07年重庆数学理科高考题

第 1 页 共 12 页 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学试题卷 理工农医类 数学试题卷 理工农医类 数学试题卷 理工农医类 共数学试题卷 理工农医类 共 5 页 满分页 满分 150 分 考试时间分 考试时间 120 分钟 分钟 注意事项 注意事项 1 答题前 务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡规定的位置上 答题前 务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡规定的位置上 2 答选择题时 必须使用 答选择题时 必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦擦干净后 再选涂其他答案标号 用橡皮擦擦干净后 再选涂其他答案标号 3 答非选择题时 必须使用 答非选择题时 必须使用 0 5 毫米黑色签字笔 将答案书写在答题卡规定的位置毫米黑色签字笔 将答案书写在答题卡规定的位置 上 上 4 所有题目必须在答题卡上作答 在试题卷上答题无效 所有题目必须在答题卡上作答 在试题卷上答题无效 5 考试结束后 将试题卷和答题卡一并交回 考试结束后 将试题卷和答题卡一并交回 参考公式 参考公式 如果事件如果事件互斥 那么互斥 那么 AB P ABP AP B 如果事件如果事件相互独立 那么相互独立 那么 AB P A BP A P B AA 如是事件如是事件在一次试验中发生的概率是在一次试验中发生的概率是 那么 那么次独立重复试验中恰好发生次独立重复试验中恰好发生次的次的Apnk 概率概率 1 kkn k nn p kC pp 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分 在每小题给出的四个备选项中 分 在每小题给出的四个备选项中 只有一项是符合题目要求的 只有一项是符合题目要求的 1 若等比数列的前项和且 则等于 n a3 3 9S 1 1a 2 a 3456 2 命题 若 则 的逆否命题是 2 1x 11x 若 则或 若 则 2 1x 1x 1x 11x 2 1x 若或 则 若或 则1x 1x 2 1x 1x 1x 2 1x 3 若三个平面两两相交 且三条交线互相平行 则这三个平面把空间分成 部分 部分 部分 部分5678 4 若展开式的二项式系数之和为 则展开式的常数项为 1 n x x 64 102030120 5 在中 则 ABC 3AB 45A 75C BC 33 2233 6 从张元 张元 张元的奥运预赛门票中任取张 则所取张中至51003200230033 少有张价格相同的概率为 2 第 2 页 共 12 页 1 4 79 120 3 4 23 24 7 若是与的等比中项 则的最大值为 a12b 1 2b 2 2 ab ab 2 5 15 2 4 5 5 2 2 8 设正数满足 则 ab 2 2 lim 4 x xaxb 11 1 lim 2 nn nn n aab ab 0 1 4 1 2 1 9 已知定义域为的函数在上为减函数 且函数为偶函数 R f x 8 8 yf x 则 6 7 ff 6 9 ff 7 9 ff 7 10 ff 10 如题 10 图 在四边形中 ABCD4ABBDDC 4AB BDBD DC AA0AB BDBD DC AA 则的值为 ABDCAC A 22 244 2 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 把答案填写在答题卡相应位置上 分 把答案填写在答题卡相应位置上 11 复数的虚部为 3 2 2 i i 12 已知满足则函数的最大值是 xy 1 24 1 xy xy x 3zxy 13 若函数的定义域为 则的取值范围为 2 2 21 xax n f x R 14 设为公比的等比数列 若和是方程的两根 则 n a1q 2004 a 2005 a 2 4830 xx 20062007 aa 15 某校要求每位学生从门课程中选修门 其中甲 乙两门课程不能都选 则不同的74 选课方程有 种 以数字作答 16 过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线 交双曲线于两点 22 4xy F105 PQ 则的值为 FP FQA D C AB 题 10 图 第 3 页 共 12 页 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 76 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 本小题满分 13 分 其中 分 其中 小问 小问 9 分 分 小问 小问 4 分 分 设 2 6cos3sin2f xxx 求的最大值及最小正周期 f x 若锐角满足 求的值 32 3f 4 tan 5 18 本小题满分 本小题满分 13 分 其中 分 其中 小问 小问 4 分 分 小问 小问 9 分 分 某单位有三辆汽车参加某种事故保险 单位年初向保险公司缴纳每辆元的保险金 对900 在一年内发生此种事故的每辆汽车 单位可获元的赔偿 假设每辆车最多只赔偿一次 9000 设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 且各车是否发生事故相 1 9 1 10 1 11 互独立 求一年内该单位在此保险中 获赔的概率 获赔金额的分布列与期望 19 本小题满分 本小题满分 13 分 其中 分 其中 小问 小问 8 分 分 小问 小问 5 分 分 如题 19 图 在直三棱柱中 111 ABCABC 1 2AA 1AB 90ABC 点分别在 上 且 DE 1 BB 1 AD 11 B EAD 四棱锥与直三棱柱的体积之比为 1 CABDA 3 5 求异面直线与的距离 DE 11 BC 若 求二面角的平面角的正切值 2BC 111 ADCB 20 本小题满分 本小题满分 13 分 其中 分 其中 小问分别为 小问分别为 6 4 3 分 分 已知函数在处取得极值 其中为常数 44 ln 0 f xaxxbxc x 1x 3c ab 试确定的值 ab 讨论函数的单调区间 f x 若对任意 不等式恒成立 求的取值范围 0 x 2 2f xc c 21 本小题满分 本小题满分 12 分 其中 分 其中 小问 小问 5 分 分 小问 小问 7 分 分 已知各项均为正数的数列的前项和满足 且 n an n S 1 1S 6 1 2 nnn Saa n N 求的通项公式 n a A B C D E 1 B 1 C 1 A 题 19 图 第 4 页 共 12 页 设数列满足 并记为的前项和 求证 n b 21 1 n b n a n T n bn 2 31log 3 nn Tan N 22 本小题满分 本小题满分 12 分 其中 分 其中 小问 小问 4 分 分 小问 小问 8 分 分 如题 22 图 中心在原点的椭圆的右焦点为 右准线 的方程为 O 3 0 F l12x 1 求椭圆的方程 在椭圆上任取三个不同点 使 1 P 2 P 3 P 122331 PFPP FPPFP 证明 为定值 并求此定值 123 111 FPFPFP 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学试题 理工农医类 答案数学试题 理工农医类 答案 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 分 满分分 满分 50 分 分 1 A 2 D 3 C 4 B 5 A 6 C 7 B 8 B 9 D 10 C 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 4 分 满分分 满分 24 分 分 11 12 13 4 5 7 10 14 15 16 1825 8 3 3 三 解答题 满分三 解答题 满分 76 分 分 17 本小题 13 分 解 1 cos2 63sin2 2 x f xx 3cos23sin23xx 31 2 3cos2sin23 22 xx 2 3cos 23 6 x OF 2 P 1 P x l 3 P y 题 22 图 第 5 页 共 12 页 故的最大值为 f x2 33 最小正周期 2 2 T 由得 故 32 3f 2 3cos 2332 3 6 cos 21 6 又由得 故 解得 0 2 2 666 2 6 5 12 从而 4 tantan3 53 18 本小题 13 分 解 设表示第辆车在一年内发生此种事故 由题意知 独立 k Ak12 3k 1 A 2 A 3 A 且 1 1 9 P A 2 1 10 P A 3 1 11 P A 该单位一年内获赔的概率为 123123 89103 1 1 1 9101111 P A A AP A P A P A 的所有可能值为 090001800027000 123123 89108 0 9101111 PP A A AP A P A P A 123123123 9000 PP A A AP A A AP A A A 123123123 P A P A P AP A P A P AP A P A P A 19108110891 910119101191011 24211 99045 123123123 18000 PP A A AP A A AP A A A 123123123 P A P A P AP A P A P AP A P A P A 1110191811 910119101191011 273 990110 123123 27000 PP A A AP A P A P A 1111 91011990 综上知 的分布列为 第 6 页 共 12 页 090001800027000 P 8 11 11 45 3 110 1 990 求的期望有两种解法 解法一 由的分布列得 81131 090001800027000 1145110990 E 元 29900 2718 18 11 解法二 设表示第辆车一年内的获赔金额 k k12 3k 则有分布列 1 1 09000 P 8 9 1 9 故 1 1 90001000 9 E 同理得 2 1 9000900 10 E 3 1 9000818 18 11 E 综上有 元 123 1000900818 182718 18EEEE 19 本小题 13 分 解法一 因 且 故面 1111 BCAB 111 BCBB 11 BC 11 A ABB 从而 又 故是异面直线与的公垂线 111 BCB E 1 B EDE 1 B E 11 BCDE 设的长度为 则四棱椎的体积为BDx 1 CABDA 1 V 1 11 111 2 366 ABDA VSBCDBA A AB BCxBC 而直三棱柱的体积为 111 ABCABC 2 V 211 1 2 ABC VSAAAB BC AABC 由已知条件 故 解之得 12 3 5V V 13 2 65 x 8 5 x 从而 11 82 2 55 B DB BDB 第 7 页 共 12 页 在直角三角形中 11 AB D 2 22 1111 229 1 55 ADABB D 又因 1 1 11111 11 22 A B D SAD B EAB B D 故 111 1 1 2 29 29 AB B D B E AD 如答 19 图 1 过作 垂足为 连接 1 B 11 B FC D F 1 AF 因 故面 1111 ABBC 111 ABB D 11 AB 11 B DC 由三垂线定理知 故为所求二面角的平面角 11 C DAF 11 AFB 在直角中 11 C B D 2 22 1111 23 6 2 55 C DBCB D 又因 1 1 11111 11 22 C B D SC D B FBC B D 故 所以 111 1 1 2 3 9 BC B D B F C D 11 11 1 3 3 tan 2 AB AFB B F 解法二 如答 19 图 2 以点为坐标原点建立空间直角坐标系 则 BOOxyz 0 0 0 B 则 1 0 0 2 B 010 A 1 012 A 1 0 0 2 AA 010 AB 设 则 1 0 2 C a 11 0 0 BCa 又设 则 00 0 Eyz 100 02 B Eyz 从而 即 111 0BC B E A 111 B EBC 又 所以是异面直线与的公垂线 11 B EDA 1 B E 11 BCDE 下面求点的坐标 D 设 则 0 0 Dz 0 0 BDz 因四棱锥的体积为 1 CABDA 1 V 1 11 11 36 ABDA VSBCBDAAAB BC AAA 1 2 1 6 zBC AA A B O C D E 1 B 1 C 1 A 答 19 图 2 y x z F A B C D E 1 B 1 C 1 A 答 19 图 1 F 第 8 页 共 12 页 而直三棱柱的体积为 111 ABCABC 2 V 211 1 2 ABC VSAAAB BC AABC AAA 由已知条件 故 解得 即 12 3 5V V 13 2 65 z 8 5 z 8 0 0 5 D 从而 1 2 0 0 5 DB 1 2 01 5 DA 00 8 0 5 DEyz 接下来再求点的坐标 E 由 有 即 1 11 B EDA 11 0B E DA A 00 2 2 0 5 yz 又由得 2 1 DADE 0 0 8 5 2 1 5 z y 联立 1 2 解得 即 0 4 29 y 0 48 29 z 448 0 29 29 E 得 1 410 0 2929 B E 故 22 1 4102 29 292929 B E 由已知 则 从而 过作 2BC 1 2 0 2 C 1 2 2 0 5 DC 1 B 11 B FC D 垂足为 连接 F 1 AF 设 则 因为 故 11 0 F xz 111 02 B Fxz 11 0B F DC A 11 24 20 55 xz 因且得 即 11 8 0 5 DFxz 1 DFDC 1 1 8 5 2 2 5 z x 11 28 220 55 xz 联立 解得 即 1 2 2 27 x 1 44 27 z 244 2 0 2727 F 则 1 210 21 2727 AF 1 210 2 0 2727 B F 第 9 页 共 12 页 2 2 1 2 2102 3 27279 B F 又 故 因此为所求二面 11 210 2 22 1 00 2727 5 AF DC AAAA 11 AFDC 11 AFB 角的平面角 又 从而 故 为直角 11 010 AB 111 0AB B F A 11 AB 1 B F 11 AB F 三角形 所以 11 11 1 3 3 tan 2 AB AFB B F 20 本小题 13 分 解 I 由题意知 因此 从而 1 3fc 3bcc 3b 又对求导得 f x 343 1 4ln4fxaxxaxbx x A 3 4 ln 4 xaxab 由题意 因此 解得 1 0 f 40ab 12a II 由 I 知 令 解得 3 48lnfxxx 0 x 0fx 1x 当时 此时为减函数 01x 0fx f x 当时 此时为增函数 1x 0fx f x 因此的单调递减区间为 而的单调递增区间为 f x 01 f x 1 III 由 II 知 在处取得极小值 此极小值也是最小值 要 f x1x 1 3fc 使 恒成立 只需 2 2f xc 0 x 2 32cc 即 从而 2 230cc 23 1 0cc 解得或 3 2 c 1c 所以的取值范围为 c 3 1 2 21 本小题 12 分 I 解由 解得或 由假设 因此 1111 1 1 2 6 aSaa 1 1a 1 2a 11 1aS 1 2a 第 10 页 共 12 页 又由 1111 11 1 2 1 2 66 nnnnnnn aSSaaaa 得 11 3 0 nnnn aaaa 即或 因 故不成立 舍去 1 30 nn aa 1nn aa 0 n a 1nn aa 因此 从而是公差为 首项为的等差数列 故的通项为 1 3 nn aa n a32 n a 31 n an II 证法一 由可解得 21 1 n b n a 22 2 13 log1log 31 n n b an 从而 122 3 63 log 2 531 nn n Tbbb n A A A 因此 3 22 3 632 31 log 3 log 2 53132 nn n Ta nn A A AA 令 3 3 632 2 53132 n f n nn A A AA 则 3 2 2 1 3233 33 3532 35 32 f nnnn f nnnnn A 因 故 32 33 35 32 970nnnn 1 f nf n 特别地 从而 27 1 1 20 f nf 22 31 log 3 log 0 nn Taf n 即 2 31log 3 nn Ta 证法二 同证法一求得及 n b n T 由二项式定理知 当时 不等式成立 0c 3 1 1 3cc 由此不等式有 333 2 111 31log 2 111 2531 n T n 2 333 log 2 111 2531n 222 5 832 log 2log 32 log 3 2 531 n n na n 证法三 同证法一求得及 n b n T 第 11 页 共 12 页 令 3 634 731 2 5313 63 nn nn AB nn 5 832 4 731 n n C n 因 33132 31331 nnn nnn 因此 2 3 2 2 nnnn n AA B C 从而 3 3 22 3 63 31log 2log 2 2 531 nn n TA n A A A 222 log 2log 32 log 3 nnnn A B Cna 证法四 同证法一求得及 n b n