度高中数学 3.2.2 几类不同增长的函数模型(二同步辅导与检测课件 新人教A版必修1.pptVIP

3 2函数模型及其应用3 2 2几类不同增长的函数模型 二 函数的应用 1 能根据数据正确选择最适合的函数模型研究相应简单应用问题 2 利用计算工具 比较指数函数 对数函数以及幂函数增长差异 掌握其重要结论并且用于解决实际问题之中 3 结合实例体会直线上升 指数爆炸 对数增长等不同函数类型增长的含义 基础梳理 1 对于函数 幂函数y xn n 0 指数函数y ax a 1 对数函数y logax a 1 在区间 0 上随x增大 衰减速度从大到小的函数依次为 因此总存在一个x0 当x x0时就有 例如 y 2x y x2与y log2x的图象在区间 0 上随x增大而增大 增长速度从大到小的函数依次为 y ax a 1 y xn n 0 y logax a 1 logax0 y 2x y x2 y log2x 思考应用 1 建立函数模型时常用的分析方法有哪些 解析 建立函数模型常用的分析方法有 关系分析法 即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法 列表分析法 即通过列表的方式探求问题的数学模型的方法 图象分析法 即通过对图象中的数量关系进行分析来建立问题的数学模型的方法 2 高中与建立函数模型有关的应用题 常涉及物价 路程 产值 环保等实际问题 也涉及角度 面积 体积 造价的最优化问题 解答这类问题的关键在哪 解析 解答这类问题的关键是确切建立相应的函数解析式 然后应用函数 方程和不等式的有关知识加以解决 而正确建立函数解析式 则要合理选取变量 必要时引入其他相关辅助变量 寻找它们之间的内在联系 选用恰当的代数式表示问题中的关系 然后根据已知条件 运用已掌握的数学知识 物理知识及其他相关知识建立关系 自测自评 1 在某种新型材料的研制中 实验人员获得了下列一组实验数据 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律 其中最接近的一个是 b 2 客车从甲地以60km h的速度匀速行驶1小时到达乙地 在乙地停留了半小时 然后以80km h的速度匀速行驶1小时到达丙地 下列描述客车从甲地出发 经过乙地 最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中 正确的是 c 3 在股票买卖过程中 经常用到两种曲线 一种是即时价格曲线y f x 一种是平均价格曲线y g x 如f 2 3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元 g 2 4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元 下面所给出的四个图象中 实线表示y f x 虚线表示y g x 其中可能正确的是 解析 刚开始交易时 即时价格和平均价格应该相等 a错误 开始交易后 平均价格应该跟随即时价格变动 在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度 b d均错误 答案 c 增长率模型 某乡镇现在人均一年占有粮食360千克 如果该乡镇人口平均每年增长1 2 粮食总产量平均每年增长4 那么x年后若人均一年占有y千克粮食 求出函数y关于x的解析式 分析 此题解决的关键在于恰当引入变量 抓准数量关系 并转化成数学表达式 解析 设该乡镇现在人口量为m 则该乡镇现在一年的粮食总产量为360m 经过1年后 该乡镇粮食总产量为360m 1 4 人口量为m 1 1 2 跟踪训练 1 一种放射性元素 最初的质量为500g 按每年10 衰减 1 求t年后 这种放射性元素质量 的表达式 2 由求出的函数表达式 求这种放射性元素的半衰期 剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期 精确到0 1 已知lg2 0 3010 lg3 0 4771 解析 1 最初的质量为500g 经过1年后 500 1 10 500 0 91 经过2年后 500 0 9 1 10 500 0 92 由此推知 t年后 500 0 9t 2 解方程500 0 9t 250 0 9t 0 5 lg0 9t lg0 5 tlg0 9 lg0 5 t 6 6 年 即这种放射性元素的半衰期约为6 6年 利用图形给出函数模型 电信局为了配合客户的不同需要 设有a b两种优惠方案 这两种方案的应付电话费 元 与通话时间 分钟 之间的关系如图所示 实线部分 注 图中mn cd 试问 1 若通话2小时 按方案a b各付话费多少元 2 方案b从500分钟以后 每分钟收费多少元 3 通话时间在什么范围内 方案b才会比方案a优惠 分析 由图可知 两种方案都是由线性函数组成的分段函数 结合图形 可以求出函数的解析式 然后再根据题意解题 解析 由题图可知 m 60 98 n 500 230 c 500 168 mn cd 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别是fa x fb x 则fa x fb x 1 若通话2小时 方案a b付的话费分别是116元 168元 2 因为fb n 1 fb n n 1 18 n 18 0 3 元 n 500 所以方案b从500分钟以后 每分钟收费0 3元 3 由图知 当0 x 60时 fa x 500时 fa x fb x 当60fb x 得x 即当通话时间在时 方案b才会比方案a优惠 跟踪训练 2 某种消费品专卖店 已知该种消费品的进价为每件40元 该店每月销售量q 百件 与销售价p 元 件 的关系用下图中一条折线表示 职工每人每月工资为600元 该店应交付的其他费用为每月13200元 1 试求该店每月销售量q 百件 与销售价p 元 件 的关系 2 若该店只安排40名职工 求每月的利润s的最大值 并指出此时该种消费品的销售价是多少 解析 1 由图可得q 2 由题意当40 p 58时 求得p 55时 smax 7800 当58 p 81时 求得p 61时 smax 6900 所以当该店只安排40名职工 每月的利润的最大值为7800元 此时该种消费品的销售价是55元 分段函数模型 某同学家门前有一笔直公路直通长城 星期天 他骑自行车匀速前往 他先前进了akm 觉得有点累 就休息了一段时间 想想路途遥远 有些泄气 就沿原路返回骑了bkm b a 当他记起诗句 不到长城非好汉 便调转车头继续前进 则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为 解析 由题意可知 s是关于时间t的一次函数 所以其图象特征是直线上升 由于中间休息了一段时间 该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段 然后原路返回 图象下降 再调转车头继续前进 则直线一致上升 答案 c 跟踪训练 3 某人从甲地去乙地 一开始跑步前进 后来步行 图中横轴表示走的时间 纵轴表示此人与乙地的距离 则较符合该走法的图是 解析 图中给出的是直线模型 符合一次函数模型的特点 结合题意 应选择d 答案 d 1 下面对函数f x logx与g x x在区间 0 上的衰减情况说法正确的是 a f x 的衰减速度越来越慢 g x 的衰减速度越来越快b f x 的衰减速度越来越快 g x 的衰减速度越来越慢c f x 的衰减速度越来越慢 g x 的衰减速度越来越慢d f x 的衰减速度越来越快 g x 的衰减速度越来越快 c 2 某工厂8年来某产品的总产量y与时间t 年 的函数关系如下图 下列的说法 前3年中总产量的增长速度越来越快 前3年中总产量的增长速度越来越慢 第3年后这种产品停止生产 第3年后这种产品的产量保持不变正确的有 1 适当记忆具体例子容易得到一般性的结论 体会从特殊到一般的思想 2 在具体应用题中体会幂函数 指数函数 对数函数增长的变化规律 同时注意一次函数 二次函数 分段函数在具体题中的应用 并体会各自增长的特点 3 对一次函数来说 当一次项系数为正时 表现为匀速增长