高考数学 第八章 第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 理.ppt

第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率 直线的方程 1 直线的倾斜角与斜率 1 直线的倾斜角 一个前提 直线l与x轴 一个基准 取 作为基准 两个方向 x轴正方向与直线l向上方向 当直线l与x轴平行或重合时 规定 它的倾斜角为 相交 x轴 0 2 直线的倾斜角 的取值范围 3 直线的斜率 定义 若直线的倾斜角 不是90 则斜率k 计算公式 若由a x1 y1 b x2 y2 确定的直线不垂直于x轴 则k 0 180 tan 即时应用 1 过点m 2 m n m 4 的直线的斜率为1 则m的值为 2 直线x y 1 0的倾斜角为 解析 1 由斜率公式得 解得m 1 2 x y 1 0的斜率k 即倾斜角 的正切值tan 又 0 答案 1 1 2 2 两条直线的斜率与它们平行 垂直的关系条件 直线l1 l2不重合 斜率为k1 k2且都存在 结论 l1 l2 l1 l2 k1 k2 k1 k2 1 即时应用 1 已知直线l1过点a 1 1 和b 2 1 直线l2过点c 1 0 和d 0 a 若l1 l2 则a 2 直线l的倾斜角为30 若直线l1 l 则直线l1的斜率k1 若直线l2 l 则直线l2的斜率k2 解析 1 l1与l2的斜率分别为 由l1 l2可知 a 2 2 由直线斜率的定义知 直线l的斜率k tan30 l1 l k1 k l l2 k2 k 1 答案 1 2 2 3 直线方程的几种形式 y y1 k x x1 y kx b ax by c 0 a2 b2 0 即时应用 1 思考 过a x1 y1 b x2 y2 两点的直线方程能否写成 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 提示 能写成 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 当x1 x2且y1 y2时 直线方程为 可化为上式 当x1 x2 y1 y2时 直线方程为 y y1也适合上式 当y1 y2 x1 x2时 直线方程为 x x1也适合上式 综上可知 过a x1 y1 b x2 y2 两点的直线方程能写成 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 2 已知直线l经过点p 2 5 且斜率为 则直线l的方程为 解析 由直线的点斜式方程得 直线l的方程为 y 5 x 2 即3x 4y 14 0 答案 3x 4y 14 0 3 经过两点m 1 2 n 3 4 的直线方程为 解析 经过两点m 1 2 n 3 4 的直线方程为 即3x 2y 1 0 答案 3x 2y 1 0 热点考向1直线的倾斜角与斜率 方法点睛 1 斜率的求法 1 定义法 若已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数值 一般根据k tan 求斜率 2 公式法 若已知直线上两点a x1 y1 b x2 y2 一般根据斜率公式求斜率 2 直线的斜率k与倾斜角 之间的关系 0 k 0 不存在 k 0 提醒 对于直线的倾斜角 斜率k tan 90 若知其一的范围可求另一个的范围 例1 1 已知两点a m n b n m m n 求直线ab的倾斜角 2 已知点a 2 3 b 3 2 直线l过点p 1 1 且与线段ab有交点 则直线l的斜率k的取值范围为 3 2012 福州模拟 直线x a2 1 y 1 0的倾斜角的取值范围是 解题指南 1 先由公式法求出斜率 再求倾斜角 2 直线l的斜率的取值范围 可由直线pa pb的斜率确定 3 直线倾斜角与直线的斜率有关 而已知直线的方程 因此可先求直线的斜率 由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围 规范解答 1 因为a m n b n m m n 所以直线ab的斜率 所以直线的倾斜角为 2 因为a 2 3 b 3 2 p 1 1 所以如图所示 因此 直线l斜率k的取值范围为k 4或k 答案 k 4或k 3 选b 因为直线x a2 1 y 1 0的斜率k 且 1 0 所以直线的倾斜角 的取值范围是 互动探究 本例 3 中的直线方程改为 a2 1 x y 1 0 结果如何 解析 由直线方程 a2 1 x y 1 0可得该直线的斜率k a2 1 1 所以直线的倾斜角 的取值范围为 反思 感悟 1 求解时直线的斜率与倾斜角之间的关系是重要的解题线索 如本例第 3 题由直线的方程 可求出直线的斜率 由斜率的取值范围可求出直线倾斜角的取值范围 2 已知倾斜角的取值范围 求斜率的取值范围 实质上是求k tan 的值域问题 已知斜率k的取值范围求倾斜角的取值范围 实质上是在上解关于正切函数的三角不等式问题 由于函数k tan 在上不单调 故一般借助函数图象来解决此类问题 变式备选 已知两点a 1 2 b m 3 且求直线ab的倾斜角 的取值范围 解析 当直线ab的斜率不存在时 m 1 此时倾斜角 为 当直线ab的斜率存在时 m 1 由题意知直线ab的斜率 直线ab的倾斜角 的取值范围为综上所述 直线ab的倾斜角 的取值范围为 热点考向2直线平行 垂直关系的判断及应用 方法点睛 两直线平行 垂直的判断方法 1 已知两直线的斜率存在 两直线平行 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等 两直线垂直 两直线的斜率之积等于 1 2 已知两直线的一般方程可利用直线方程求出斜率 转化为第一种方法 或利用以下方法求解 例2 1 2012 泉州模拟 a 1 是 直线y ax 1与直线y a 2 x 1垂直 的 条件 2 已知过点a 2 m b m 4 的直线与直线2x y 1 0平行 则m的值为 3 已知四边形abcd的四个顶点的坐标分别是a 0 1 b 1 0 c 3 2 d 2 3 试判断该四边形的形状 解题指南 1 本题关键是看由a 1是否能得出两直线垂直 由两直线垂直是否能得出a 1 2 可根据两直线平行 斜率相等 得出一个等式 解方程即可求值 3 分别求出四条边的斜率及其相邻的两个边长 即可判断四边形形状 规范解答 1 若a 1 则两直线方程可化为 y x 1与y x 1 其斜率之积等于 1 此时两直线垂直 若直线y ax 1与直线y a 2 x 1垂直 则有a a 2 1 解得a 1 因此 a 1 是 直线y ax 1与直线y a 2 x 1垂直 的充要条件 答案 充要 2 因为直线2x y 1 0的斜率k 2 又因为过a 2 m b m 4 的直线与直线2x y 1 0平行 所以 解得m 8 答案 8 3 因为四边形的顶点坐标为a 0 1 b 1 0 c 3 2 d 2 3 所以 ab cd bc ad 且ab bc ab ad 又因为 即 ab ad 所以 四边形abcd为长方形 互动探究 本例 3 中条件不变 试求该四边形的四条边所在的直线方程 解析 因为a 0 1 b 1 0 所以ab边所在的直线方程为 即x y 1 0 又因为b 1 0 c 3 2 所以bc边所在的直线方程为 即x y 1 0 同理可得 cd边所在的直线方程为 x y 5 0 ad边所在的直线方程为 x y 1 0 反思 感悟 通过本例的解析过程可知 处理两直线的位置关系 在两直线斜率都存在的前提下 利用两直线的斜率和在y轴上的截距去处理 若直线的斜率不存在 则可考虑数形结合 变式备选 1 2012 龙岩模拟 已知直线x ky 1 0与直线y kx 1平行 则k的值为 2 若直线l过点 1 2 且与直线2x 3y 4 0垂直 则直线l的方程为 解析 1 由平行可知两直线斜率均存在 将第一条直线方程化为斜截式得 k 0 因此 解得k 1 2 方法一 直线2x 3y 4 0的斜率为 设所求直线的斜率为k 所求直线与直线2x 3y 4 0垂直 k k 1 所求直线方程为即 3x 2y 1 0 方法二 由已知 设所求直线l的方程为 3x 2y c 0 又l过点 1 2 3 1 2 2 c 0 得 c 1 所以所求直线方程为3x 2y 1 0 答案 1 12 3x 2y 1 0 热点考向3直线方程的综合应用 方法点睛 直线方程的综合问题的类型及解法 1 与函数相结合的问题 解决这类问题 一般是利用直线方程中的x y的关系 将问题转化为关于x 或y 的某函数 借助函数的性质解决 2 与方程 不等式相结合的问题 一般是利用方程 不等式的有关知识来解决 例3 2012 莆田模拟 已知直线l过点p 3 2 且与x轴 y轴的正半轴分别交于a b两点 如图所示 求 abo的面积的最小值及此时直线l的方程 解题指南 先设出ab所在的直线方程 再求a b两点的坐标 写出表示 abo的面积的表达式 最后利用相关的数学知识求出最值 规范解答 方法一 由题可设a a 0 b 0 b a 0 b 0 则直线l的方程为 l过点p 3 2 且a 3 b 2 从而故有 当且仅当即a 6时 s abo min 12 此时 此时直线l的方程为即2x 3y 12 0 方法二 由题可设直线方程为 a 0 b 0 代入p 3 2 得得ab 24 从而当且仅当时 等号成立 s abo取最小值12 此时 此时直线l的方程为2x 3y 12 0 方法三 依题意知 直线l的斜率存在 设直线l的方程为y 2 k x 3 k 0 则有a 0 b 0 2 3k 当且仅当 即时 等号成立 s abo取最小值12 此时 直线l的方程为2x 3y 12 0 反思 感悟 1 此题是直线方程的综合应用 解题时 可灵活运用直线方程的各种形式 以便简化运算 2 以直线为载体的面积 距离的最值问题 一般要结合函数 不等式的知识或利用对称性解决 变式训练 已知直线l kx y 1 2k 0 k r 1 证明 直线l过定点 2 若直线不经过第四象限 求k的取值范围 3 若直线l交x轴负半轴于a 交y轴正半轴于b aob的面积为s o为坐标原点 求s的最小值并求此时直线l的方程 解析 1 直线l的方程是 k x 2 1 y 0 令 解得 无论k取何值 直线总经过定点 2 1 2 由方程知 当k 0时直线在x轴上的截距为 在y轴上的截距为1 2k 要使直线不经过第四象限 则必须有解之得k 0 当k 0时 直线为y 1 符合题意 故k 0 3 由l的方程 得a 0 b 0 1 2k 依题意得解得k 0 成立的条件是k 0且4k 即 smin 4 此时l的方程为 x 2y 4 0 1 2013 泉州模拟 倾斜角为120 在x轴上的截距为 1的直线方程是 a x y 1 0 b x y 0 c x y 0 d x y 0 解析 选d 由于倾斜角为120 故斜率k 又直线过点 1 0 所以方程为y x 1 即x y 0 2 2013 厦门模拟 经过两点a 4 2y 1 b 2 3 的直线的倾斜角为则y a 1 b 3 c 0 d 2 解析 选b 由 3 2012 龙岩模拟 已知直线l1 k 3 x 5 k y 1 0与l2 2 k 3 x 2y 3 0垂直 则k的值是 a 1或3 b 1或5 c 1或4 d 1或2 解析 选c 由题意知 k 3 2 k 3 5 k 2 0 即k2 5k 4 0 解得k 1或4 4 2012 宁德模拟 已知两条直线l1 ax 3y