2019版高考数学 第三章 第4节

第四节函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用1函数yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x2xyAsin(x)0A0A03由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的两种方法1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数ysin的图象是由ysin的图象向右平移个单位得到的()(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致()(3)函数yAsin(x)的最小正周期为T.()(4)把函数ysin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为ysinx.()答案：(1)(2)(3)(4)2函数y2sin的振幅、频率和初相分别为()A2，B2，C2， D2，解析：选A由振幅、频率和初相的定义可知，函数y2sin的振幅为2，频率为，初相为.3函数ycos x|tan x|的图象为()解析：选C由题意知y结合图象知选C.4为了得到函数y2sin的图象，可以将函数y2sin 2x的图象()A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度解析：选A函数y2sin2sin，可由函数y2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到故选A.5用五点法作函数ysin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是_、_、_、_、_.答案：6.函数f(x)Asin(x)(A0，0,0)的部分图象如图所示，则f的值为_解析：由图象可知A2，T，T，2，当x时，函数f(x)取得最大值，22k(kZ)，2k(kZ)，00，左移；0，上移；k0，下移 (2)伸缩变换沿x轴伸缩由yf(x)变为yf(x)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍沿y轴伸缩由yf(x)变为yAf(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍2注意三角函数图象变换中的3问题(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数yAsin x到yAsin(x)的变换量是|个单位，而函数yAsin x到yAsin(x)时，变换量是个单位冲关演练1(2016全国卷)将函数y2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为()Ay2sinBy2sinCy2sin Dy2sin解析：选D函数y2sin的周期为，将函数y2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y2sin2sin，故选D.2(2018昆明质检)已知函数f(x)sin(00)个单位长度，则m的最小值为()A1 B.C. D.解析：选A由题意，得sin0，即k(kZ)，则2k(kZ)，结合00，0，|的部分图象如图所示，则f的值为()ABC D1解析：选D由图象可得A，最小正周期T4，则2.又fsin，|0，|0，0)中参数的方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A，b；(2)求：确定函数的周期T，则可得；(3)求：常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口具体如下：第一点图象上升时与x轴的交点x0第二点图象的“峰点”x第三点图象下降时与x轴的交点x第四点图象的“谷点”x第五点x22谨防1种失误一般情况下，的值是唯一确定的，但的值是不确定的，它有无数个，如果求出的值不在指定范围内，可以通过加减的整数倍达到目的冲关演练1(2015全国卷)函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ解析：选D由图象知，周期T22，2，.由2k，得2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，得2kx2k，kZ，f(x)的单调递减区间为，kZ.2(2018西安八校联考)已知函数f(x)sin(x)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)_.解析：依题意得 2，则2，即，所以f(x)sin，由于该函数图象过点，因此sin()，即sin ，而，故，所以f(x)sin.答案：sin三角函数的图象与性质是高考的热点，常常利用其性质解决实际问题或与导数、不等式等综合构成较复杂的问题，此时题目难度大，综合性较强.,常见的命题角度有：(1)三角函数模型的应用；(2)函数零点(方程根)问题；(3)三角函数图象与性质的综合应用.题点全练角度(一)三角函数模型的应用1据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)Asin(x)BA0，0，|的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元则7月份的出厂价格为_元解析：作出函数简图如图：三角函数模型为：yAsin(x)B，由题意知：A2 000，B7 000，T2(93)12，.将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有3，0，故f(x)2 000sinx7 000(1x12，xN*)f(7)2 000sin7 0006 000.故7月份的出厂价格为6 000元答案：6 000题型技法三角函数模型在实际应用中体现的2个方面(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模角度(二)函数零点(方程根)问题2函数ysin(x)在同一个周期内，当x时，y取得最大值1，当x时，y取得最小值1.若函数f(x)满足方程f(x)a(0a1)，则在0,2内的所有实数根之和为()A.B.C. D.学审题由在同一周期内给出y取得最大值、最小值时对应的x值，可推导出最小正周期T；在一个周期内有两个根满足f(x)a，可结合图象推出两根关系；应想到在0,2内有几个周期解析：选A由题意可得2，所以3.又sin1，所以2k(kZ)，所以2k(kZ)又|，所以，所以函数f(x)sin.由于f(x)sin的最小正周期为，所以f(x)sin在0,2内恰有3个周期，所以sina(0a0，0)；(2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象；(3)利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题角度(三)三角函数图象与性质的综合应用3(2018湘中名校联考)已知函数f(x)sin xsin(0)(1)若f(x)在0，上的值域为，求的取值范围；(2)若f(x)在上单调，且f(0)f0，求的值解：f(x)sin xsinsin xsin xcos xsin xcos xsin.(1)由x0，x，又f(x)在0，上的值域为，即最小值为，最大值为1，则由正弦函数的图象可知，解得.的取值范围是.(2)因为f(x)在上单调，所以0，则，即3，又0，所以03，由f(0)f0且f(x)在上单调，得是f(x)图象的对称中心，k，kZ6k2，kZ，又03，所以2.题型技法解决三角函数图象与性质综合问题的步骤(1)将f(x)化为asin xbcos x的形式；(2)构造f(x)sin xcos x；(3)和角公式逆用，得f(x)sin(x)(其中为辅助角)；(4)利用f(x)sin(x)研究三角函数的性质；(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范冲关演练1(2018东北四市模拟)若关于x的方程2sinm在上有两个不等实根，则m的取值范围是()A(1，)B0,2C1,2) D1，解析：选C2sinm在上有两个不等实根等价于函数f(x)2sin的图象与直线ym有两个交点在同一坐标系中作出yf(x)与ym的图象如图所示，由图可知m的取值范围是1,2)2(2017河北石家庄一模)若函数f(x)sin(2x)cos(2x)(0)的图象关于点对称，则函数f(x)在上的最小值是()A1 BC D解析：选Bf(x)sin(2x)cos(2x)2sin，则由题意，知f2sin0，又因为0，所以0)的图象的相邻两支截直线y2所得线段长为，则f的值是()AB.C1 D.解析：选D由题意可知该函数的周期为，2，f(x)tan 2x.ftan .4.若函数ysin(x)(0)的部分图象如图，则等于()A5 B4C3 D2解析：选B由图象可知x0x0，即T，故4.5若函数f(x)2sin x(0)在(0,2)上恰有两个极大值和一个极小值，则的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A因为函数f(x)在(0,2)上恰有两个极大值和一个极小值，所以由正弦函数的图象可得T2T，即2，解得.6将函数f(x)cos 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)，则g(x)具有的性质是()A最大值为1，图象关于直线x对称B在上单调递增，为奇函数C在上单调递增，为偶函数D周期为，图象关于点对称解析：选B将函数f(x)cos 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)cossin 2x的图象，当x时，g(x)0，故A错，当x时，2x，故函数g(x)在上单调递增，为奇函数，故B正确，C错，当x时，g(x)，故D错，选B.7若函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则f_.解析：由f(x)sin(0)的最小正周期为，得4.所以fsin0.答案：08已知函数f(x)2sin 的图象经过点(0,1)，则该函数的振幅为_，周期T为_，频率为_，初相为_解析：振幅A2，T6，f.因为图象过点(0,1)，所以2sin 1，所以sin ，又|，所以.答案：269(2017河南洛阳统考)函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示，已知图象经过点A(0,1)，B，则f(x)_.解析：由已知得，T，又T，3.f(0)1，sin ，又0，f(x)2sin(经检验满足题意)答案：2sin10某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaAcos(x1,2,3，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ，12月份的平均气温最低，为18 ，则10月份的平均气温值为_.解析：依题意知，a23，A5，所以y235cos，当x10时，y235cos20.5.答案：20.5B级中档题目练通抓牢1(2018云南11校跨区调研)函数f(x)sin x(0)的图象向左平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是()A. B2C1 D.解析：选C依题意得，函数fsin(0)的图象过点，于是有fsinsin 0(0)，k，kZ，即kZ，因此正数的最小值是1，选C.2(2018安徽两校阶段性测试)将函数ycos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为()Ax BxCx Dx解析：选A将函数ycos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数ycos的图象；再将此函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数ycoscos的图象该函数图象的对称轴为k(kZ)，即x2k(kZ)结合选项，只有A符合，故选A.3.已知函数f(x)sin(x)的部分图象如图所示，又x1，x2，且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)()A. B.C. D1解析：选B由题图可知，则T，2，又，所以f(x)的图象过点，即sin1，得2k，kZ，即2k，kZ，又|，可得，所以f(x)sin.由f(x1)f(x2)，x1，x2，可得x1x2，所以f(x1x2)fsinsin.4.若函数f(x)sin(x)的部分图象如图所示，直线x是它的一条对称轴，则函数f(x)的解析式为_解析：由题意可知，所以T，所以2.又因为f1，所以sin1，所以2k(kZ)又，所以，所以f(x)sin.答案：f(x)sin5已知函数f(x)3sin(0)和g(x)3cos(2x)的图象完全相同，若x，则f(x)的值域是_解析：f(x)3sin3cos3cos，易知2，则f(x)3sin，x，2x，f(x)3.答案：6.已知函数f(x)2sin(其中01)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心(1)求的值，并求出函数f(x)的增区间；(2)先列表，再作出函数f(x)在区间，上的图象解：(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，所以k(kZ)，所以3k(kZ)，因为01，所以当k0时，可得.所以f(x)2sin.令2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)，所以函数f(x)的增区间为(kZ)(2)由(1)知，f(x)2sin，x，列表如下：x0xy120201作出函数部分图象如图所示：7(2017山东高考)设函数f(x)sinsin，其中03.已知f0.(1)求；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的最小值解：(1)因为f(x)sinsin，所以f(x)sin xcos xcos xsin xcos xsin.因为f0，所以k，kZ.故6k2，kZ.又00)的图象的相邻两支截直线y2所得线段长为，则f的值是()AB.C1 D.解析：选D由题意可知该函数的周期为，2，f(x)tan 2x.ftan .3.(2018洛阳调研)已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是()Af(x)sinBf(x)sinCf(x)sin Df(x)sin解析：选D由图象可知，T，2，故排除A、C；把x代入检验知，选项D符合题意4.(2016全国卷)若将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为()Ax(kZ) Bx(kZ)Cx(kZ) Dx(kZ)解析：选B将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y2sin 2sin的图象由2xk(kZ)，得x(kZ)，即平移后图象的对称轴为x(kZ)5将函数f(x)2cos 2x的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A易得g(x)2cos，由2k2x2k，得kxk(kZ)，即函数g(x)的单调增区间为(kZ)当k0时，函数的增区间为，当k1时，函数的增区间为.又函数g(x)在区间和上均单调递增，所以解得a.6(2018河南洛阳统考)函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示，已知图象经过点A(0,1)，B，则f(x)_.解析：由已知得，T，又T，3.f(0)1，sin ，又0，f(x)2sin(经检验满足题意)答案：2sin7已知函数f(x)3sin(0)和g(x)3cos(2x)的图象完全相同，若x，则f(x)的值域是_解析：f(x)3sin3cos3cos，易知2，则f(x)3sin，x，2x，f(x)3.答案：8.(2018山东师大附中模拟)设P为函数f(x)sinx的图象上的一个最高点，Q为函数g(x)cosx的图象上的一个最低点，则|PQ|的最小值是_解析：由题意知两个函数的周期都为T4，由正、余弦函数的图象知，f(x)与g(x)的图象相差个周期，设P，Q分别为函数f(x)，g(x)图象上的相邻的最高点和最低点，设P(x0,1)，则Q(x01，1)，则|PQ|min.答案：9.已知函数f(x)2sin(其中01)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心(1)求的值，并求出函数f(x)的增区间；(2)先列表，再作出函数f(x)在区间，上的图象解：(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，所以k(kZ)，所以3k(kZ)，因为01，所以当k0时，可得.所以f(x)2sin.令2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)，所以函数的增区间为(kZ)(2)由(1)知，f(x)2sin，x，列表如下：x0xy120201作出函数部分图象如图所示：10(2018黑龙江哈尔滨六中月考)已知函数f(x)cos2sinsin.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将yf(x)的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到yg(x)的图象若函数yg(x)在区间上的图象与直线ya有三个交点，求实数a的取值范围解：(1)f(x)cos2sinsincos 2xsin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)cos 2xsin 2xsin2xcos2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以函数f(x)的单调递增区间是，kZ.(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，得ysin2)sincos 2x的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g(x)cos x的图象作函数g(x)cos x在区间，上的图象，及直线ya.根据图象知，实数a的取值范围是.B级拔高题目稳做准做1.已知函数f(x)sin(x)的部分图象如图所示，又x1，x2，且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)()A. B.C. D1解析：选B由题图可知，则T，2，又，所以f(x)的图象过点，即sin1，又|，可得，所以f(x)sin.由f(x1)f(x2)，x1，x2，可得x1x2，所以f(x1x2)fsinsin.2(2018湘中名校联考)已知函数f(x)sin，0，xR，且f()，f().若|的最小值为，则函数的单调递增区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ解析：选B由f()，f()，|的最小值为，知，即T3，所以，所以f(x)sin，令2kx2k(kZ)，得3kx3k(kZ)，故选B.3.已知函数f(x)sin(2x)，其中为实数，若f(x)对xR恒成立，且ff()，则f(x)的单调递增区间是_解析：因为f(x)对xR恒成立，即1，所以k(kZ)因为ff()，所以sin()sin(2)，即sin 0，所以2k(kZ)，所以f(x)sin，所以由三角函数的单调性知2x(kZ)，解得x(kZ)