专题一2函数与图象.doc

二、函数的图像及其性质知识要点1 函数与映射 对应法则f（1）映射：集合A（A中任意x） 集合B（B中唯一的y）（2）函数：函数实质上是从A到B的一个特殊的映射，其特殊性在于A、B是非空的数集，自变量的取值集合A叫做函数的定义域，函数值的集合C叫做函数的值域。（应注意：值域C不一定等于B，而只能说） 函数的表示方法： 表示函数的方法有解析法、列表法、图像法三种；求函数的解析式的基本方法：代入法、拼凑法、待定系数法、换元法、方程组法；函数的图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。 定义域的求法： 当函数y=f(x)用解析式给出的，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合; 当函数y=f(x)用列表法给出的，函数的定义域是指表格中函数x的集合； 当函数y=f(x)用图像法给出的，函数的定义域是指图像在x轴上的投影所覆盖的实数x的集合 当函数y=f(x)用有实际问题给出的，函数的定义域是有实际问题的意义确定。 求函数值域的常用方法： 观察法、配方法、图像法、不等式法、换元法、单调性法、判别式法、最值法等。2 函数的性质 单调性：定义：对于定义域内某一区间D内任意的X1,X2且X1X2 f(x1)f(x2) f(x)在 D上单调递减 函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，函数在区间是增函数，表现在图像上，图像是上升的；函数在区间上是减函数，表现在图像上，图像是下降的。 判断函数的单调性的常用方法： i定义法 ii导数法 iii两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数）；iv奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；奇函数f(x)在x=0处有定义时，必有f(0)=0 v如果y=f()和=g(x)相同，那么y=fg(x)是增函数；如果y=f(u)和=g(x)单调性相反，那么y=fg(x)是减函数，即同“增”异“减”。 2奇偶性 定义：对于定义域内的任意x（定义域关于原点对称） f(x)=f(x)f(x)为奇函数 f(x)=f(x)f(x)为偶函数 判断分段函数的奇偶性，对x在各y区间上分别讨论，应注意有x的取值范围确定应用相应的函数表达式，最后要综合得出，在定义域内总有f(x)=f(x)或f(x)=f(x)。从而判定其奇偶性。 性质：函数y=f(x)是偶函数f(x)的图像关于y轴对称 函数y=f(x)是奇函数f(x)的图像关于原点轴对称3周期性 周期函数f(x)的最小正周期T满足下列两种：i 当x取定义域内的每一个值时，均有f(2+T)=f(x)ii T是不为零的最小正数 一般的，若T为f(x)的周期，则nT(n Z)也是f(x)的周期，即f(x)=f(x+nT) 函数f(x)在定义域上满足f(x+T)=f(x),则函数f(x)是周期函数，周期2T； 函数f(x)是奇函数，且满足f(a-x)=f(a+x),a0，则f(x)是周期函数，周期为4a；函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x)且, a0 b0，ab,则f(x)是周期函数，周期为2（ab）； 函数f(x)满足f(x+2)=f(x+1)f(x)，则函数f(x)是周期函数，周期为63 函数的图像（1） 作函数图像的常用方法：i描点法 ii变换法（2） 常用的图像变化：i平移变换 ii对称变换 iii伸缩变换。（3） 解决图形问题的常用方法是：定量计算法、定性分析法、函数模型法4 函数的零点（1） 定义：对于函数y= f(x)（xD），我们把是f(x)=0的实数x叫做函数y= f(x)(x)的零点（2） 性质：i 对二次函数而言：二次函数的图像是连续的，当它通过零点（不是二重零点）时，函数值改变符号在相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号。ii如果函数y= f(x)在区间a、b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0, 那么函数y= f(x)在区间（a、b）内有零点，既存在c（a、b）,使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根ii 通过寻找连续函数的零点，结合零点出的性子可作出函数的草图范例解析例1 已知函数y= f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5,函数y= f(x) (-1x1)是奇函数，又知y= f(x)在0，1上是一次函数，在1，4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值，最小值为-5（1） 证明：f(1)+f(4)=0;（2） 试求y=f(x)，x1，4的解析式；（3） 试求y=f(x) 在4，9上的解析式。点拨（1）利用周期性把f(4)转化为f(-1);(2)用顶点式简便（3）由x的范围，分类讨论得分段函数解析（1）y=f(x)是以5为周期的周期函数 f(4)=f(4-5)=f(-1) 又y=f(x)(-1x1)是奇函数 f(1) =-f(-1)=-f(4) f(1)+f(4)=0 (2)当x1，4时，由题设，可设y=f(x)=a(x-2)5(a0) 由f(1)+f(4)=0 得a(1-2)5+a(4-2)5=0，解得a=2， f(x)=2(x-2)-5( 1x4)（3）y=f(x)（-1x1）是奇函数 f(0)=f(0) f(0)=0 又y=f(x)(0x1)是一次函数 可设f(x)=kx(0x1) f(1)=2(1-2)5=-3 又f(1) =k1=k k=-3 当0x1时，f(x)=3x 当1x0时，0-x1 f(x)=-f(-x)=-3x 当 -1x1时，f(x)=-3x 当4x6时，-1x-51 f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15 当6x9时，154 f(x)=f(x-5)=2(x-5)-2-5 =2(x-7)-5 误区警示本题中若忽略（1，-3）点既在一次函数图像上，又在二次函数图像上，易使思维受阻。归纳点评函数的周期性、奇偶性、单调性之间的关系相当密切，考题中对“三性”的考察出现的频率很高，若能灵活的利用这三个性质解题，可起到事半功倍，简洁明快的效果。另外，抽象函数的考察也是高考命题的热点。举一反三设函数f(x)定义在R上，对于任意实数m、n，总有f(m+n)=f(m)f(n),且当x0时，0f(x)1，（1） 证明：f(0)=1,且x0时，f(x)1（2） 证明：函数在R上单调递减;（3） 设A=(x,y)f(x2)f(y2)f(1),B=(x,y)f(ax-y+2)=1,aR若AB= 确定a的取值范围解析（1）令n=0，则f(m+0)=f(m)f(0)，对于任意实数m恒成立，f（0）=1设x0，则-x0，由fx+(-x)=f(x)f(-x)=1,得f(x)=1/f(-x) 当x0时，0f(x)1，1/f(x)1 x0时，-x0，f(x)=1/f(-x)1（2）方法一：设x1x2,则x2-x10,f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-x1)f(x1)x2-x10, 0f(x2-x1)1f(x2-x1)f(x1) f(x1) f(x1)f(x2),函数为减函数方法二：设x1x2，则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1)+x1=f (x1)-f (x2-x1) f(x1)=f(x1)1-f(x2-x1)x2-x10 0f(x2-x1)1 1-f(x2-x1)0 ,f(x1)0f(x1)-f(x2)=f(x1) 1-f(x2-x1)0f(x1)f(x2),函数为减函数(3) f(x2 )f(y2 )=f(x2+y2)f(1), f(ax-y+2)=1=f(0)x2+y21, ax-y+2=0若AB= 则圆心（0，0）到直线的距离应满足 解之得a23例2见“世纪金榜”p11 例4+举一反三粘贴例3 若函数f(x)=x2+(a2+2)x+5a-3在区间（-1，1）上与x轴恒有一个交点，求实数a的取值范围点拨f(x)在（-1，1）上与x轴有一交点即f(x)在1处函数值可能异号，通过对称轴可进一步明确解析根据题意可得f(x)=0在-1，1上恒有一实根又f(x)的对称轴为x=-(a2+2)/2-1即实数a的取值范围是（-，-5）(0,1) (4,+)误区警示解决此类问题的一般模式为f(-1)f(1)0,此题若应用这种模式解,就会得到一个四次不等式,不容易的解,解决此题的关键是观察函数对称轴的范围归纳点评函数与x轴的交点问题常可转化为函数的零点问题，即转化成方程是否有实根的问题，研究二次函数在给定区间上的零点时，可从判别式、对称轴、开口方向、区间的端点值等几个方面去考虑。举一反三已知函数（1） 若函数f（x）有两个不同的零点，求b的取值范围；（2） 若对有两个不相等的实根，证明必有一实根属于解析（1）由题意知：b+c+1=0, 即c=-(1+b)f（x）有两个零点 f（x）=0有两个不相等的实根（2）设则 g(x)必有一根属于即方程必有一根属于例4中国网通为了配合客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间关系如下图表示（MN/CD）（1） 若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？（2） 方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？（3） 若通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？点拨这是一道实际应用题，题目叙述较长，因此首先阅读题目，从中概括、抽象出主要问题，这是一道函数应用题，写出函数解析式，然后分别讨论解析设方案A方案与方案B中应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的函数关系分别为由图知所以，方案A与方案B中应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的函数关系分别为（1） 若x=120（分钟）,则（元）,（元）（2） 由题意可知方案B每分钟收费0.3元（3） 由题意得所以通话时间在大于分钟的范围内，方案B才会比方案A优惠归纳点评解数学问题，通常习惯于把它分成若干个简单的问题，然后再各个击破，分而治之，本题的数学模型是分段函数，要注意找好不同区间内的解析式。举一反三如图等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a，BC=a,BCD=,作直线MNAD交AD于M，交折线ABCD于N，设AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域解析作BHAD,H为垂足，CGAD,G为垂足，依题意，则有AH=,AG=（1） 当M位于点H的左侧时， NAB, 由于AM=x,A=MN=x（2） 当M位于HG之间时，由于AM=x, MN=,BN=x-（3） 当M位于点G的右侧时，由于AM=x, MN=MD=2a-x综上：知能检测一、 选择题1、函数的定义域是，则其值域是（ ）A B C D解析选A作出的图象可确定选A2、设f(x)是R上的奇函数，且当时，那么当时，f(x)为（ ）A BC D解析选D，当，则又f(x)是奇函数, f(-x)= -f(x)故3、函数在区间A上是增函数，那么A的区间是（ ）A B C D解析选B，作图，显然A为4、如图，P点在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD的中点，则当P沿ABCM运动时，点P经过的路程x与的面积y的函数y=f(x)的图象的形状大致是下图的（ ）D M C1 P A BABCD世p12 5，65、若h(x),g(x)均为奇函数，f(x)=ah(x)+bg(x)+2在上有最大值5，则f(x)在上有（ ）A最小值-5 B最大值-5C最小值-1 D最大值-3解析选C，令m(x)=ah(x)+bg(x)，由题设易得m(x)为奇函数，且在上m(x)有最大值3, m(x)在上有最小值-3，f(x)在上有最小值-1二、 填空题 6已知f(x)是实数集上的函数，且,若f(2)=2+则f(2006)=_解析 T=8f(2006)=f(6)= 答案7.已知函数f(x)=2mx+4，若在-2，1上存在x0,使f(x0)=0,则实数m的取值范围是_解析由题意知m0，f(x)是单调函数，又在-2，1上存在x0，使f(x0)=0 f(-2)f(1)0 即(-4m+4)(2m+4)0 解得m-2或m1答案 m-2或m18定义在上的函数y=f(x)在上是增函数，且函数y=f(x+2)为偶函数，则f(-1),f(4),f()的大小关系为 解析由f(x+2)是偶函数得f(x+2)=f(-x+2) f(x)的图象关于x=2对称,而f(-1)=f(5),且f(x)在上递减, 即答案：9、已知函数，给出下列命题：f(x)是偶函数当f(0)=f(2)时，f(x)的图象必关于直线x=1对称；若，则f(x)在区间上是增函数；f(x)有最大值。其中正确命题的序号是 解析当时，f(x)不可能是偶函数，故错；既不一定是最大值也不一定是最小值，故错；若，则f(0)=f(2)，但图象不关于直线x=1对称，故错;当时，在上是增函数，故正确答案 三解答题10设函数f(x)对于任意的x、yR,都有f(x+y)=f(x)+f(y)且x0时，f(x)0,f(1)= -2,(1) 求证：f(x)是奇函数(2) 试问在-3x3, f(x)是否有最值,如果有，求出最值，如果没有，说明理由解析 (1)在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=x=0,和y= -x,则f(0+0)=f(0)+f(0),f(0)=0f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,f(-x)=-f(x)故f(x)为奇函数（2）设x1x2 由f(x+y)=f(x)+f(y)知f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)又f(x)为奇函数，f(-x1)= -f(x1)f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)当x0时，f(x)0又x2-x10, f(x2-x1)0 即由 f(x2)-f(x1)0得f(x2)f(x1)f(x)在(-, +)上是减函数当x=-3时，f(x)max=f(-3)=-f(3)=6当x=3时，f(x)min=f(3)=-61