§111　算法的概念

1 1 1 1 算法的概念算法的概念 自主学自主学习习 教材解读教材解读 1 算法 算法 1 概念 在数学中 算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确 和有限的步骤 现在 算法通常可以编成计算机程序 让计算机执行 并解决问题 2 特点 一个算法应具有以下五个重要特征 有限性 一个算法必须保证执行有限步之后结束 确定性 算法的每一步骤应该是确定的 可行性 算法原则上能够精确地运行 而且人们用笔和纸做有限次即可 完成 普遍性 很多具体问题都可以设计合理的算法去解决 如心算 计算器 计算都要经过有限的 事先设计好的步骤加以解决的 不唯一性 求解某一个问题的算法不一定是唯一的 对于一个问题可以 有不同的算法 例题 3 算法有三种表示方法 用 表示 用 表示 用 表示 解析 自然语言 框图语言 程序语言 2 设计算法的要求 设计算法的要求 1 写出的算法要适用 必须能解决一类问题 2 要使算法尽可能简单 步骤尽可能少 3 要保证算法正确 且计算机能够执行 合作探究合作探究 例 1 1 设计一个算法 判断 7 是否为质数 2 设计一个算法 判断 35 是否为质数 例 2 写出用 二分法 求方程的近似解得算法 02 2 x 在线答疑 在线答疑 算法与一般意义上具体问题的解法既有联系 又有区别 它们之间是一 般与特殊的关系 也是抽象与具体的关系 算法的获得要借助一般意义上 想一想 算法与具体 问题的解法有何关系 2 具体问题的求解方法 而任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算 法来解决 现在 算法通常可以编成计算机程序 让计算机执行并解决问 题 预习自测预习自测 1 下面的结论正确的是 A 一个程序的算法步骤是可逆的 B 一个算法可以无止境地运算下去 C 完成一件事情的算法有且只有一种 D 设计算法要本着简单方便的原则 解析 由设计算法的特点及要求 可得设计算法要本着简单方便的原则是 正确的 答案 D 2 下面哪个不是算法的特征 A 抽象性 B 有穷性 C 准确性 D 可行性 解析 由设计算法的特点 可知抽象性不是算法的特征 答案 A 3 算法的有限性是指 A 算法必须包含输出 B 算法中每个操作步骤都是可执行的 C 算法的步骤必须是有限的 D 以上说法均不正确 解析 由算法的有限性的含义一个算法必须保证执行有限步之后结束知算 法的步骤必须是有限的 答案 C 4 直角三角形两直角边长为 求斜边长的一个算法分下列三步 ba c 计算 22 bac 输入直角三角形两直角边长的值 ba 输出斜边长的值c 其中正确的顺序是 A B C D 解析 本题考查的是算法的基本思想 答案 B 5 已知一个学生的语文成绩为 89 数学成绩为 96 外语成绩为 99 求他 的总分和平均成绩的一个算法为 3 第一步 取 A 89 B 96 C 99 第二步 第三步 第四步 输出 D E 解析 本题考查的是算法的基本思想 答案 计算总分 D A B C 计算平均成绩 E 3 D 6 写出 求 1 2 100 的一个算法 在运用公式 1 2 n 直接计算有如下步骤 2 1 nn 第一步 第二步 第三步 输出运算结果 解析 本题考查的是算法的基本思想 答案 取 100 计算n 2 1 nn 7 写出交换两个大小相同的杯子中的液体 A 水 B 酒 的两个算法 解析 算法 1 S1 再找一个大小与 A 相同的空杯子 C S2 将 A 中的水倒入 C 中 S3 将 B 中的酒倒入 A 中 S4 将 C 中的水倒入 B 中 结束 算法 2 S1 再找两个空杯子 C 和 D S2 将 A 中的水倒入 C 中 将 B 中的酒倒入 D 中 S3 将 C 中的水倒入 B 中 将 D 中的酒倒入 A 中 结束 8 设计算法 找出三个数中的最大数 cba 解析 S1 输入变量 cba S2 aMax S3 比较和 如果 则MaxbMaxb bMax S4 比较与 如果 则 MaxcMaxc cMax S5 输出 Max 经典题型解析经典题型解析 1 重难点突破 重难点突破 4 题型一题型一 算法的概念及其特点算法的概念及其特点 例 1 下列说法正确的是 A 算法就是某个问题的解题过程 B 算法执行后可以产生不同的结果 C 解决某一个具体问题算法不同结果不同 D 算法执行步骤的次数不可以是很能大 否则无法实施 思维突破 选项 A 算法不能等同于解法 选项 C 解决某一个具体问 题算法不同结果应该相同 否则算法构造的有问题 选项 D 算法可 以为很多次 但不可以无限次 答案 B 技巧总结 算法的特点有 有限性 确定性 可行性 普遍性 不唯一性 解答有关算法的概念判断题 应根据算法的这五大特点 变式与拓展 1 下面关于算法的说法错误的是 A 写出的算法必须能解决一类问题 B 算法必须在计算机上用某种语言实现 C 所写的算法不能重复使用 D 算法必须在有限步执行后能结束 解析 由算法的特点知 算法可解决一类问题 可在计算机上用某种语言 实现 并且在有限步执行后能结束 由排除法可知答案为 C 答案 C 题型二题型二 算法的书写算法的书写 例 2 已知函数 设计一个算法求函数的任一函数 212 21 2 xx xx xf 值 思维突破 此函数是分段函数 在不同区间上的函数解析式不同 函数 值与自变量的取值范围有关 必须讨论自变量与 2 的关系 答案 算法 第一步 输入 x 第二步 若 则执行第三步 否则 执行第四步 2 x 第三步 输出 结束算法 1 2 x 第四步 输出 结束算法 12 x 技巧总结 一种算法 就是要求我们去按步就班地做 每做一步都有唯 一的结果 并且在有限步之后 总能得出结果 变式与拓展 5 2 写出判断方程根的个数的一个算法 0 2 cbxax 解析 算法如下 第一步 输入 cba 第二步 计算 acb4 2 第三步 判断是否成立 若成立 输出 方程无实数解 结束 否则 0 进入 S4 第四步 判断是否成立 若成立 输出 方程有两个相等的实数解 0 结束 否则 输出 方程有两个不等的实数解 结束 2 黑色陷阱 黑色陷阱 例 3 看下面的四段话 其中是解决问题的算法的个数有 为了把高一五班的同学分成两组 请胖同学站左边 瘦同学站右边 为了把高一五班的同学分成两组 请体重达到 50 公斤同学站左边 体重不足 50 公斤同学站右边 一元二次方程的根可由公式求0 2 cbxax a acbb x 2 4 2 出 数清天上有多少颗星星 A 4个 B 1个 C 3个 D 2个 常见错误 C 错因剖析 主要是 判断错误 何为胖同学 何为瘦同学 标准不 明确 当时公式是无效的 天上的星星数目太多 步骤超出了0 合理的范围 所以不可取 只有 符合算法的三个要求 正确解法 B 3 规律方法总结 规律方法总结 1 在理解算法概念的基础上 掌握算法的基本思想 发展有条理的思考 与表达能力 提高逻辑思维能力 2 通过实践领会算法的精要 也可用它们的思想与方法解决实际问题 3 主要数学思想方法 分类讨论思想 课课后巩固后巩固 A 级 夯实基础 7 8 道 1 下面对算法描述正确的一项是 A 算法只能用自然语言来描述 B 算法只能用图形方式来表示 6 C 同一问题可以有不同的算法 D 同一问题的算法不同 结果必然不同 解析 由设计算法的特点之一 不唯一性知同一问题可以有不同的算法 是正确的 答案 C 2 下列关于算法的描述中 不正确的是 A 算法是解决问题的有序步骤 B 算法具有确定性 可行性 有限性等基本特征 C 一个问题的算法都只有一种 D 常见的算法描述方法有自然语言 图示法 伪代码法等 解析 由设计算法的特点之一 不唯一性知一个问题的算法不只有一种 答案 C 3 算法 S1 输入n S2 判断是否是 2 若 则满足条件 若 则执行 S3n2n n2n S3 依次从 2 到检验能不能整除 若不能整除满足条件 1n nn 上述的满足条件是什么 A 质数 B 奇数 C 偶数 D 约数 解析 由依次从 2 到检验能不能整除 若均不能整除可知的正约1n nn 数只有 1 和它本身 故为质数 n 答案 A 4 烧水泡茶需要洗刷茶具 5 min 刷水壶 2 min 烧水 8 min 泡茶 2 min 等个步骤 从下列选项中选最好的一种算法 A 第一步 洗刷茶具 第二步 刷水壶 第三步 烧水 第四步 泡茶 B 第一步 刷水壶 第二步 洗刷茶具 第三步 烧水 第四步 泡茶 C 第一步 烧水 第二步 刷水壶 第三步 洗刷茶具 第四步 泡茶 D 第一步 烧水 第二步 烧水的同时洗刷茶具和刷水壶 第三步 泡 茶 解析 最好的一种算法也就是能完成任务又最节约时间的烧水泡茶过程 显然 在烧水的同时可以进行的是洗刷茶具和刷水壶 答案 D 5 下列四个有关算法的说法中 正确的是 要求只填 写序号 算法的某些步骤可以不明确或有歧义 以便使算法能解决更多问题 正确的算法执行后一定得到确定的结果 解决某类问题的算法不一定是唯一的 正确的算法一定能在有限步之内结束 7 解析 由算法的特点可知 算法的每一步骤应该是确定的 所以 错误 答案 6 用二分法设计一个求方程的近似解 的算法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 02 2 x005 0 S1 令 因为 所以设 2 2 xxf 02 01 ff2 1 ba S2 令 判断 是否成立 若成立 2 1 0 bax 则就是方程的根 结束算法 否则 进入下一步 0 x S3 若 则令 否则 令0 0 xfaf 0 xa 0 xb S4 判断 若是 则就是方程的根 计算终止 ba 2 0 ba x 否则 转到第 2 步 解析 这是一个求方程的根的算法 即求满足的 02 2 x0 xfx 答案 是否成立0 0 xf 7 已知一个三角形的三边边长分别为 2 3 4 设计一个算法 求出它 的面积 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解析 第一步 取2 3 4abc 第二步 计算 2 abc p 第三步 计算 Sp papbpc 第四步 输出的值S 8 用自然语言写出解方程的一个算法 032 2 xx 解析 算法如下 第一步 取 3 2 1 cba 第二步 计算 acb4 2 第三步 判断是否成立 若成立 输出 方程无实数解 结束 否0 则 进入 S4 第四步 判断是否成立 若成立 输出 方程有两个相等的实数解 0 8 结束 否则 输出 方程有两个不等的实数解 结束 B 级 能力提高 9 下列关于算法的说法中正确的个数有 求解某一类问题的算法是唯一的 算法必须在有限步操作之后停止 算法的每一步操作必须是明确的 不能有歧义或模糊 算法执行后一定产生确定的结果 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 由算法的特点可知 求解某一类问题的算法是不唯一的 所以 错 误 答案 C 10 下列几种表达 一位商人有 9 枚银元 其中有 1 枚略轻的是假银元 他利用天平将假银 元找出来 从中解出实数根 052 2 xx 解不等式 产生不等式的解集 052 2 xx 已知两点 利用斜率公式 求出经过两点的斜率 1 2 A 8 5 BBA 其中是算法的有 解析 算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤 答案 11 已知点和直线 写出求点到直线的距离 00 yxP0 CByAxl 的一个算法 解析 第一步 输入点的坐标 00 y x 第二步 输入直线方程的系数和常数 BA C 第三步 计算 CByAxz 001 第四步 计算 22 2 BAz 9 第五步 计算 2 1 z z d 第六步 输出的值 d 12 给出求解方程组的一个算法 21154 172 yx yx 解析 用消元法解这个方程组 步骤是 第一步 得 221 333 y 第二步 解 得 31 y 第三步 得 251 4246 x 第四步 解 得 44 x 第五步 得到方