高中数学第二章平面解析几何2.3.2圆的一般方程课件

2 3 2圆的一般方程 一 二 一 圆的一般方程 问题思考 1 1 你能用配方法将方程x2 y2 2x 6y 9 0化为圆的标准方程形式吗 提示 原方程可化为 x 1 2 y 3 2 1 0 即 x 1 2 y 3 2 1 说明原方程表示的是一个以点 1 3 为圆心 以1为半径的圆 2 方程x2 y2 2x 6y t 1 0一定表示圆吗 提示 不一定 原方程可用配方法化为 x 1 2 y 3 2 9 t 因此当t9时方程无解 不表示任何图形 2 填空 圆的一般方程是x2 y2 Dx Ey F 0 限制条件是D2 E2 4F 0 一 二 3 做一做 已知方程x2 y2 x y m 0表示一个圆 则实数m的取值范围为 一 二 二 二元二次方程x2 y2 Dx Ey F 0表示的图形 问题思考 1 填写下表 一 二 2 若一个二元方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆 则系数A B C D E F应满足什么条件 提示 应满足的条件是 A C 0 B 0 D2 E2 4AF 0 3 做一做 方程x3 xy2 2x2 2xy 2x 0表示的图形是 解析 由题意 得x x 1 2 y 1 2 0 所以方程表示的图形为直线x 0或点 1 1 答案 直线x 0或点 1 1 一 二 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 二元二次方程x2 y2 Dx Ey F 0一定是某个圆的方程 2 圆的方程中可能含有xy这样的项 3 2x2 2y2 Dx Ey F 0一定表示圆的方程的条件为D2 E2 4F 0 4 若圆过原点 则在平面直角坐标系中该圆的一般方程式中常数项肯定为0 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 二元二次方程表示圆的条件 例1 若关于x y的方程x2 mxy y2 2x y n 0表示的曲线是圆 则m n的取值范围是 解析 因为x2 mxy y2 2x y n 0表示圆 答案 A 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟方程x2 y2 Dx Ey F 0表示圆的两种判断方法 1 配方法 对形如x2 y2 Dx Ey F 0的二元二次方程可以通过配方变形成 标准 形式后 观察是否表示圆 2 运用圆的一般方程的判断方法求解 即通过判断D2 E2 4F是否为正 确定它是否表示圆 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练1下列方程能否表示圆 若能表示圆 求出圆心和半径 1 2x2 y2 7x 5 0 2 x2 xy y2 6x 7y 0 3 x2 y2 2x 4y 10 0 4 2x2 2y2 4x 0 解 1 因为x2与y2项的系数不相等 所以不能表示圆 2 因为方程中含有xy项 所以不能表示圆 3 因为 2 2 4 2 4 10 0 所以不能表示圆 4 2x2 2y2 4x 0可化为 x 1 2 y2 1 故方程表示以 1 0 为圆心 半径为1的圆 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 用待定系数法求圆的方程 例2 求圆心在y x上且过两点 2 0 0 4 的圆的一般方程 并把它化成标准方程 解 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟1 用待定系数法求圆的方程的大致步骤如下 2 对圆的一般方程和标准方程的选择 1 如果由已知条件容易求得圆心坐标 半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题 一般采用圆的标准方程 再用待定系数法求出a b r 2 如果已知条件和圆心或半径都无直接关系 一般采用圆的一般方程 再利用待定系数法求出常数D E F 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练2已知A 1 1 B 6 0 C 1 7 则 ABC的外接圆的方程是 解析 设圆的方程是x2 y2 Dx Ey F 0 将A B C三点的坐标代入方程 解方程组得D 6 E 8 F 0 从而圆的方程为x2 y2 6x 8y 0 答案 x2 y2 6x 8y 0 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 与圆有关的轨迹问题 例3 已知点P在圆C x2 y2 8x 6y 21 0上运动 求线段OP的中点M的轨迹方程 解法一设点M x y 点P x0 y0 因为点P x0 y0 在圆C x2 y2 8x 6y 21 0上 所以 2x 2 2y 2 8 2x 6 2y 21 0 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 解法二设点M的坐标为 x y 连接OC PC 取线段OC的中点A 连接MA 圆C的方程可化为 x 4 2 y 3 2 4 圆心C 4 3 CP 2 则点A的坐标为 如图所示 在 OCP中 M A分别是OP OC的中点 则 MA CP 即 MA 1 又当O C P三点共线时 MA 1 所以点M的轨迹是以A为圆心 1为半径的圆 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟圆是一个双重对称图形 与圆有关的轨迹问题可结合圆的有关性质解决 解决的方法可以是直接法 定义法 相关点代入法等 1 直接法 根据题设 建立适当的平面直角坐标系 设出动点坐标 并找出动点所满足的关系式 2 定义法 当所列出的关系式符合圆的定义时 可利用定义写出点的轨迹方程 3 相关点代入法 若动点P x y 因为圆上的另一动点Q x1 y1 而运动 且x1 y1可用x y表示 则将Q点的坐标代入已知圆的方程 求得动点的轨迹方程 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 已知一曲线是与两定点 0 0 和 3 0 距离之比为m m 0 的点的轨迹 求此曲线方程 并说明是什么曲线 解 设所求曲线上任一点的坐标为P x y 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 求圆关于点 线 对称的圆 例4 试求圆C x2 y2 x 2y 0关于直线l x y 1 0对称的曲线C 的方程 解法一设P x y 为所求曲线C 上任意一点 P 关于l的对称点为P x0 y0 则P x0 y0 在圆C上 因为P x0 y0 在圆C上 得 y 1 2 x 1 2 y 1 2 x 1 0 化简 得x2 y2 4x 3y 5 0 即曲线C 的方程是x2 y2 4x 3y 5 0 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 解法二 特殊对称 圆C关于直线l的对称图形仍然是圆 且半径不变 故只需求圆心C 反思感悟1 求圆C x a 2 y b 2 r2关于点P x0 y0 对称的圆的方程 首先要找出圆心C a b 关于点P x0 y0 的对称点 得到对称圆的圆心 半径不变 即得所求圆的方程 2 求圆关于直线mx ny p 0对称的圆的方程 只需求出圆心关于直线的对称点即可 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练3若圆x2 y2 2kx 4 0关于直线2x y 3 0对称 则k等于 解析 由题意知直线2x y 3 0经过该圆圆心 因此将圆心 k 0 代入直线方程得k 答案 B 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 因忽视二元二次方程表示圆的条件而致误 典例 已知定点A a 2 在圆x2 y2 2ax 3y a2 a 0的外部 求a的取值范围 错解 点A在圆外 a2 4 2a2 3 2 a2 a 0 a 2 以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何订正 你怎么防范 提示 本题错解的根源是仅利用了点在圆外的条件 而忽略了方程作为圆的方程而蕴含的a的范围的限制 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 正解 点A在圆外 防范措施在讨论含有参数的二元二次方程时 一定要明确 只有当D2 E2 4F 0时 二元二次方程x2 y2 Dx Ey F 0才表示圆 因此在与其他条件相融合时 一定不要漏掉这一隐含信息 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练已知圆的方程为x2 y2 2x 0 点P x y 在圆上 求2x2 y2的最值 解 由x2 y2 2x 0得y2 x2 2x 0 解得0 x 2 所以2x2 y2 x2 2x x 1 2 1 0 8 当x 0时 2x2 y2取最小值0 当x 2时 2x2 y2取最大值8 故2x2 y2的最小值为0 最大值为8 1 2 3 4 5 6 1 圆x2 y2 4x 2y 0的圆心和半径分别是 解析 由x2 y2 4x 2y 0 得 x 2 2 y 1 2 5 故圆心为 2 1 半径为 答案 A 1 2 3 4 5 6 2 过点P 2 1 且被圆C x2 y2 2x 4y 0截得的弦最长的直线l的方程是 A 3x y 5 0B x 3y 5 0C 3x y 5 0D x 3y 5 0答案 B 1 2 3 4 5 6 3 圆C x2 y2 4x 2y 0关于直线y x 1对称的圆的方程是 A x 1 2 y 2 2 5B x 4 2 y 1 2 5C x 2 2 y 3 2 5D x 2 2 y 3 2 5答案 C 1 2 3 4 5 6 4 点P 4 2 与圆x2 y2 4上任一点连线的中点轨迹方程是 A x 2 2 y 1 2 1B x 2 2 y 1 2 4C x 4 2 y 2 2 1D x 2 2 y 1 2 1 解析 设圆上任意一点的坐标为 x1 y1 其与点P连线的中点为 x y 代入x2 y2 4得 2x 4 2 2y 2 2 4 化简得 x 2 2 y 1 2 1 答案 A 1 2 3 4 5 6 5 若方程a