 3 设今年改造A类学校x所 则改造B类学校为 6x 所 依题意得 5070 6400 1015 670 xx xx 解之得14x x取整数 12 3 4x 即 共有 4 种方案 3 解 2 206