第十章 模态综合方法.doc

第十章 模态综合方法10.1 模态综合法的基本原理 【为什么要使用模态综合法】 复杂结构自由度多，方程阶数高，计算成本大。 对整个结构用假设模态法分析难以实现。 大型复杂结构其主要部件可能在不同地区生产，由于条件限制，只能进行部件模态试验，无法进行整体结构的模态试验。 结构的响应只由低阶模态控制，不必为少数低阶模态去求解整个结构的高阶动力学方程。【解决途径】仿照有限元方法，先对各个局部子结构进行分析，然后再通过某种方法进行整体分析，具体讲就是对各子结构进行模态分析，按某种原则得到能恰当描述整个结构振动的“假设模态”，再按假设模态分析方法来求解整个结构的振动。【模态综合法的基本思想】 按复杂结构的特点将其划分为若干子结构 对各子结构进行离散化，通过动力学分析或试验 ，得到子结构的分支模态。 对各子结构的物理坐标结点位移坐标进行模态坐标变换 对子结构进行“组集”，获得整个结构的模态坐标 通过子结构的界面连接条件，作第二次坐标变换独立坐标变换，消去不独立的模态坐标，得到一组用独立的各子结构模态坐标组成的描述整个结构运动的独立广义坐标，从而导出整个系统以独立模态坐标表示的动力学方程。【模态综合法的实质】采用子结构技术，来获得一组复杂结构的品质优良的“假设模态”，以此假设模态作为李兹基底所张成的模态空间，可以很好地覆盖住系统真实的低阶模态空间。模态综合方法是子结构方法中最成熟、应用最普遍的方法。【例】 以两端固支梁分成两个子结构为例，来简要说明模态综合法的基本原理将图示的梁结构分成两个子结构、，其物理坐标集分成内部坐标集和界面坐标集，即 （101） 界面位移连续条件： （102）结构动能 （103）结构势能 （104）假定已经选出了各子结构合适的模态矩阵（下面各节中就专门讨论的求法），则有 （105）通常，的个数远少于对应子结构的自由度数。记： （106） （107） （108）从而， （109）当应用拉格朗日方程来建立振动方程时，由于拉格朗日方程要求各相互独立，而中有不独立的坐标。 （1010）由对接位移条件（界面位移连续条件）：，有 （1011）写成约束方程的形式： （1012）下面进行第二次坐标变换将分块写成（1013）则 （1014） （1015） （1016） （1017）称为独立坐标变换矩阵。从而 （1018） （1019）由拉格朗日方程可得整个梁结构通过模态综合后的自由振动方程为： （1020）相应的广义特征值问题为： （1021）其阶数为所有子结构分支模态总数减去界面对接坐标数。对其进行求解，就可以得到整个梁结构的动力学特性。对于一般动力学方程，也可以进行上述的变换过程，得到缩减了自由度的动力学方程： （1022）其中： （1023） （1024）在模态综合法中，为了描述结构在空间的运动和变形状态，采用两类广义坐标来描述，分别为“物理（几何）坐标”和“模态坐标”，物理坐标描述结构各节点的几何坐标位置，而模态坐标则表示物理坐标响应中各个模态成份大小的量。对于模态综合法中的“模态”一词，它比“振型”具有更加广义的内涵，它不仅指结构做主振动时的振型，而且还包括了结构在一些特定的外力或者结点位移作用下产生的静变形形态，这些静变形形态被认为是在整个结构振动时，各子结构可能产生的变形形态。而“振型”则是一个狭义的概念，表示结构作主振动时的变形形式。【模态综合法的基本步骤】由上例可以看到，模态综合法的基本步骤可以分成如下六个步骤：（1）按结构特点划分子结构（2）计算并选择分支模态进行第一次模态坐标变换（3）在全部模态坐标中，选择不独立的广义坐标（4）由位移对接条件，形成广义坐标的约束方程，得到独立坐标变换阵（5）对组集得到的质量矩阵、刚度矩阵进行合同变换，得到独立坐标下的质量矩阵，刚度矩阵，形成整个系统的振动方程（6）根据坐标变换关系，再现子结构物理参数由上可知，模态综合法的关键技术是如何选择子结构的分支模态。10.2 各种形式的分支模态如前所述，分支模态就是在结构系统振动时，其子结构（分支结构）可能出现的变形形态。在模态综合法中，分支结构分为两类：受约束分支结构、有刚体运动的分支结构。有刚体运动的分支结构又称为自由悬浮分支。一、受约束子结构的分支模态它的可能变形形态包括：在各种附加约束或无附加约束下自由振动模态，在各种外力作用下的位移形态，在各种给定的边界条件下的内部位移形态。在进行模态综合时，只需要选其中一部分构成其分支模态，且各有其相应的名称。【主模态】分支主模态由下列子结构的特征方程决定： （1025）在确定分支主模态时，需要首先确定子结构的界面坐标处理状态，按照对界面位移的处理方法，有三种分支主模态固定界面主模态：子结构的全部界面加上附加约束自由界面主模态：子结构的全部界面都没有附加约束，但子结构本身原有的约束（称为自然约束）仍然存在混合界面主模态：子结构的部分界面加上附加约束在模态综合法中，假定主模态阵都已按质量归一化。即： （1026） （1027）如果模态综合法所使用的不是子结构的完全主模态矩阵，而是保留主模态集，即经过高阶模态截断后的部分低阶主模态，模态综合法的误差就由此而产生。【约束模态】约束模态是指对界面坐标的约束模态，它定义为：自由界面固定界面在子结构的全部界面自由度上引入附加约束，然后让这些界面自由度依次产生单位位移，其它约束（包括自然约束和附加约束）则保持不变（即这些界面坐标都强制为零）。由此产生的一系列子结构静变形位移，称为子结构对于界面坐标的约束模态，简称约束模态。约束模态的数目，等于界面自由度的数目，全部约束模态就组成子结构的约束模态阵，从约束模态的生成过程看到，它有点类似于有限元法中的形函数。显然，约束模态可以写成： （1028）下标表示子结构不受约束的自由度，表示附加约束的自由度，为单位阵，表示界面坐标依次产生单位位移。为子结构内部坐标由于界面坐标依次有单位位移时所产生的静态位移。要让界面坐标依次产生单位位移，必须对界面坐标施加一定的界面力，记界面力矩阵为，则应有： （1029）分块展开第一行有： （1030）从而约束模态为： （1031）如图所示为悬臂梁的约束模态示意图。【附着模态】模态综合法中的附着模态是对界面坐标的附着模态。定义为：对子结构的界面不附加任何约束，而是在一个界面自由度上沿此自由度方向施加单位力，而其它自由度上无外力作用，由此得到的子结构静态位移向量，就是子结构对该界面自由度的附着模态。显然这个定义只适合于受约束子结构。依次在每个界面自由度上作用单位力，就可以得到一系列静态位移，也就构成子结构对其界面坐标的附着模态矩阵。根据附着模态的定义，附着模态矩阵由下式来确定： （1032）从而有： （1033）子结构的柔度矩阵为： （1034）所以有： （1035）从而附着模态为： （1036）【剩余附着模态】在假设模态法建立系统的运动方程，求解其特征值问题时，要求所用到的假设模态应该是线性无关的，但是如果用子结构的主模态和附着模态作为假设模态集，会出现主模态与附着模态线性相关的问题。另一方面，在使用子结构的主模态组成模态综合时的假设模态集，采用的是经过高阶截断的主模态。显而易见，如果在假设模态集中加入高阶主模态的信息，则可以提高模态综合的精度。前面提到，附着模态与保留主模态线性相关。如果从附着模态中减去与之不独立的低阶保留主模态，则可以得到高阶主模态的近似表达。这种模态称为“剩余附着模态”设受约束子结构的全部归一化主模态为 （1037）其中，为低阶主模态，即保留主模态，为高阶主模态，即剩余主模态。下标分别表示内部自由度和界面自由度。显然有 （1038）子结构柔度矩阵为： （1039）定义剩余柔度矩阵： （1040）仿照（1032）的定义，将换成，得到剩余附着模态阵的定义式为： （1041）下面讨论一下受约束子结构剩余附着模态的物理意义。由定义： （1042）而 （1043）由此，剩余附加约束模态可以写成： （1044）显然，与线性相关。也就是说，剩余附着模态实际是进行主模态截断时，略去的高阶模态的一种线性组合。因此用剩余附着模态作为子结构分支模态集的一个子集，是对保留主模态集的一个合理补集。由于与保留主模态具有正交性，因而剩余附着模态的与也是关于质量阵正交的。即： （1045）二有刚体运动子结构的分支模态对于有刚体运动的子结构，其模态集中包含有全部的刚体模态，由此可知，得到的有刚体运动子结构的刚度矩阵是奇异的。【主模态】有刚体运动子结构的主模态的定义与受约束子结构的主模态定义相同，只是还应包括相应与刚体自由度的刚体模态。但是对于固定界面和混合界面的分支主模态中，如果附加界面约束消除了刚体自由度，则这时的分支主模态集中将没有刚体模态。【约束模态】有刚体运动子结构的约束模态的定义与受约束子结构的约束模态定义相同，但是，只有在附加界面约束全部约束了子结构的全部运动时，才能求出约束模态。（1046）【刚体模态】对受不完全约束的子结构，即有刚体自由度的子结构，描述其无变形运动位移的模态称为刚体模态。对于空间自由悬浮结构，最多只有六个刚体模态坐标，因此刚体模态数满足。对于有刚体位移的子结构，其刚体模态是十分重要的，其分支模态集中必须包含这些刚体模态。刚体模态可以通过求解自由界面子结构主模态的特征方程得到。也可以作为子结构约束模态的一种特殊情况求出，即当附加界面约束刚好约束住结构的全部刚体自由度时，这是求出的约束模态，就是有刚体运动自由度的子结构的刚体模态。 （1047）当界面附加约束超过了子结构的刚体自由度时，约束模态就是弹性位移和全部刚体位移的线性组合。即这时的约束模态实际上包含了刚体模态。【例】求图示系统的约束模态显然系统有一个刚体模态，其刚度矩阵为：故取约束坐标集，由方程（1030）得到：如果取界面坐标集为：，此时约束模态数和刚体模态数相等，约束模态退化为刚体模态。即【附着模态】对有刚体运动的子结构，应该在子结构中引入适当的附加静定约束，并刚好能约束住子结构的刚体运动，然后才能求其附着模态。将有刚体运动子结构的物理坐标分为三个子集，即。为附加约束坐标集，它刚好约束住子结构的刚体位移，为界面坐标集，为内部坐标集。根据附着模态的定义，在集中的物理坐标上依次作用单位力，得到子结构的位移就是附着模态。 （1048）是在附加约束坐标集中产生的附加约束反力。将（1048）分块展开，得到： （1049）令 （1050）则 （1051）从而有刚体自由度子结构的附着模态为： （1052）子结构图中子结构是一个有刚体自由度的子结构，引入附加约束后，可以求出其附着模态，如图所示 【惯性释放附着模态】如前面所述，我们看到，对有刚体自由度子结构，引入附加静定约束后，在界面坐标方向施加单位作用力，得到附着模态。而惯性释放附着模态是在释放这些附加约束后，在界面单位力作用下求得的附着模态。但这时子结构会产生刚体位移，因此我们将一组相应的惯性力作用在子结构上，这些惯性力与界面力组成一个自平衡力系。惯性释放附着模态就是该平衡力系下，子结构的不包含刚体模态的附着模态。在界面作用力作用下，子结构的位移矢量是刚体位移分量和变形位移分量之和。即 （1053）代入子结构运动方程 （1054）由于，故得到： （1055）就是上面所说的由界面力与惯性力组成的自平衡力系。假定已经求出了子结构的主模态 （1056）与分别为子结构的刚体模态矩阵和完全弹性变形模态矩阵。那么有： （1057）于是， （1058）对方程（1055）作坐标变换，并注意到与的正交性，得到： （1059） （1060）其中， （1061）由（1059）得到： （1062）所以 （1063） （1064） （1065）显然，用矩阵对界面力矩阵进行线性变换，就可以得到子结构在界面力和惯性力组成的自平衡力系。如果主模态已经对质量阵归一化，则 （1066）自平衡力系作用下的附着模态由下列方程确定： （1067）上式中， （1068）为界面作用力矩阵。从而， （1069）由此得到： （1070）其中， （1071）一般情况下，中含有子结构的刚体模态分量，为了消除刚体模态，令： （1072）由下式决定： （1073）从而： （1074）所以，惯性释放附着模态的计算公式为： （1075）【例】对图示系统，设为约束坐标，是附着坐标，为内部坐标，(1) 确定系统的附着模态(2) 确定系统的自平衡力系(3) 确定系统的惯性释放附着模态系统的刚度阵和质量阵为：（1） 根据刚度矩阵，可以求得系统的柔度矩阵，从而附着模态为：312（2） 系统有一个刚体模态归一化后得到：自平衡力系为：自平衡力系示意图如图。（3） 系统的惯性释放附着模态为：在模态综合法中，常常使用的是分支的惯性释放附着模态而不是分支的附着模态。（整体结构振动时，惯性释放附着模态是子结构更加可能的变形形态）【剩余惯性释放附着模态】定义系统的弹性柔度阵为 （1076）为系统对模态坐标的刚度矩阵。 （1077）从而 （1078）将完全弹性变形主模态分成保留主模态和剩余主模态，即 （1079） （1080）定义剩余柔度阵为： （1081）根据（1065）式与（1070）式可得： （1082）故 （1083）类似惯性释放附着模态，定义剩余惯性释放附着模态： （1084）以上介绍了有关各种分支模态的概念，在以后的各种模态综合法中会看到各种模态综合方法的差异，就在于模态集的不同选取。10.3 固定界面模态综合法子结构模态综合法的关键，是对子结构进行模态坐标变换。这首先要假设一组分支模态集，这一分支模态集中，通常不可缺少的是子结构主模态集，而在求解主模态集时，必须先要对子结构的边界坐标进行处理，或者固定，或者自由。固定界面模态综合法就是在求解保留主模态集时，界面坐标是通过引进的附加约束全部固定的。显然，这时解得的保留主模态集具有如下形式： （1085）下标表示内部自由度，表示界面自由度，表示保留主模态阶数，是由子结构在界面坐标固定情况下的特征值问题 （1086）求出的低阶特征矢量。是对应于界面坐标的模态分量。固定界面模态综合法由Hutty在1960年代初提出，经过Craig 和Bampton两人在1968年改进后，修正为C-B方法。【Hutty方法】（1）有刚体运动子结构的分支模态集基于运动学观点，结构运动分为牵连运动和相对运动，子结构内部任一点的位移，可用如下三种类型的运动来描述。（1） 刚体位移由引起的牵连运动（2） 约束模态引起的牵连运动（3） 子结构界面上全部加上附加约束后，子结构内部节点相对于这些约束的运动，由固定界面分支主模态来描述。 （1087）即 （1088）其中 （1089） （1090）因此在Hutty方法中，对有刚体自由度的子结构，可以选取子结构对于界面静定坐标的刚体模态集，对于界面赘余坐标的约束模态集和子结构的固定界面保留主模态集三个子集。（2）对于模态坐标的分支特性 子结构的运动方程为： （1091）根据（1088）式对上方程进行子结构的模态坐标变换，模态变换矩阵为： （1092）在模态坐标下的子结构特性矩阵为： （1093） （1094）我们知道，模态坐标下，系统的刚度系数等于相应于第个模态产生的应力，在相应于第个模态的应变上所做的功；或者等于相应于第个模态的广义力，在相应于第个模态的广义位移上所做的功。根据上述，我们可以仔细研究（1094）式模态刚度矩阵中各项的意义。，因为一个自平衡力系在刚体位移中所做的功为零。为存在约束模态时，赘余约束坐标处的力在此约束位移上所做的功。它不为零。，因为在固定界面情况下，约束坐标是固定不动的，约束模态的外力是界面上的作用力，所以，约束力在主模态位移上的功为零。，系统有刚体模态位移时，没有受到相应于主模态位移的外力，反之亦然。，因为只有刚体模态位移时，约束坐标的反力为零。由此可得子结构对于模态坐标的模态刚度矩阵可以写成： （1095）（3）模态综合设系统由两个子结构组成，它们的分支特性已经用上节的方法求出。系统的位移为： （1096）其中 （1097）系统的质量矩阵和刚度矩阵为： （1098）系统的假设模态矩阵为： （1099）作系统的第一次坐标变换 （10100）其中 （10101）与模态坐标相应的模态质量矩阵和模态刚度矩阵为： （10102） （10103）两个子结构对接的几何条件为： （10104）其中， （10105）为界面坐标，为两个子结构连接处的坐标旋转矩阵。由对接条件（10104）得到： （10106）（10107）进一步得到： （10108）（10109）选择 （10110）为独立的广义坐标系统第二次坐标变换（独立坐标变换）为： （10111） （10112）独立广义坐标下系统的质量矩阵和刚度矩阵为： （10113）综合后的系统自由振动方程为： （10114）由此就完成了两个子结构的模态综合。【Craig-Bampton方法】固定界面模态综合法中最具代表性的一种方法。简称为C-B方法。它是对Hutty方法的改进方法。认为在子结构的界面自由度中，不必将它们区分为静定约束和赘余约束。因为在一个具有高度赘余的界面对接系统中，哪些界面自由度应该作为静定约束部分，哪些界面自由度应该作为赘余自由度，这是完全不明确的。因此，对界面对接自由度不做区分，对进行结构的模态综合是十分方便的。正如对有刚体运动子结构的刚体模态的处理一样，只要界面附加约束超过子结构的刚体自由度，则约束模态中就必然包含子结构的刚体模态。根据上述,C-B方法所选择的假设分支模态集，由两个子集固定界面的分支保留主模态集以及对全部界面坐标的约束模态集组成。即： （10115）其中，是子结构界面固定后，求解固定界面的分支特征问题方程： （10116）得到。是一组包括刚体模态在内的约束模态。由下式求得： （10117）解得： （10118）故（10115）式写成: （10119）注意到，（10117）式中的与（10116）式中的是不相同的，两者关系为： （10120）123因此，C-B法中的子结构保留主模态集中的模态数目由精度需要来选定，而子结构的约束模态数目等于界面自由度数目。它等于Hutty法中刚体模态与约束模态之和。但两种方法的模态各列的定义不一定相同。以一悬臂梁为例，中间子结构2为一个具有刚体模态的子结构，它有两个界面，四个自由度，在Hutty方法中，取其中两个作为刚体模态，两个为约束模态，（图c）,而C-B方法中，将界面自由度全部作为对界面坐标的约束模态。按Hutty方法，先根据界面自由度情况，得到r组刚体模态，然后在界面坐标中取r个固定住（求约束模态时不再放松），得到一个静定的系统，然后对其余c个界面坐标求得c个约束模态。(a)2(b)1111(c)1111(d)下面就用得到的分支模态矩阵进行从物理坐标到模态坐标的变换。为了方便，省去表示结构编号的上标。 （10121）写成分块形式： （10122）表示子结构内部节点坐标，为表示保留主模态及其编号，表示与对应的行列的分支保留主模态矩阵，表示个主模态坐标，表示个（个）约束模态坐标。显然，从而达到减少系统自由度降阶的目的。在模态坐标下的子结构质量阵、刚度阵和阻尼阵等分别为： （10123）将等矩阵分块展开，得到：（10124）其中 （10125）同样确定： （10126） （10127）显然，这种方法中，主模态坐标与约束模态坐标间存在惯性耦合，但没有弹性耦合。由于子结构间通过界面相连，在各个子结构的模态坐标方程建立后，进行组集时，需要进行独立坐标变换。记结构不独立的广义坐标以及相应的质量、刚度矩阵为：（10128）两个子结构界面相连接的几何协调条件可以写成： （10129）为两个子结构坐标不同所必须的坐标旋转变换阵。假定有三个子结构如图所示相连接，其不独立的广义坐标向量为： （10130）则界面几何协调方程为： （10131）独立坐标选为： （10134） （10135） （10136）综合后系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵和外力向量（界面内力在组集时自动抵消，不出现在方程中）为： （10137）其中： （10138） （10139）最后的振动方程为： （10140）在利用方程（10135）对刚度阵和质量阵进行变换后会发现，最后的总刚阵组集过程与有限元法中总刚阵装配的“对号入座”过程完全一样，实际上有限元素法是一种只用了约束模态集的固定界面模态综合法。由前述可知，各子结构的保留主模态对应的主模态坐标是彼此独立的，而其约束模态坐标为界面的节点坐标，相互连接的子结构的界面节点坐标是相等的。如选取结构的独立广义坐标为： （10141）为结构的全部界面节点坐标向量，并取统一的子结构坐标系，则结构假设模态刚度阵和假设模态质量阵表示为： （10142）其中与按常规有限元的组集方法，由各子结构的与直接对号叠加得到。C-B法得到的系统总自由度为： （10143）即全部子结构的假设模态中主模态数之和，再加上全部界面自由度数。有限元素法的形函数，就是固定界面模态综合法的约束模态，因此，有限元素法是一种主模态集取空集的固定界面模态综合法。当界面自由度较多时，即使主模态数取得再少，最后的系统方程阶数仍然很高，所以为了降低最后的方程阶数，对固定界面模态综合法又有几种改进：【子结构主模态的缩减】：即将最后得到的方程中保留主模态对应的广义坐标分为保留项和缩减项： （10144）将分成： （10145）方程（10144）重新写成： （10146）展开第二行，得到： （10147）假定主模态已经对质量阵归一化，则： （10148）从而： （10149）上式说明，当时，即对应当模态参与综合振动的贡献趋于零，故从该阶模态起的高阶模态可以予以缩减。【界面上的模态缩减】在C-B方法中，元素个数就是子结构连接界面上的节点自由度数，Craig提出用界面上的位移模态作为广义坐标，使这部分自由度得以降低。（10144）式中的分别是将子结构主模态矢量固定不变，仅允许连接界面上的自由度运动时，系统对应于坐标的刚度矩阵和质量矩阵。由特征值问题： （10150）注意到不同于系统总体振动频率。求解上式得到模态集，称为系统的对接模态，一共有个，假定保留其个对接模态，将写成分块形式： （10151）其中和分别是保留模态集和可以减缩的模态。用保留的对接模态进行坐标变换： （10152）称为对接模态坐标。现在用： （10153）从而对系统做第三次坐标变换： （10154）系统的质量阵和刚度阵为： （10155）方程（10155）的阶数为，因为，显然系统的阶数得到降低。此外，还有所谓的“多重子结构模态综合方法”，其原理是先把结构分成几个子结构（一级子结构），再把每个一级子结构分成若干个二级子结构。对二级子结构，使用改进的C-B方法，经过三次坐标变换，综合得到一级子结构的模态，此时假定一级子结构间的界面是固定的，从而得到的是一级子结构固定界面主模态。对各一级子结构，以上述主模态的保留模态集和一级子结构界面约束模态集组成系统的假设模态矩阵，进行第一次坐标变换，再采用修改的C-B方法，进行二次、三次坐标变换。10.4 自由界面模态综合法若在子结构的假设模态集中，以子结构的自由界面保留主模态集作为其中一子集，这样的综合方法，称为自由界面模态综合法。它是对复杂结构进行动力学分析的有效方法之一。最早提出自由界面模态综合法的是Shou-nien Hou，后来，Hintz、Rubin、R.R.Craig与C.J.Chang、王文亮等人对此进行了改进研究，形成了现在常用的自由界面模态综合法。【Shou-nin Hou方法】基本思想是把结构分成若干子结构，在求解子结构的内部主模态时，子结构界面不加任何附加约束，得到自由界面分支主模态： （10156）它由自由界面子结构特征方程： （10157）解得。子结构的假设模态就由求出的各子结构的低阶保留主模态集组成，但主模态数必须大于界面自由度数。用此假设模态进行第一次坐标变换，再考虑界面对接条件，对整个结构进行综合。Shou-nien Hou方法的特点是，当不同的子结构在不同的地方进行设计制造时，可以采用子结构的试验模态或者使用计算得到的子结构自由界面保留模态作为保留主模态集来进行综合，不需要子结构与子结构间的对接信息，这一点特别适合于工程上的应用。但是由于略去了子结构的高阶模态，又没有采用补集模态，故收敛性较差，且在界面自由度较多时，最后的方程阶数仍然很高。虽然现在实际采用不多，但Shou-nien Hou方法是各种自由界面模态综合法的基础，因而有必要进行介绍。下面用三个子结构组成的结构为例介绍自由界面模态综合的过程。ACBCBA上图中，子结构A、B、C的内部坐标分别用、表示。而子结构界面上的坐标分别用、表示。显然界面上几何协调条件为： （10158）其中、分别表示由于子结构A与B、B与C之间坐标系不同而需要的旋转矩阵。当坐标系相同时，则旋转矩阵为单位矩阵。显然，各子结构的物理坐标并不完全独立。取系统的坐标向量为： （10159）相应的质量矩阵、刚度矩阵具有形式： （10160）如果用 作为对系统进行第一次坐标变换的假设模态矩阵，其中，分别为子结构A、B、C的自由界面主模态的保留主模态集，则有： （10161）进行第一次坐标变换后的质量阵、刚度阵和外力向量为： （10162）设A子结构内部节点坐标数为，B子结构内部节点坐标数为，C子结构内部节点坐标数为，界面AB和BC的界面自由度分别为和把进行相应的分块：（10163）其中，分别为子结构A、B、C的保留主模态数。从而界面位移协调条件可以写成： （10164） （10165）其中， （10166）从而，可以解出、为： （10167）若选择： （10168）为系统独立的广义坐标，进行第二次坐标变换：（10169）或写为： （10170）独立广义坐标下，系统的质量矩阵和刚度矩阵和外力向量为: （10171）最后，由Shou-nien Hou方法导出的整体结构运动方程为： （10172）由于子结构间的界面作用力是作用力与反作用力，因此在组集后相互抵消。显然，综合后系统总自由度数为: （10173）其中，为全部子结构的保留主模态数，为全部界面自由度数。【Craig- Chang方法】由于Shou-nien Hou方法只用了分支的自由界面保留主模态集，舍去了全部的剩余主模态的影响，因此结果的收敛性很差，但如果把分支的全部主模态都纳入分支假设模态集中，又达不到缩减系统自由度的目的。因此，要在工程实际中使用自由界面模态综合法，就必须对Shou-nien Hou方法进行改进。回想一下，我们在前一节介绍了受约束分支的剩余附着模态，并且得到了剩余附着模态与剩余主模态关系式： （10174）与是相关的，而且的列数与界面自由度相同，通常远小于剩余主模态数。因此，如果用剩余附着模态集作为假设模态集中保留主模态集的补集是一个合理的选择。Craig-Chang方法（C-C方法）就是用约束子结构的自由界面保留主模态集和分支的剩余附着模态集组成分支的假设模态集。即： （10175）我们已经知道： （10176）对各子结构作第一次坐标变换，可以得到以下方程： （10177）其中， （10178）如果主模态已经按模态质量归一化，则（10177）可以写成： （10179）式中为作用于子结构的力矢量，当结构作自由振动时，没有外载荷，只有界面上的界面力矢量。即： （10180）由于剩余高阶模态对结构低阶振动影响较小，其惯性项可近似忽略不计，相当于对剩余模态只求其“类静响应”。从而由方程（10179）的第二式得到： （10181）由于： （10182） （10183）所以： （10184）将（10182）（10184）代入（10181）得到： （10185）由于是非奇异的，故有： （10186）即模态坐标近似等于子结构的界面作用力。称其为对广义坐标的“类静逼近”。在固定界面模态综合法和Shou-nien Hou自由界面模态综合法中，都只用到了位移协调条件，没有用到界面力的平衡条件，在C-C方法中，除了用到界面位移协调条件外，还要用到界面力平衡条件： （10187）因而我们可以把分支的界面作用力作为分支的剩余附着模态坐标，即把分支的界面作用力作为分支的部分广义坐标，界面力平衡条件为： （10188）所以在进行C-C方法的第二次坐标变换时，为了实现子结构间的界面连接，引入的约束方程为： （10189）设系统由个子结构组成，系统的物理坐标为： （10190）相应的质量阵、刚度阵为： （10191）对系统进行第一次坐标变换 （10192）系统的模态坐标变换阵为： （10193）对每一子结构，有： （10194） （10195）为系统不独立的模态坐标： （10196）将其元素重新排列： （10197）这个过程相当于一种坐标变换： （10198）称为定位矩阵 （10199）（10189）式给出的约束方程可以写成： （10200）将上方程写成分块形式： （10201）从而： （10202）取为独立广义坐标，则第二次坐标变换式为： （10203） （10204）用上式进行第二次坐标变换就可以得到缩减后系统的运动方程。C-C方法的具体步骤为：（1）形成非耦合的全部子结构的刚度阵、质量阵 和载荷列阵。 （10205）（2）求解子结构自由界面保留主模态和剩余附着模态，作第一次坐标变换 （10206） （10207）(3) 把分成剩余模态坐标和保留模态坐标，即作变换： （10208）由界面连接条件（包括位移和界面内力），作第二次坐标变换： （10209）从而： （10210） （10211）综合后的运动方程为： （10212）当结构作自由振动时，系统的振动特征值问题为： （10213）由以上推导过程可知，模态综合后，系统方程的阶数为，为第个子结构的保留主模态数，即系统阶数与界面坐标数无关。C-C法在计算上比C-B法麻烦，增加了综合的复杂性，但由于引入了剩余附着模态，大大提高了计算结果的精度和收敛性，且由于最后的方程阶数不高。 而使用固定界面的C-B模态综合法，则必须进行第三次坐标变换，才能获得同样的阶数。因此，该法目前成为人们最常用的方法。【有刚体自由度子结构的CC方法】对于受约束分支，其低阶自由界面主模态很容易用试验或计算得到，也可以很容易求得剩余附着模态。但对于有刚体自由度分支，其刚度矩阵为奇异的，因此无法得到子结构的剩余附着模态。对这种情况的处理，可以有两种方法：1 用剩余惯性释放附着模态，代替剩余附着模态，但剩余惯性释放附着模态计算比较麻烦。2 采用移轴法来消除刚度矩阵的奇异性。对于自由界面模态综合法的特征值移轴定理为：对各子结构的特征值移动一个统一的移动量，则等价于整体结构的特征值移动同样的偏移量。简述如下：对第个子结构，特征值问题方程为: （10214）两边减去得到一个新的特征值问题， （10215）其特征向量不变，但有：， （10216）通常选取以保证每一个子结构都有正定，。至此，就可以求出各子结构的低阶保留主模态和剩余附着模态，再用上面的CC方法进行综合，求出综合后整个结构的特征值后，移频得到： （10217）10.5 混合界面模态综合法固定界面模态综合法的方法比较简单，计算精度一般也较高，但存在一个较大的缺点综合后的自由度必定大于子结构的界面坐标数，而对于一个大型复杂结构，子结构的界面坐标数往往很大，所以综合后的自由度也很大。自由界面模态综合法不但计算精度优于固定界面模态综合法，而且综合后的自由度数也不受子结构界面坐标数的限制。但缺点是方法比较复杂。综合上述两种方法的优点，提出了混合界面模态综合法。1971年，W.A.Benfield首次提出了混合界面模态综合法。基本思想是：把一个结构分成若干个子结构，并把这些子结构分成主子结构和从子结构，但主子结构与主子结构之间，从子结构与从子结构之间互不连接。对主子结构，用自由界面保留主模态集组成假设模态集，并对其结点物理坐标作模态坐标变换： （10218）对从子结构，用其固定界面的保留主模态集，与其对界面坐标的约束模态集组成假设模态矩阵，并对结点物理坐标作模态坐标变换： （10219）主从子结构的界面对接条件： （10220）从而可得约束方程： （10221）那么系统物理坐标与其独立的模态坐标之间的变换关系为： （10222）其中： （10223） （10224）对应于独立模态坐标的质量阵和刚度阵为： （10225）从而得到综合后结构的特征值问题： （1