高中数学 （主干知识+典例精析）7.9利用空间向量求空间角课件 理 新人教B版.ppt

第九节利用空间向量求空间角 三年20考高考指数 能用向量方法解决直线与直线 直线与平面 平面与平面的夹角的计算问题 了解向量方法在研究立体几何问题中的作用 1 利用直线的方向向量和平面的法向量求线线 线面以及二面角的问题是高考的热点 2 利用向量法求空间角是本节的重点 难点是正确 迅速地进行计算 3 高考对本节的考查多以解答题的形式出现 综合考查空间想象能力 运算能力和数形结合的思想方法 1 异面直线所成角的求法设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 2 直线与平面的夹角 1 斜线和平面内任一直线所成的角已知oa是平面 的斜线段 o是斜足 线段ab垂直于 b为垂足 则直线ob是斜线oa在平面 内的正射影 设om是 内通过点o的任一条直线 oa与ob所成的角为 1 ob与om所成的角为 2 oa与om所成的角为 则cos cos 1 cos 2 2 斜线和平面所成角的性质 最小角定理 斜线和它在平面内的射影所成的角 是斜线和这个平面内所有直线所成角中 的角 3 斜线和平面的夹角斜线和它在平面内的 所成的角叫做斜线和平面所成的角 或斜线和平面的 4 如果一条直线与一个平面垂直 则这条直线与平面的夹角为 如果一条直线与一个平面平行或在平面内 则这条直线与平面的夹角为 最小 射影 夹角 90 0 5 直线和平面所成角 的范围是 6 直线和平面所成角的求法如图所示 设直线l的方向向量为e 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 两向量e与n的夹角为 则有sin cos 0 90 3 二面角及其度量 1 半平面平面内的一条直线把平面分为两部分 其中的每一部分都叫做 2 二面角及相关概念从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 这条直线叫做二面角的 每个半平面叫做二面角的 棱为l 两个面分别为 的二面角 记作 l 半平面 二面角 棱 面 3 二面角的平面角在二面角 l 的棱上任取一点o 在两半平面内分别作射线oa l ob l 则 叫做二面角 l 的平面角 平面角是 的二面角叫做直二面角 4 二面角 的范围是 aob 直角 0 180 5 二面角的求法 如图a ab cd是二面角 l 的两个半平面内与棱l垂直的直线 则二面角的大小 如图b c n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的大小 满足cos 或 即时应用 1 已知二面角的棱上有a b两点 直线ac bd分别在这个二面角的两个半平面内 且都垂直于ab 已知ab 4 ac 6 bd 8 cd 则该二面角的大小为 2 已知向量m n分别是直线l和平面 的方向向量和法向量 若cos m n 则l与 所成角的大小为 3 长方体abcd a1b1c1d1中 ab aa1 2 ad 1 e为cc1的中点 则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为 解析 1 由条件知 二面角的大小为 二面角的大小为60 2 由于cos m n m n 120 所以直线l与平面 所成的角为30 3 建立坐标系如图 则a 1 0 0 e 0 2 1 b 1 2 0 c1 0 2 2 1 0 2 1 2 1 答案 1 60 2 30 3 用向量法求线面角 方法点睛 利用向量求线面角的方法 1 分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 2 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 例1 如图 已知四棱锥p abcd的底面为等腰梯形 ab cd ac bd 垂足为h ph是四棱锥的高 e为ad的中点 1 证明 pe bc 2 若 apb adb 60 求直线pa与平面peh所成角的正弦值 解题指南 图中从点h出发的三条两两垂直的直线可以建立空间直角坐标系 然后正确地求出各点坐标 并用向量法证明两线垂直 求线面角的正弦值 规范解答 以h为原点 ha hb hp所在直线分别为x y z轴 线段ha的长为单位长度建立空间直角坐标系 如图 则a 1 0 0 b 0 1 0 1 设c m 0 0 p 0 0 n m 0 n 0 则d 0 m 0 可得因为所以pe bc 2 由已知条件可得m n 1 故设n x y z 为平面peh的法向量 则即因此可以取n 1 0 又 1 0 1 所以所以直线pa与平面peh所成角的正弦值为 反思 感悟 1 建立空间直角坐标系 求出直线的方向向量和平面的法向量是解答关键 2 注意理解线面角与直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系 可以借助于图形来理解 变式训练 如图所示 在四棱锥s oabc中 底面四边形oabc是直角梯形 且 coa oab oa os ab 1 oc 4 点m是棱sb的中点 n是oc上的点 且on nc 1 3 1 求异面直线mn与bc所成的角的余弦值 2 求mn与平面sab所成角的正弦值 解析 分别以oc oa os所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则由题知s 0 0 1 c 4 0 0 a 0 1 0 b 1 1 0 所以n 1 0 0 1 直线mn与bc所成的角的余弦值为 2 设平面sab的一个法向量为n a b c 则n a b c 1 1 1 a b c 0 n a b c 0 1 1 b c 0 令b 1可得n 0 1 1 直线mn与平面sab所成的角的正弦值为 用空间向量求二面角 方法点睛 求二面角的常用方法 1 分别求出二面角的两个面所在平面的法向量 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角的大小 2 分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 例2 2012 天津模拟 如图 在五面体abcdef中 fa 平面abcd ad bc fe ab ad m为ec的中点 af ab bc fe ad 1 求异面直线bf与de所成角的大小 2 证明 平面amd 平面cde 3 求二面角a cd e的余弦值 解题指南 1 通过求向量的夹角来求异面直线所成的角 2 证进而得ce am ce ad 可得结论成立 3 利用两平面法向量的夹角求二面角的大小 规范解答 如图所示 建立空间直角坐标系 点a为坐标原点 设ab 1 依题意得b 1 0 0 c 1 1 0 d 0 2 0 e 0 1 1 f 0 0 1 m a b f e d c m y x z 1 1 0 1 0 1 1 于是所以异面直线bf与de所成角为60 2 由可得所以ce am ce ad 又am ad a 故ce 平面amd 又ce 平面cde 所以平面amd 平面cde 3 令平面cde的法向量为u x y z 则于是令x 1 可得u 1 1 1 又由题设知平面acd的一个法向量为v 0 0 1 则由条件知二面角为锐角 故所求二面角的余弦值为 反思 感悟 用平面的法向量求二面角的大小时 一定要注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角 变式训练 2012 潍坊模拟 如图所示 直角梯形acde与等腰直角 abc所在平面互相垂直 f为bc的中点 bac acd 90 ae cd dc ac 2ae 2 1 求证 af 平面bde 2 求二面角b de c的余弦值 解析 1 取bd的中点p 连结ep fp 则pfdc 又 eadc eapf 四边形afpe是平行四边形 af ep 又 ep 平面bde af平面bde af 平面bde 2 以ca cd所在直线分别作为x轴 z轴 以过c点和ab平行的直线作为y轴 建立如图所示坐标系 由dc ac 2ae 2可得 a 2 0 0 b 2 2 0 e 2 0 1 d 0 0 2 则平面acde 平面abc 平面acde 平面abc ac ab ac ab 平面acde 0 2 0 是面cde的一个法向量 设面bde的一个法向量n x y z 则即整理 得令y 1 则z 2 x 1 所以n 1 1 2 是平面cde的一个法向量 故由图形可知二面角b de c的平面角 0 所以其余弦值为 用空间向量解决探索性问题 方法点睛 探索性问题的类型及解题策略探索性问题分为存在判断型和位置判断型两种 1 存在判断型存在判断型问题的解题策略是 先假设存在 并在假设的前提下进行推理 若不出现矛盾则肯定存在 若出现矛盾则否定假设 2 位置判断型 与平行 垂直有关的探索性问题的解题策略为 将空间中的平行与垂直转化为向量的平行或垂直来解决 与角有关的探索性问题的解题策略为 将空间角转化为与向量有关的问题后应用公式 其中n1 n2是两平面的法向量或两直线的方向向量 即可解决 例3 2011 浙江高考 如图 在三棱锥p abc中 ab ac d为bc的中点 po 平面abc 垂足o落在线段ad上 已知bc 8 po 4 ao 3 od 2 1 证明 ap bc 2 在线段ap上是否存在点m 使得二面角a mc b为直二面角 若存在 求出am的长 若不存在 请说明理由 解题指南 建立坐标系 1 利用来证明 2 假设存在满足条件的点 求出两个半平面的法向量 判断两法向量是否能垂直即可 若垂直 则假设成立 若不垂直 则假设不成立 规范解答 1 如图以o为原点 以射线od op分别为y轴 z轴的正半轴 建立空间直角坐标系oxyz 则o 0 0 0 a 0 3 0 b 4 2 0 c 4 2 0 p 0 0 4 即ap bc 2 假设存在m 设其中 0 1 则 0 3 4 0 3 4 4 2 4 0 3 4 4 2 3 4 4 4 5 0 8 0 0 设平面bmc的法向量n1 x1 y1 z1 平面apc的法向量n2 x2 y2 z2 由即可取由 得可取n2 5 4 3 由n1 n2 0 得解得故am 3 综上所述 存在点m符合题意 am 3 反思 感悟 利用空间向量法处理问题的关键是建立合理的坐标系 把要求证的问题转化为与向量有关的问题解决 即把问题向量化 虽然过程较繁琐 但是思路简单 是处理问题常用的方法 变式训练 2012 泉州模拟 如图 已知三棱柱abc a1b1c1的侧棱与底面垂直 aa1 ab ac 1 ab ac m n分别是cc1 bc的中点 点p在直线a1b1上 且 1 证明 无论 取何值 总有am pn 2 当 取何值时 直线pn与平面abc所成的角 最大 并求该角取最大值时的正切值 3 是否存在点p 使得平面pmn与平面abc所成的二面角为30 若存在 试确定点p的位置 若不存在 请说明理由 解析 如图 以a为原点建立空间直角坐标系 则a1 0 0 1 b1 1 0 1 m 0 1 n 0 1 0 0 0 0 1 无论 取何值 总有am pn 2 m 0 0 1 是平面abc的一个法向量 当时 取得最大值 此时sin cos tan 2即当时 取得最大值 且tan 2 3 假设存在 设n x y z 是平面pmn的一个法向量 令x 3 得y 1 2 z 2 2 n 3 1 2 2 2 化简得4 2 10 13 0 100 4 4 13 108 0 方程 无解 不存在点p使得平面pmn与平面abc所成的二面角为30 满分指导 用空间向量解答立体几何问题的规范解答 典例 12分 2011 福建高考 如图 四棱锥p abcd中 pa 底面abcd 四边形abcd中 ab ad ab ad 4 cd cda 45 1 求证 平面pab 平面pad 2 设ab ap 若直线pb与平面pcd所成的角为30 求线段ab的长 在线段ad上是否存在一个点g 使得点g到点p b c d的距离都相等 说明理由 解题指南 1 证明平面pab中的直线ab 平面pad 从而可推得平面pab 平面pad 2 以a为坐标原点 建立空间直角坐标系axyz 然后用空间向量法进行求解探究 规范解答 1 因为pa 平面abcd ab 平面abcd 所以pa ab 又ab ad pa ad a 所以ab 平面pad 又ab 平面pab 所以平面pab 平面pad 3分 2 以a为坐标原点 建立空间直角坐标系axyz 如图 在平面abcd内 作ce ab交ad于点e 则ce ad 在rt cde中 de cd cos45 1 p a c e b z x y d 设ab ap t 则b t 0 0 p 0 0 t t 0 t 由ab ad 4得ad 4 t 所以e 0 3 t 0 c 1 3 t 0 d 0 4 t 0 1 1 0 0 4 t t 5分 设平面pcd的法向量为n x y z 由取x t 得平面pcd的一个法向量n t t 4 t 6分由题意得即解得或t 4 舍去 因为ad 4 t 0 所以 8分 假设在线段ad上存在一个点g 如图 使得点g到点p b c d的距离都相等 p a c g b z x y d 设g 0 m 0 其中0 m 4 t 则 1 3 t m 0 0 4 t m 0 0 m t 9分 由得12 3 t m 2 4 t m 2 即t 3 m 由得 4 m t 2 m2 t2 由 消去t 化简得m2 3m 4 0 由于方程 没有实数根 所以在线段ad上不存在一个点g 使得点g到点p b c d的距离都相等 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2012 鞍山模拟 如图 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为2 m n分别是c1d1 cc1的中点 则直线b1n与平面bdm所成角的正弦值为 解析 以d为坐标