高三数学一轮复习 7.5直线、平面垂直的判定及其性质课件 .ppt

第五节直线 平面垂直的判定及其性质 知识梳理 1 直线与平面垂直 1 定义 直线l与平面 内的 一条直线都垂直 就说直线l与平面 互相垂直 任意 2 判定定理与性质定理 两条相交直线 平行 2 直线和平面所成的角 1 定义 平面的一条斜线和 所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角 2 范围 它在平面上的射影 3 平面与平面垂直 1 二面角的有关概念 二面角 从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点 以该点为垂足 在两个半平面内分别作 的两条射线 这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角 二面角的范围 两个半平面 垂直于棱 2 平面和平面垂直的定义 两个平面相交 如果所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 3 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 直二面角 垂线 交线 考点自测 1 思考 给出下列命题 直线l不可能和两个相交平面都垂直 当 时 直线l过 内一点且与交线垂直 则l 异面直线所成的角与二面角的取值范围均为 二面角是指两个相交平面构成的图形 若两个平面垂直 则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 其中正确的是 a b c d 解析 选d 正确 否则两个平面应平行 错误 当该点是交线上的点时 l与 不一定垂直 错误 异面直线所成角的范围是而二面角的范围是 0 错误 二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 错误 若平面 平面 则平面 内的直线l与 可平行 可相交 也可在平面 内 2 下列条件中 能判定直线l 平面 的是 a l与平面 内的两条直线垂直b l与平面 内无数条直线垂直c l与平面 内的某一条直线垂直d l与平面 内任意一条直线垂直 解析 选d 由直线与平面垂直的定义 可知d正确 3 已知如图 六棱锥p abcdef的底面是正六边形 pa 平面abc 则下列结论不正确的是 a cd 平面pafb df 平面pafc cf 平面pabd cf 平面pad 解析 选d a中 因为cd af af 平面paf cd 平面paf 所以cd 平面paf成立 b中 因为abcdef为正六边形 所以df af 又因为pa 平面abcdef 所以pa df 又因为pa af a 所以df 平面paf成立 c中 因为cf ab ab 平面pab cf 平面pab 所以cf 平面pab 而d中cf与ad不垂直 故选d 4 直线a 平面 b 则a与b的位置关系是 解析 由b 可得b平行于 内的一条直线 设为b 因为a 所以a b 从而a b 但a与b可能相交 也可能异面 答案 垂直 相交垂直或异面垂直 5 将正方形abcd沿ac折成直二面角后 dab 解析 如图 取ac的中点o 连接do bo bd 则do ac bo ac 故 dob为二面角的平面角 从而 dob 90 设正方形边长为1 则do bo 所以db 1 故 adb为等边三角形 所以 dab 60 答案 60 考点1有关垂直关系的判断 典例1 1 2013 新课标全国卷 已知m n为异面直线 m 平面 n 平面 直线l满足l m l n l l 则 a 且l b 且l c 与 相交 且交线垂直于ld 与 相交 且交线平行于l 2 2013 广东高考 设m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 下列命题中正确的是 a 若 m n 则m nb 若 m n 则m nc 若m n m n 则 d 若m m n n 则 解题视点 1 作出与直线m n平行的直线 证明平面 相交 然后可证交线与直线l平行 2 利用面面平行与垂直的判定与性质进行判断 规范解答 1 选d 因为m n为异面直线 m 平面 n 平面 所以 相交 否则m n为平行直线 设 l 则l m l n 过空间一点p作m m n n 则m n 可确定平面 由题意知 l l 所以l l 2 选d 对于选项a 分别在两个垂直平面内的两条直线平行 相交 异面都可能 但未必垂直 对于选项b 分别在两个平行平面内的两条直线平行 异面都可能 对于选项c 两个平面分别经过两垂直直线中的一条 不能保证两个平面垂直 对于选项d m m n 则n 又因为n 则 内存在与n平行的直线l 因为n 则l 由于l l 所以 规律方法 空间垂直关系的判断方法 1 借助几何图形来说明线面关系要做到作图快 准 甚至无需作图在头脑中形成印象来判断 2 寻找反例 只要存在反例 那么结论就不正确 3 反复验证所有可能的情况 必要时要运用判定或性质定理进行简单说明 变式训练 2014 衡水模拟 设l是直线 是两个不同的平面 a 若l l 则 b 若l l 则 c 若 l 则l d 若 l 则l 解析 选b 对于a 若l l 则 可能相交 对于b 若l 则平面 内必存在一直线m与l平行 则m 又m 故 选项c l可能平行于 或l在平面 内 选项d l还可能平行于 或在平面 内 加固训练 1 如果直线l m与平面 满足 l l m 且m 那么必有 a 且l mb 且 c 且m d m 且l m 解析 选a m 且m 则 m 且l 则l m 2 2013 杭州模拟 设a b c是三条不同的直线 是两个不同的平面 则a b的一个充分条件是 a a c b cb a b c a b d a b 解析 选c 对于选项c 在平面 内存在c b 因为a 所以a c 故a b a b选项中 直线a b可能是平行直线 相交直线 也可能是异面直线 d选项中一定推出a b 考点2线面垂直的判定和性质 考情 线面垂直的判定和性质的应用是高考立体几何的命题热点 试题以解答题形式出现 主要考查利用判定定理及性质定理证明线线垂直 线面垂直等问题 常与线面平行 线线平行问题 体积问题交汇出现 试题难度不大 易得分 高频考点通关 典例2 1 已知abcd为矩形 pa 平面abcd 下列判断中正确的是 a ab pcb ac 平面pbdc bc 平面pabd 平面pbc 平面pdc 2 2013 重庆高考 如图 四棱锥p abcd中 pa 底面abcd pa 2 bc cd 2 acb acd 求证 bd 平面pac 若侧棱pc上的点f满足pf 7fc 求三棱锥p bdf的体积 解题视点 1 画出图形 结合图形判断选项的正误 2 由bc cd及 acb acd证明bd ac 再由pa 底面abcd 得pa bd 直接利用线面垂直的判定定理证明 利用vp bcd s bcd pa vf bcd s bcd pa vp bdf vp bcd vf bcd 可求解三棱锥的体积 规范解答 1 选c 由题意画出几何体的图形 如图 显然ab pc不正确 ac不垂直po 所以ac 平面pbd不正确 bc ab pa 平面abcd pa bc pa ab a 所以bc 平面pab 正确 2 因bc cd 即 bcd为等腰三角形 又 acb acd 故bd ac 因为pa 底面abcd 所以pa bd 从而bd与平面pac内两条相交直线pa ac都垂直 所以bd 平面pac 三棱锥p bcd的底面bcd的面积由pa 底面abcd 得由pf 7fc 得三棱锥f bcd的高为故所以 通关锦囊 特别提醒 在证明线面垂直时 一定要严格按照定理要求 不要忽视 平面中的两条相交直线 这个条件 关注题型 通关题组 1 2014 台州模拟 如图 在矩形abcd中 ab 2bc 点m在边cd上 点f在边ab上 且df am 垂足为e 若将 adm沿am折起 使点d位于d 位置 连接d b d c得四棱锥d abcm 1 求证 am d f 2 若 d ef 直线d f与平面abcm所成角的大小为 求直线ad 与平面abcm所成角的正弦值 解析 1 因为am d e am ef 又因为d e ef是平面d ef内两条相交直线 所以am 平面d ef 所以am d f 2 由 1 知am 平面d ef 所以平面d ef 平面abcm 且 d ef 所以过d 作平面abcm的垂线 垂足h必在ef上 所以 d fe是d f与平面abcm所成角 因为 d ef 且 d fe 所以 d ef是等边三角形 因为d e ef即de ef 所以 daf是等腰直角三角形 设ad 2 所以af 2 且ef 所以四棱锥d abcm的高d h 设直线ad 与平面abcm所成角为 则sin 所以直线ad 与平面abcm所成角的正弦值为 2 2013 广东高考 如图 在边长为1的等边 abc中 d e分别是ab ac边上的点 ad ae f是bc的中点 af与de交于点g 将 abf沿af折起 得到如图所示的三棱锥a bcf 其中 1 证明 de 平面bcf 2 证明 cf 平面abf 3 当时 求三棱锥f deg的体积vf deg 解析 1 在等边 abc中 ad ae 所以在折叠后的三棱锥a bcf中也成立 所以de bc 因为de 平面bcf bc 平面bcf 所以de 平面bcf 2 在等边 abc中 f是bc的中点 所以af fc 因为在三棱锥a bcf中 所以bc2 bf2 cf2 cf bf 因为bf af f 所以cf 平面abf 3 由 1 可知ge cf 结合 2 可得ge 平面dfg 加固训练 1 2014 韶关模拟 已知 abc的三边长分别为ab 5 bc 4 ac 3 m是ab边上的点 p是平面abc外一点 给出下列四个命题 若pa 平面abc 则三棱锥p abc的四个面都是直角三角形 若pm 平面abc 且m是ab边的中点 则有pa pb pc 若pc 5 pc 平面abc 则 pcm面积的最小值为 若pc 5 p在平面abc上的射影是 abc内切圆的圆心 则点p到平面abc的距离为 其中正确命题的序号是 把你认为正确命题的序号都填上 解析 由题知ac bc 对于 若pa 平面abc 则pa bc 又知pa ac a 所以bc 平面pac 所以bc pc 因此该三棱锥p abc的四个面均为直角三角形 正确 对于 由已知得m为 abc的外心 所以ma mb mc 因为pm 平面abc 则pm ma pm mb pm mc 由三角形全等可知pa pb pc 故 正确 对于 要使 pcm的面积最小 只需cm最短 在rt abc中 cm min 所以 s pcm min 5 6 故 错误 对于 设p点在平面abc内的射影为o 且o为 abc的内心 由平面几何知识得内切圆半径为r 1 且oc 在rt poc中 po 所以点p到平面abc的距离为 故 正确 答案 2 2014 郑州模拟 在直三棱柱abc a1b1c1中 ab aa1 cab 1 证明 cb1 ba1 2 已知ab 2 求三棱锥c1 aba1的体积 解析 1 如图所示 连接ab1 因为三棱柱abc a1b1c1是直三棱柱 cab 所以ac 平面abb1a1 故ac ba1 又因为ab aa1 所以四边形abb1a1是正方形 所以ba1 ab1 又ca ab1 a 所以ba1 平面cab1 故cb1 ba1 2 因为ab aa1 2 bc 所以ac a1c1 1 由 1 知 a1c1 平面aba1 所以 3 如图 1 在rt abc中 c 90 d e分别为ac ab的中点 点f为线段cd上的一点 将 ade沿de折起到 a1de的位置 使a1f cd 如图 2 1 求证 de 平面a1cb 2 求证 a1f be 3 线段a1b上是否存在点q 使a1c 平面deq 说明理由 解析 1 因为d e分别为ac ab的中点 所以de bc 又因为de 平面a1cb bc 平面a1cb 所以de 平面a1cb 2 由已知得ac bc且de bc 所以de ac 所以de a1d de cd a1d cd d 所以de 平面a1dc 而a1f 平面a1dc 所以de a1f 又因为a1f cd 且de cd d 所以a1f 平面bcde 所以a1f be 3 线段a1b上存在点q 使a1c 平面deq 理由如下 如图 分别取a1c a1b的中点p q 则pq bc 又因为de bc 所以de pq 所以平面deq即为平面dep 由 2 知 de 平面a1dc 所以de a1c 又因为p是等腰三角形da1c底边a1c的中点 所以a1c dp 又de dp d 所以a1c 平面dep 从而a1c 平面deq 故线段a1b上存在点q 使得a1c 平面deq 考点3面面垂直的判定和性质 典例3 2013 山东高考 如图 四棱锥p abcd中 ab ac ab pa ab cd ab 2cd e f g m n分别为pb ab bc pd pc的中点 1 求证 ce 平面pad 2 求证 平面efg 平面emn 解题视点 1 本题考查线面平行的证法 可利用线线平行 也可利用面面平行来证明线面平行 2 本题考查了面面垂直的判定 在平面emn中找一条直线mn 确定mn 平面efg即可 规范解答 1 方法一 取pa的中点h 连接eh dh 因为e为pb的中点 所以eh ab eh ab 又ab cd cd ab 所以eh cd eh cd 因此四边形dceh是平行四边形 所以ce dh 又dh 平面pad ce 平面pad 因此ce 平面pad 方法二 连接cf 因为f为ab的中点 所以af ab 又cd ab 所以af cd 又af cd 所以四边形afcd为平行四边形 因此cf ad 又cf 平面pad ad 平面pad 所以cf 平面pad 因为e f分别为pb ab的中点 所以ef pa 又ef 平面pad ap 平面pad 所以ef 平面pad 因为cf ef f 故平面cef 平面pad 又ce 平面cef 所以ce 平面pad 2 因为e f分别为pb ab的中点 所以ef pa 又ab pa 所以ab ef 同理可证ab fg 又ef fg f ef 平面efg fg 平面efg 因此ab 平面efg 又m n分别为pd pc的中点 所以mn cd 又ab cd 所以mn ab 因此mn 平面efg 又mn 平面emn 所以平面efg 平面emn 易错警示 关注面面垂直的条件本例中 2 证明平面efg 平面emn 要关注平面与平面垂直判定定理的两个条件 即mn 平面efg 又mn 平面emn 避免步骤不全导致失误 互动探究 若本例条件不变 证明 平面emn 平面pac 证明 因为e f为pb ab的中点 则ef pa 又因为g为bc的中点 则gf ac 而gf ef f pa ca a 所以平面efg 平面pac 因为平面efg 平面emn 所以平面emn 平面pac 规律方法 面面垂直的证明方法 1 定义法 利用面面垂直的定义 即判定两平面所成的二面角为直二面角 将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题 2 定理法 利用面面垂直的判定定理 即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线 把问题转化成证明线线垂直加以解决 提醒 两平面垂直 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 这是把面面垂直转化为线面垂直的依据 运用时要注意 平面内的直线 变式训练 在如图所示的几何体中 四边形abcd是正方形 ma 平面abcd pd ma e g f分别为mb pb pc的中点 且ad pd 2ma 1 求证 平面efg 平面pdc 2 求三棱锥p mab与四棱锥p abcd的体积之比 解析 1 由已知ma 平面abcd pd ma 得pd 平面abcd 又bc 平面abcd 所以pd bc 因为四边形abcd为正方形 所以bc dc 又pd dc d 因此bc 平面pdc 在 pbc中 因为g f分别为pb pc的中点 所以gf bc 因此gf 平面pdc 又gf 平面efg 所以平面efg 平面pdc 2 因为pd 平面abcd 四边形abcd为正方形 不妨设ma 1 则pd ad 2 所以由于da 平面mab 且pd ma 所以da即为点p到平面mab的距离 所以vp mab vp abcd 1 4 加固训练 1 如图所示 在四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd ab ad bad 60 e f分别是ap ad的中点 求证 1 直线ef 平面pcd 2 平面bef 平面pad 证明 1 在 pad中 因为e f分别为ap ad的中点 所以ef pd 又因为ef 平面pcd pd 平面pcd 所以直线ef 平面pcd 2 连接bd 因为ab ad bad 60 所以 abd为正三角形 因为f是ad的中点 所以bf ad 因为平面pad 平面abcd bf 平面abcd 平面pad 平面abcd ad 所以bf 平面pad 又因为bf 平面bef 所以平面bef 平面pad 2 如图 在 abc中 abc 45 bac 90 ad是bc上的高 沿ad把 abd折起 使 bdc 90 1 证明 平面adb 平面bdc 2 若bd 1 求三棱锥d abc的表面积 解析 1 因为折起前ad是bc边上的高 所以当 abd折起后 ad dc ad db 又db dc d 所以ad 平面bdc 又因为ad 平面adb 所以平面adb 平面bdc 2 由 1 知 da db db dc dc da 因为db da dc 1 所以ab bc ca abc 60 3 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd为菱形 bad 60 q为ad的中点 1 若pa pd 求证 平面pqb 平面pad 2 点m在线段pc上 pm tpc 试确定t的值 使pa 平面mqb 解析 1 如图 连接bd 因为四边形abcd为菱形 bad 60 所以 abd为正三角形 又因为q为ad的中点 所以ad bq 因为pa pd q为ad的中点 所以ad pq 又bq pq q 所以ad 平面pqb 又ad 平面pad 所以平面pqb 平面pad 2 当时 pa 平面mqb 连接ac交bq于点n 连接mn 由aq bc可得 anq cnb 所以因为pa 平面mqb pa 平面pac 平面pac 平面mqb mn 所以pa mn 所以即所以 考点4线面角与二面角的求法 典例4 2014 宁波模拟 如图所示 三棱柱abc a1b1c1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面 侧棱长是 d是ac的中点 1 求证 b1c 平面a1bd 2 求二面角a1 bd a的大小 3 求直线ab1与平面a1bd所成的角的正弦值 解题视点 1 三棱柱的侧面是矩形 对角线a1b ab1的交点与点d的连线平行于b1c 2 由于三棱柱的底面是正三角形 d为ac的中点 由侧面与底面垂直 可以得到bd 平面acc1a1 bd a1d a1da就是二面角的平面角 3 根据 2 得平面a1bd 平面a1ad 只要过点a作a1d的垂线即可得到点a在平面a1bd内的射影 即得到了线面角 规范解答 1 设ab1与a1b相交于点p 连接pd 则p为ab1的中点 因为d为ac的中点 所以pd b1c 又因为pd 平面a1bd b1c 平面a1bd 所以b1c 平面a1bd 2 由题知 平面acc1a1 平面abc 平面acc1a1 平面abc ac 又因为bd ac 则bd 平面acc1a1 所以bd a1d 所以 a1da就是二面角a1 bd a的平面角 因为则即二面角a1 bd a的大小是 3 作am a1d于m 由 2 易知bd 平面acc1a1 因为am 平面acc1a1 所以bd am 因为a1d bd d 所以am 平面a1bd 连接mp 易知 apm就是直线ab1与平面a1bd所成的角 因为aa1 ad 1 所以在rt aa1d中 a1da 所以am 1 sin60 所以sin apm 所以直线ab1与平面a1bd所成的角的正弦值为 规律方法 1 求空间角的三个步骤 1 找 根据图形找出相关的线面角或二面角 2 证 证明找出的角即为所求的角 3 算 根据题目中的数据 通过解三角形求出所求角 2 空间角的求法 1 线面角的求法 找出斜线在平面上的射影 作出垂线 确定垂足 2 二面角的求法 直接法 根据概念直接作 如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边 就可以取棱的中点 垂线法 如图 过二面角的一个半平面内一点a作另一个半平面的垂线 再从垂足b向二面角的棱作垂线 垂足为c 这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面abc 连接ac 则ac也与二面角的棱垂直 acb就是二面角的平面角或其补角 变式训练 2014 海口模拟 如图 在四棱锥p abcd中 ad bc ab ad ab pa bc 2ab 2ad 4be 平面pab 平面abcd 1 求证 平面ped 平面pac 2 若直线pe与平面pac所成的角的正弦值为 求二面角a pc d的平面角的余弦值 解析 1 如图所示 取ad的中点f 连接bf 则fdbe 所以四边形fbed是平行四边形 所以fb ed 因为rt baf和rt cba中 所以rt baf rt cba 易知bf ac 所以ed ac 又因为平面pab 平面abcd 平面pab 平面abcd ab ab pa 所以pa 平面abcd ed 平面abcd 所以pa ed 因为pa ac a 所以ed 平面pac 因为ed 平面ped 所以平面ped 平面pac 2 设ed交ac于g 连接pg 则 epg是直线pe与平面pac所成的角 设be 1 由 agd cge 知因为ab ad 2 所以因为sin epg 所以pe 3 ae pa 作gh pc于h 连接hd 由pc de pc 平面hdg 所以pc hd 所以 ghd是二面角a pc d的平面角 因为 pca gch 所以则得cos ghd 即二面角a pc d的平面角的余弦值为 加固训练 1 正方体abcd a1b1c1d1中 bb1与平面acd1所成角的余弦值为 解析 选d bb1与平面acd1所成的角等于dd1与平面acd1所成的角 在三棱锥d acd1中 由三条侧棱两两垂直得点d在底面acd1内的射影为等边三角形acd1的中心h 连接d1h dh 则 dd1h为dd1与平面acd1所成的角 设正方体棱长为a 则cos dd1h 2 在三棱锥p abc中 pc ac bc两两垂直 bc pc 1 ac 2 e f g分别是ab ac ap的中点 1 证明 平面gfe 平面pcb 2 求二面角b ap c的正切值 解析 1 因为g e f分别为ap ab ac的中点 所以gf pc ef bc 又gf 平面pbc ef 平面pbc pc 平面pbc bc 平面pbc 所以gf 平面pbc ef 平面pbc 又gf ef f 所以平面gfe 平面pcb 2 过c作ch ap交ap于点h 连接bh 因为pc ac bc两两垂直 所以bc 平面apc 所以bc ap 又ch bc c 所以ap 平面bhc 所以ap bh 所以 chb就是二面角b ap c的平面角 在rt pac中 ch 在rt bhc中 tan chb 故二面角b ap c的正切值为 3 2014 哈尔滨模拟 如图 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd ab cd cd ad ad cd 2ab 2 e f分别为pc cd的中点 de ec 1 求证 平面abe 平面bef 2 设pa a 若平面ebd与平面abcd所成锐二面角 求a的取值范围 解析 1 因为ab