数学中的奥秘.docx

数学科学学院数学中的奥秘A31214018周融2013/5/19数学的逻辑结构的一个特殊的和最重要的要素就是数学思想，整个数学科学就是建立在这些思想的基础上，并按照这些思想发展起来的（例如，数学公理体系的思想，集合论思想等等）数学的各种方法是数学最重要的部分 弗利德曼数学中充满着各种矛盾，如繁和简、难和易、一般和特殊、未知和已知等。通过转化可以化繁为简、化难为易、化一般为特殊，化未知为已知，使矛盾得到解决。数学问题解决的过程，实际上是由条件向结论转化的过程，由条件先得出过渡的结论、然后一步一步转化，得到最后的结论。因此转化是数学中最基本的思想。具体地分析，有加法和减法的转化、乘法和除法的转化、乘方和开方的转化、指数和对数的转化，高次向低次转化、多元向一元转化、三维向二维转化等。一，英语中的正值数1947年，悉尼.克拉伊兹发表了一篇奇妙论文幸运的语言中发现一种独特的映射，揭露了英语单词的极限问题，他的发现如下：用英语写出任意一个数词，数一下它的字母个数，得到一个自然数，称为原先的数词在这种特殊映射下的像。然后再把该数换为与之等价的英语数词，再重新数一下其字母个数，从而又能得到一个新的数词反复执行这两类操作（英语单词变为自然数，自然数变为英语单词）的结果，最后一定会收敛于4，因此，4是数列的“极限”。我们可以用一个映射来表示映射f:AB: 英语单词变为自然数;g:BA: 自然数变为英语单词;例如，先任意写出一个英语单词Twenty-three,数一下它的字母有11个，以表示此映射f，于是我们得到（Twenty-three）=11与11等价的英语单词是eleven,用表示此种映射g，则（11）= eleven显然，eleven不是(11)的逆映射。反复执行这两类操作的情况如下：eleven6six3three5five4four4读者不妨写个数字，自己尝试一下，定会感到其味无穷。（以上摘自baidu论坛网）自己论证：由于刚刚学了C语言，这让我想起了用数组求字符串长度的方法。 假设这个数在20以内吧!/因为无论一个英文数字有多长，就算是几千上万亿，其字母的长度也不会很长。如two-thousand and one hundred seventy- five billion, 其字母的长度也不超过二十。所以设这个数在20以内，可以看成是经过几次英语单词和数字之间的转换后的数字。#include#includemain()int k; char str18,str28,str38,str48,str58,str68,str78; printf(inputn);gets(str1);k=strlen(str1);printf(%dn,k);/设此数在20以内，个数最多的是seventeen，eighteen有8位,且最少有3位，如：one，two.for(k=3;k8;k+)if(k=3)printf(%sn,three);k=5;else if(k=4)printf(%sn,four); k=4; break; if(k=5) printf(%sn,five); k=4; break;if(k=6)printf(%sn,six); k=3;elseprintf(%sn,seven); k=5; printf(这个数字是收敛于4的n);/只有循环可以break程序才可以执行到这一步啊，故此时已经收敛于4了 /由于编程能力较差，这只是较浅显的证明，可能只是必要条件。而且在输入twenty-four等数时，请输入twenty four;但 不影响其收敛于4的最终结果。 找不到答案就自己做了，不知道对不对，希望老师可以给出宝贵意见。二、数学中的黑洞（西西弗斯串）美国宾夕法尼大学数学教授米歇尔.埃克写了不少“数学黑洞”的文章，其中最简单的一个是123黑洞。在古希腊神话中，科林斯国王西西佛斯受到天谴，天神罚他把一块巨石推倒一座山上，但无论他怎样努力，这块石头总是在快要到达山顶之前不可避免地滚下来，于是他只能重新在推，就这样没完没了，永无休止。在数学中，同样的事情也可能发生。开始我们可以取任何一数字串，位数不限，例如948856371接着是数一数其中的偶数个数，奇数个数以及总数的数字个数，把它们写成一个三数组。对上例来说，便是4，5，9，并略去其中的逗号，浓缩地记为459对上述三数组重复上述步骤，就得到123。一旦得到了123，以后永远都是它，再也摆脱不掉了，所以对数字“宇宙”来说，123就是一个真正的黑洞。不管什么样的数字，是否最后都会跌到123呢？让我们再拿一个庞大的数字串来试试，例如，122333444455555666666777777788888888999999999这个数字串的偶数个数、奇数个数以及全部数字个数分别是20，25，45。写成202545，在重复上述过程得到426，在重复得到303，在重复最后就得到123。（摘自百度文库）这一现象若采取具体的数学证明，演绎推理步骤还相当繁琐和不易。直到2010年5月18日，关于“西西弗斯串”现象才由中国回族学者秋屏先生于作出严格的数学证明，并推广到六个类似的数学黑洞，请看他的论文：“西西弗斯串（数学黑洞）”现象与其证明自此，这一令人百思不解的数学之谜已被彻底破解。此前，美国宾夕法尼亚大学数学教授米歇尔埃克先生仅仅对这一现象作过描述介绍，却未能给出令人满意的解答和证明。我的领悟：对于一个整数而言，其中各个数字必由奇数或偶数组成，设由m个偶数和n个奇数组成，则其共有c=m+n个数字，拼成的新数字为mnc.此题与上题类似，依旧需要使用计算机编程对问题进行分类和循环论证，我们可以用计算机写出程序，测试出对任意一个数经有限次重复后都会是123。换言之，任何数的最终结果都无法逃逸123黑洞。#includemain() int k,n,a=0,a1=0,a2=0,a3=0,b=0,b1=0,b2=0,b3=0,c;printf(input a number nn);/122333444455555666666777777788888888999999999scanf(%d,&n);for(k=1;n!=0;k+) if(n%2=0)/n为偶数 a=a+;n=n/10;elseb=b+;/n为奇数 n=n/10;c=a+b;/分别再计算a,b,c,有多少奇数和偶数 while(c!=3)if(a%2=0)a1=a1+;n=n/10;elseb1=b1+; n=n/10;if(b%2=0) a2=a2+; n=n/10; elseb2=b2+;n=n/10;if(c%2=0)a3=a3+;n=n/10; elseb=b3+; n=n/10;a=a1+a2+a3;b=b1+b2+b3;c=a+b; /当c=3时，知此数为123，033,303或213 此时，由213 123；033 123；303 123显而易见 printf(最后得到了%d%d%dn,a,b,c); 由此我们可以看出“解题”只是一种手段和途径解题意味着要找到克服困难的方法, 找到绕过障碍的道路, 而我们不可能找到能解决一切问题的方法只有通过模仿与实践，将抽象的问题具体化，讲复杂的问题分块，简洁化，这样我们才能学会解题所以学会用数学的思维去分析，去思考，去构造，去解题并与已学知识融会贯通是非常重要的。由若干个阿拉伯数字从左至右排列而成的一串数字符号，叫做数字串。如：“0”，“12”，“235”，“333”，“1403765”，“00587465132098”等等，就分别是一个数字串。显然任意一数字串中均含有若干个由一个阿拉伯数字构成的奇数或偶数。“数学黑洞”现象：取任意一数字串，（1）先数一下其中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，比如个数是“m”，就记作“m”。（2）再数一下其中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，比如个数是“n”，就在“m”后面记作“n”得出“mn”。（3）最后算一下其中所含阿拉伯数字的总个数，即把“m”加 “n”的和算出，比如和是“l”，就在“mn”后面记作“l”得出“mnl”。经过以上三个步骤的程序操作，就将原数字串转变成了“mnl”这个数字串。此时会发现：也许按本程序操作一次，所转变成的数字串就是数字串“123”；否则，将转变成的数字串继续按本程序操作，这样反复操作下去最终总可将原数字串转变成数字串“123”。而且一旦将原数字串转变成数字串“123”后，无论再对“123”按本程序操作多少次，所转变成的数字串总还是“123”，而不会是其他形式的数字串。这就是说对任意一数字串按本程序反复操作下去，最终所转变的数字串总是“123”。因此对于这个程序以及“数字宇宙（即无限个数字串）”来说，数字串“123”就是一个永远无法逃逸的“数学黑洞”。数字串“123”也称作西西弗斯串。西西弗斯的故事出自希腊神话，天神罚科林斯国王西西弗斯将一块巨石推到一座陡峭的山顶上，但无论他怎样努力，这块巨石总是在到达山顶时却又不可避免地滚下来，于是他只得重新再推，永无休止。之所以把数字串“123”称作西西弗斯串，意思是说对于任意一数字串按本程序反复操作下去，所得的结果都是“123”，而且一旦转变成“123”后，无论再按本程序操作多少次，每次所转变的结果都会永无休止地重复着“123”。例如：对数字串“235”按本程序反复操作。先数下其中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，个数为“1”，就记作“1”。再数下其中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，个数为“2”，就在“1”后面记作“2”得出“12”。最后算一下其中所含阿拉伯数字的总个数，即把“1”和“2”的和算出，和是“3”，就在“12”后面记作“3”得出“123”。这样原数字串就转变成了“123”。而后对“123”继续按本程序操作任意次，结果还是转变成“123”。例如：对数字串“0”按本程序反复操作。先数下其中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，个数为“1”，就记作“1”。再数下其中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，个数为“0”，就在“1”后面记作“0”得出“10”。最后算一下其中所含阿拉伯数字的总个数，即把“1”和“0”的和算出，和是“1”，就在“10”后面记作“1”得出“101”。这样就把原数字串转变成了“101”。继续对“101”按本程序操作，先数下其中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，个数为“1”，就记作“1”。再数下其中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，个数为“2”，就在“1”后面记作“2”得出“12”。最后算一下其中所含阿拉伯数字的总个数，即把“1”和“2”的和算出，和是“3”，就在“12”后面记作“3”得出“123”。这样“101”就转变成了“123”。而后对“123”继续按本程序操作任意次，结果还是转变成“123”。例如：对数字串“333”按本程序反复操作。先数下其中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，个数为“0”，就记作“0”。再数下其中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，个数为“3”，就在“0”后面记作“3”得出“03”。最后算一下其中所含阿拉伯数字的总个数，即把“0”和“3”的和算出，和是“3”，就在“03”后面记作“3”得出“033”。这样就把原数字串转变成了“033”。继续对“033”按本程序操作，就可将其转变成“123”。而后对“123”继续按本程序操作任意次，结果还是转变成“123”。例如：对数字串“005874626820987688899445321068215”按本程序反复操作。先数下其中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，个数为“22”，就记作“22”。再数下其中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，个数为“11”，就在“22”后面记作“11”得出“2211”。最后算一下其中所含阿拉伯数字的总个数，即把“22”和“11”的和算出，和是“33”，就在“2211”后面记作“33”得出“221133”。这样就把原数字串转变成了“221133”。继续对“221133”按本程序操作，就可将其转变成“246”。继续对“246”按本程序操作，就可将其转变成“303”。继续对“303”按本程序操作，就可将其转变成“123”。而后对“123”继续按本程序操作任意次，结果还是转变成“123”。如果将本程序的三个步骤作出相应改变，比如先数下数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，记下。再数下数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，记下。最后算一下数字串中所含阿拉伯数字的总个数，记下。这样就能形成“数学黑洞”“213”；比如先数下数字串中所含阿拉伯数字的总个数，记下。再数下数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，记下。最后算一下数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，记下。这样就能形成“数学黑洞”“312”；比如先数下数字串中所含阿拉伯数字的总个数，记下。再数下数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，记下。最后算一下数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，记下。这样就能形成“数学黑洞”“321”；比如先数下数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，记下。再数下数字串中所含阿拉伯数字的总个数，记下。最后算一下数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，记下。这样就能形成“数学黑洞”“132”；比如先数下数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，记下。再数下数字串中所含阿拉伯数字的总个数，记下。最后算一下数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，记下。这样就能形成“数学黑洞”“231”。为什么会形成这样的“数学黑洞”现象呢？下面就作出数学证明。“西西弗斯串（数学黑洞）”“123”的证明过程：在证明之前，首先探讨下自然数和阿拉伯数字个数之间的关系。规律一：一个大于“0”且含有“k（k为大于0的自然数）”个阿拉伯数字的自然数N，其取值范围为：10k-1N10k-1。（此规律证明过程略）如：1N9；10N99；100N999；1000N9999；10000N99999规律二：一个含有“k（k为大于0的自然数）”个阿拉伯数字的自然数可表示为两个自然数之和，那么这后两个自然数中所含阿拉伯数字的个数，均不能超过“k”，却可能同时为“k”。因此，（一）当k=1时，这三个具有加法运算关系的自然数中所含阿拉伯数字的个数之和，只能有唯一的值，其值是：3k。（二）当k1时，这三个具有加法运算关系的自然数中所含阿拉伯数字的个数之和，会有若干个值，而每个值均大于“3”，并且可能存在的最大值是：3k。（此规律证明过程略）如：“0，1，2，9”这些自然数中含有“1”个阿拉伯数字，并且它们均可表示为两个自然数之和，而在“0=0+0；1=1+0；2=1+1，2=2+0；9=4+5，9=9+0”中，三个具有加法运算关系的自然数中所含阿拉伯数字的个数之和，只能有唯一的值，其值是：3k=31=3。如：“1000，3333，9856，9999”这些自然数中含有“4”个阿拉伯数字，并且它们均可表示为两个自然数之和，而在“1000=998+2，1000=990+10，1000=600+400，1000=1000+0；3333=3330+3，3333=3300+33，3333=2833+500，3333=3333+0，3333=1000+2333；9856=9855+1，9856=9800+56，9856=9000+856，9856=9856+0，9856=8132+1724；9999=9997+2，9999=9900+99，9999=9000+999，9999=9999+0，9999=1000+8999”中，三个具有加法运算关系的自然数中所含阿拉伯数字的个数之和，有3或4个值，而每个值均大于“3”，并且可能存在的最大值是：3k=34=12。下面便是“西西弗斯串（数学黑洞）”“123”的证明步骤。1.对所含阿拉伯数字的总个数不大于“3”的数字串，按本程序操作一次，则可将其转变成数字串“abc（a，b，c分别为自然数；a系前一个数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数；b系前一个数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数；c系前一个数字串中所含阿拉伯数字的总个数，且c=a+b3）”的形式。因其中c3，故可知c中所含阿拉伯数字的个数k=1。根据规律二中（一）的描述可知，c，a，b中所含阿拉伯数字的个数之和是：3k=31=3，即“abc” 中所含阿拉伯数字的总个数为“3”。2.对所含阿拉伯数字的总个数不小于“4”的数字串，按本程序操作一次，则可将其转变成数字串“abc（a，b，c分别为自然数；a系前一个数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数；b系前一个数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数；c系前一个数字串中所含阿拉伯数字的总个数，且c=a+b4）”的形式。因其中c4，故可知c中所含阿拉伯数字的个数k1（k系自然数）。1）当k=1时，根据规律一的描述可知，c的取值范围为：10k-1c10k-1，即1c9。又因为此时c4，而41，所以c的真正取值范围是：4c9。因为c的真正最小值为“4”，故前一个数字串中所含阿拉伯数字的总个数至少为“4”。根据规律二中（一）的描述可知，c，a，b中所含阿拉伯数字的个数之和是：3k=31=3，即“abc” 中所含阿拉伯数字的总个数为“3”。显然“abc” 中所含阿拉伯数字的总个数，要比前一个数字串中所含的有所减少。2）当k1时，根据规律一的描述可知，c的取值范围为：10k-1c10k-1。虽然此时c4，而10k-14（此不等式的证明过程略），所以c的真正取值范围还是：10k-1c10k-1。因为c的真正最小值为“10k-1”，故前一个数字串中所含阿拉伯数字的总个数至少为“10k-1”。根据规律二中（二）的描述可知，c，a，b中所含阿拉伯数字的个数之和大于“3”，并且可能存在的最大值是：3k，即“abc” 中所含阿拉伯数字的总个数大于“3”，并且最多不会超过“3k”。因为此时10k-13k（此不等式的证明过程略），所以“abc” 中所含阿拉伯数字的总个数大于“3”，并且要比前一个数字串中所含的有所减少。因为1）中“abc” 中所含阿拉伯数字的总个数等于“3”，而2）中“abc” 中所含阿拉伯数字的总个数大于“3”，所以此时合并而论，“abc” 中所含阿拉伯数字的总个数即不小于“3”。再由1）和2）的结论可知，只要对所含阿拉伯数字的总个数不小于“4”的数字串，按本程序操作一次，所转变成的数字串中所含阿拉伯数字的总个数不小于“3”，并且和前一个数字串中所含的相比就会减少。若所转变成的数字串中所含阿拉伯数字的总个数还不小于“4”，继续对此数字串按本程序操作，同理，再次转变成的数字串中所含阿拉伯数字的总个数不小于“3”，并且和前一个数字串中所含的相比还会减少如此减少下去，这种减少趋势直到减少到所含阿拉伯数字的总个数是“3”时为止。3.通过对1.和2.的结论的分析，不难想象还会进一步推导出这样的综合结论任意一数字串“Q”，无论其中所含阿拉伯数字的总个数是多少，若按本程序操作若干次后，总可将其转变成所含阿拉伯数字的总个数为“3”的数字串“mnl（m，n，l分别为自然数；m系前一个数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数；n系前一个数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数；l系前一个数字串中所含阿拉伯数字的总个数，且l=m+n）”。继续对“mnl” 按本程序操作一次后，则可将其转变成数字串“pqr（p，q，r分别为自然数；p系前一个数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数；q系前一个数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数；r系前一个数字串中所含阿拉伯数字的总个数，且r=p+q）”。因为“mnl” 中所含阿拉伯数字的总个数是“3”，故“pqr”中的“r” 就等于“3”，由此可知“pqr”即是“pq3”这个数字串，且其中所含阿拉伯数字的总个数是“3”，同时3=p+q。同理，继续对“pq3” 按本程序操作一次后，则可将其转变成数字串“xy3（x，y分别为自然数；x系前一个数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数；y系前一个数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数；3系前一个数字串中所含阿拉伯数字的总个数，且3=x+y）”。在“pq3”中，因为3=p+q，且“3”系奇数，故可知“p”和“q”这两个自然数一个必是奇数，一个必是偶数，即“pq3”中所含阿拉伯数字的总个数是“3”，由一个阿拉伯数字构成的偶数个数是“1”，由一个阿拉伯数字构成的奇数个数是“2”。因而“xy3”中的“x”就等于“1”，“y”就等于“2”，由此可知“xy3”即是数字串“123”。而“123”就其中所含阿拉伯数字的总个数“3”以及其中三个数字之间的关系“3=1+2”而言，恰好属于“pq3”这种组成形式，同理，所以对“123”不论再按本程序操作多少次，其结果都还会是“123”，并且不可能再转变成其他形式的数字串。也就说数字串“123”是对任意一数字串“Q”按本程序反复操作下去的最终结果。至此，“西西弗斯串（数学黑洞）”“123”现象得证。（选自秋屏的微博）弗里德曼 - 核物理学家弗里德曼肯德尔 弗里德曼肯德尔（JeromeI.Friedman，1930）1990年诺贝尔物理学奖获得者（与里查德泰勒（RichardE.Taylor，1929）、亨利肯德尔（HenryW.Kendall，1926）分享，凭借对“核子的深度非弹性散射的研究”） 出生：1930年3月28日出生于美国依利诺斯州的芝加哥，父母都是俄国移民弗里德曼学历：1950年，入芝加哥大学1953年，取得硕士学位1956年，取得博士学位，指导教师费米经历：1957年，任斯坦福大学高能物理实验室副研究员1960年，转入麻省理工学院物理系，不久就参加了美国斯坦福大学直线加速器中心（SLAC）的联合研究小组1980年，弗里德曼担任麻省理工学院核科学实验室主任1983年1988年，任麻省理工学院物理系主任。在美国超级对撞机下马之前，他负责设计与之配套的探测器。弗里德曼 - 相关学说电子-质子-内部结构模型图在建设SLAC时，泰勒负责磁铁和谱仪的安装，后来成了实验项目的总负责人；弗里德曼和肯德尔为谱仪研制了粒子探测器，后来负责处理实验数据，并在1972年代表实验小组全体成员作了总结报告。1967年，大型电子直线加速器建成并达到设计能量，作为试运行开始了一系列电子-质子散射实验，包括电子-质子弹性散射实验、正电子-质子弹性散射实验和电子-质子非弹性散射实验。但是，这些实验的结果只是证实了已有的结论。当入射电子能量进一步加大时，就进入了从未有人探索过的深度非弹性散射区域。这时，电子的能量是如此之高，以至于可以深入到质子内部，甚至将质子打碎。由于质子分裂成碎片要吸收更多的能量，散射电子的能量应当比平常低的多。然而，实验发现电子-质子深度非弹性散射的大角度散射截面比弹性散射的大得多。起初，他们认为，是实验结果不正确，或者是解释有错误，还可能是因为出现了系统误差，误差的来源也许是所谓的“辐射修正”，即入射电子或散射电子以光的形式辐射掉了相当大的能量。于是，他们对辐射修正作了仔细研究。结果证明，辐射修正并不重要。他们把电子-质子深度非弹性散射和电子-质子弹性散射以及电子-电子弹性散射分别进行了比较，发现随着散射角增大电子-质子弹性散射截面急剧下降，而深度非弹性散射截面与电子-电子弹性散射截面之比却变化不大。这一事实表明，电子以极大的能量深入到质子内部时，遭遇到的不是“软”的质子靶，而是和电子类似的点状“硬”核。然而，当时实验物理学家们并没有领悟到这一点。SLAC理论组的成员布约肯(J.D.Bjorken)运用流代数求和规则对实验结果作了分析，并提出标度无关性对实验结果作了解释。“夸克-胶子”-内部结构模型图但是，由于流代数是很抽象的数学方法，他的工作一直未能得到人们的理解。后来，费恩曼把质子看成是点状部分子的复合体，把电子-质子深度非弹性散射看成是电子与质子内的部分子发生弹性散射。经过计算，证明布约肯的标度无关变量正是部分子动量与质子动量之比。就这样，费恩曼从深度非弹性散射实验和标度无关性找到了部分子模型的重要证据。人们很快明白，部分子和夸克原来是一回事。另外，电子-质子深度非弹性散射实验还表明，盖尔曼在1962年提出的电中性粒子“胶子”有可能存在。1971年，韦斯柯夫(V.F.Weisskopf)和库提(N.Kurti)提出，正是这种“胶子”在夸克间传递强相互作用才使夸克组成强子。接着，1973年创立了量子电动力学；1979年丁肇中小组首先找到了支持胶子存在的证据。显见，电子-质子深度非弹性散射实验引起了粒子物理学的一系列新进展，使粒子物理学进入了“夸克-胶子”时代。弗里德曼 - 经济学家米尔顿弗里德曼米尔顿弗里德曼（MiltonFriedman，19122006）1976年获诺贝尔经济学奖获得者（凭借在“消费理论分析、货币史和货币理论研究领域中的成就”和“对经济稳定政策的错综复杂性的论证”）弗里德曼出生：1912年7月31日出生于纽约市，父母是俄罗斯犹太移民学历：1932年罗格斯大学（RutgersUniversity）学士1933年芝加哥大学硕士1946年哥伦比亚大学博士经历：1937年1940年哥伦比亚大学经济学讲师1940年1941年威斯康辛大学经济学客座教授1945年1946年明尼苏达大学（UniversityofMinnesota）经济学与企管副教授：1946年1948年芝加哥大学经济学副教授1948年1963年芝加哥大学经济学教授1963年1982年芝加哥大学罗素杰出服务经济学教授（PaulSnowdenRussellDistinquisheServiceProfessorofEconomics）1953年1954年剑侨大学傅尔布莱特客座学者（VisitingFulbrightLecturer）1964年1965年哥伦比亚米契尔客座研究教授（WesleyClairMitchellVisitingResearchProfessor）1967年冬加利福尼亚大学洛杉矶分校客座教授1972年冬夏威夷大学客座教授重要著作：实证经济学论文集（EssaysinPositiveEconomics）消费函数理范（ATheoryoftheConsumptionFunction）资本王义与自由（CapitalismandFreedom）价格理论：初稿（PriceTheory：AProvisionalText）美国货币史1867年1960年（AMonetaryHistoryoftheUnitedStates，1867一1960）与施瓦兹（AnnaJSchwartz）合著生平：历史终于向他低头1.弗