第17讲函数的凸性及图形描绘2009.doc

数学分析I第17讲教案第17讲 函数的凸性及函数图形的描绘授课题目函数的凸性及函数图形的描绘教学内容1. 凸函数（凹函数）及拐点的定义；2. 凸函数与凹函数判别法则；3. 詹森不等式； 4. 函数图形的描绘.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能较好地掌握函数的凸性与拐点的概念，能熟练地求函数凸（凹）的区间及拐点坐标，会应用函数的凸性证明不等式问题了解詹森不等式，会运用詹森不等式证明某些不等式. 知道函数图象描绘步骤教学重点及难点教学重点：凸函数与凹函数判别；教学难点：詹森不等式及其应用.教学方法及教材处理提示(1) 函数的凸性分析定义比较抽象，可以从函数的凸性几何意义与出分析定义，学生好接受.(2) 凸函数与凹函数判别是本讲教学重点，着重讲授应用二阶导数判别函数的凸性法则的证明，其证明思想一定要讲清讲透讲，做到人人掌握.(3) 本讲的难点是运用詹森不等式证明不等式问题，要求较好学生能够掌握此方法 (4) 主要是通过举例，教会学生根据函数的性态表，以及函数的单调区间，凸区间和渐近线等，大致描绘出函数图象作业布置作业内容：教材 :1（2，4），3，4（2），7，8，9.讲授内容一、函数的凸性 1定义 设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点和任意实数总有，则称为上的凸函数反之，如果总有则称为的凹函数 如果不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数 2引理 为上的凸函数的充要条件是：对于上的任意三点总有 （1）证：必要性 记由的凸性知道 从而有 ，整理后即得(1)式 充分性 在上任取两点，（，在上任取一点，由必要性的推导逆过程，可证得故为I上的凸函数 同理可证，为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上任意三点，有 3可导函数凸性的等价命题 定理6.13 设为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价： 为I上凸函数； 为I上的增函数； 对I上的任意两点，有 (5) 证：() 任取I上两点 ()及充分小的正数由于，根据的凸性及引理有 由是可导函数，令时可得 ，所以为I上的递增函数 () 在以为端点的区间上，由拉格朗日中值定理和递增，有 移项后即得(5)式成立，且当时仍可得到相同结论 () 设以为上任意两点， 01由，并利用， 分别用和乘上列两式并相加，便得从而为上的凸函数 注：论断几何意义：曲线总在它任一切线之上这是可导凸函数的几何特征4二阶可导函数凸性的充要条件定理614 设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸(凹)函数的充要条件是 例1讨论函数的凸(凹)性区间。 解：由于，因而当时，时从而在(上为凸函数，在)上为凹函数例2 若函数为定义在开区间()内的可导的凸(凹)函数，则,为的极小(大)值点的充要条件是为的稳定点，即 证：下面只证明为凸函数的情形 必要性已由费马定理可出，现在证明充分性 由定理613，任取()内的一点，它与一起有因，故有，即为的极小值点(且为最小值点)例3(詹森(Jensen)不等式) 若为上凸函数，则对任意，且则有 证：应用数学归纳法当时，命题显然成立设时命题成立即对任意及 都有现设及令由数学归纳法假设可推得 这就证明了对任何正整数，凸函数总有不等式(8)成立例4 应用詹森不等式证明：设有.证：（1）设，则，故在内为凸函数。取，由詹森不等式得也就是即.例 证明不等式，其中均为正数 证：设由的一阶和二阶导数 可见，在时为严格凸函数，依詹森不等式有从而 即。又因所以 二、函数的拐点 定义2 设曲线在点处有穿过曲线的切线且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点为曲线的拐点 由定义可见，拐点正是凸和凹曲线的分界点 例l中的点为=arctan的拐点正弦曲线=sin有拐点为整数 定理615 若在二阶可导，则为曲线的拐点的必要条件是 定理616 设在可导，在某邻域内二阶可导若在和上的符号相反，则()为曲线的拐点注：若()是曲线的一个拐点， 在的未必可导如：函数y=在=0的情况 三、函数图象的描绘 作函数图象的一般程序是：1求函数的定义域；2考察函数的奇偶性、周期性；3求函数的某些特殊点，如与两个坐标轴的交点，不连续点；4确定函数的单调区间，极值点，凸性区间以及拐点；5考察渐近线；6综合以上讨论结果画出函数图象例 讨论函数的性态，并作出其图象解：由于可见此曲线与坐标轴交于(1，0)，(1，0)，(0，1)三点，求出导数： 由