高三第一轮复习数学棱锥.doc

高三第一轮复习数学-棱锥一、教学目标：了解棱锥的概念，正棱锥的有关性质，能进行有关角和距离的运算。二、教学重点：重点是与棱锥有关的问题。难点是两个重要的直角三角形的作用及平行截面性质的灵活应用。三、教学过程：（一）主要知识：1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥。如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。2、性质、正棱锥的性质(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。、一般棱锥的性质定理 如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比。3、棱锥的体积：V=Sh，其S是棱锥的底面积，h是高。4.圆锥也与棱锥类似：主要元素有r、h、l及扇心角.2r=l,h2+r2=l2思维方式：将空间图形分拆为四面体，培养空间想象能力。特别注意：在棱锥中，有两个截面（严格地说，是截面的一部分）值得注意：一个是由棱锥的侧棱和棱锥的高构成的直角三角形，另一个是由棱锥的斜高和棱锥的高构成的直角三角形，这两个直角三角形把棱锥的侧棱，侧棱与底面所组成的角、高、斜高，侧面与底面所成角都集中在同一个平面，有效地实现了立体问题向平面问题的转化。所以这两个“截面”（直角三角形）是解棱锥问题的“钥匙”。（二）例题分析：例1（全国高考题）若一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则这个棱锥一定不是（ ）A三棱锥 B四棱锥 C五棱锥 D六棱锥解析：选D。若满足条件的正棱锥是六棱锥，则它的六个侧面都是正三角形，侧面的顶角都是600，其和为3600，则顶点在底面内，与棱锥的定义相矛盾。NPDCBMAGHQ思维点拔本题重点考查棱锥的概念和正棱锥的性质。例2棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧面是PAB，PAD都垂直于底面，另两侧面与底面成450角，M，N分别为BC，CD的中点，最长的侧棱为15cm。求：(1)棱锥的高；(2)底面中心O到平面PMN的距离。解答：如图(1)设高为h，由平面PAB，平面PAD都垂直于底面，得PA底面AC。又PBA=450，PA=AB=h，AC=h由PA2+AC2=PC2及PC=15，得h=5（cm）；(2) BDAC，BDPA BD平面PAQ又NMBD MN平面PAQ平面PAQ平面PMN作OHPQ于H，则OH之长即为所求。作AGPQ于G。在RtPAQ中，AQ= AC=h, PQ=h. AG=h,再由=，得OH=AG=h=（cm）思维点拔棱锥的概念在本题求解中并无作用，重点应分析和利用好给出的面面关系。由于在棱锥中，随处可以找到解题必需的三角形，因此平面几何知识和解三角形的知识往往成为正确解题的关键。例3如图所示，在正三棱锥S-ABC中，过底面顶点B和侧棱SA、SC上的E、F点做一截面BEF和侧面SAC垂直。(1)若E、F分别为SA、SC中点时，求此三棱锥的侧面积与底面积之比；(2)若AB=8，斜高h1=。求截面BEF的面积。BSEADOCFG解答：(1)由正三棱锥SABC中，E、F分别为SA、SB的中点。SE=SF，ESB=FSB SEBSFB，BE=BF，设G为EF的中点，连结BG、EF，则BGEF，又平面BEF平面SAC。BG平面SAC，从而BGSG，延长SG交AC于D，连结BD，则D为AC的中点，G为SD的中点BD=BS 设正ABC的边长为a，则SA=SB=SC=BD=a，SD=aS=3S=a2。S= S：S=：1(2)由(1)，设O为S在底面上的射影，则BD=4OD=，而SD=，cosSDB=SDB=600，GD=2 BG=6 SG=。又= EF=2 S=6思维点拔计算面积时，离不开计算对应底边上的高，尤其是斜高、底面三角形的高和截面三角形的高相互间的关系，这种关系应该通过垂直截面来体现。在本题的图形条件下，可进一步思考，若求截面BEF分三棱锥所成的两个多面体的体积比是多少？若截面BEF与侧面SAC所成角为(0)时，类似问题如何解？例4已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，点E是棱DD1上的点，截面EACD1B，而且面EAC与底面ABCD所成的角为450，AB=a，求三棱锥B1EAC的体积。分析：体积计算方法很多，根据不同方法，本题有不同解法。解法一：连BD交AC于O，连OE，D1BOE，EOD是二面角E-AC-D的平面角，EOD=450，D1D=2DE=a。S=a2 。连B1D1交EO于H，在正方形BDD1B1中，B1DOE，又ACOE，ACOD，AC平面BDD1B1 ，平面EAC平面BDD1B1 B1H平面EAC，又B1H=B1D= V=a2a=a3B1DA1C1D1PCQABOEH解法二：连结B1O，由解法一，知AC平面BDD1B1，BDD1B1为正方形。S=S-S-S-S=(1-2)S=，V=V+VV=SAC=a2a=a3解法三：延长D1C1到P，使C1P=D1C1，连PE，PA、PC，PB1，则PB1ACPB1平面EAC。由解法一知D1D=aS=S-S-S=a2-a2-a2=a2，V=V=V=SAD=a2a=a3解法四：延长B1B到Q，使BQ=B1B，则AECQ为平行四边形。由解法一知BB1=a V=V=V=SAB=aaa=a3解法五：由解法一知D1D=a，连B1D1，则V=V-V-V-V-V=(1-1-21)V=a3思维点拔解法一为公式法，解法二为分割法，解法三、四为等积变形法（解法三先平移顶点，解法四先平移底，然后变换顶点与底），解法五为补形法。（三）巩固练习：1、下列几个命题,正确的有哪几个?(1)、各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥（2）、底面是正多边形的棱锥是正棱锥（3）、棱锥的所有面可能都是直角三角形（4）、四棱锥中侧面最多有四个直角三角形（5）、三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥（6）、顶点在底面上的射影是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥解：正确的有（3）（4）（6）【棱锥中的线面关系】2、棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧面是PAB，PAD都垂直于底面，另两侧面与底面成450角，M，N分别为BC，CD的中点，最长的侧棱为15cm。求：(1)棱锥的高；(2)底面中心O到平面PMN的距离。NPDCBMAGHQ解答：如图(1) 设高为h，由平面PAB，平面PAD都垂直于底面，得PA底面AC。又PBA=450，PA=AB=h，AC=h由PA2+AC2=PC2及PC=15，得h=5（cm）；(2) BDAC，BDPA BD平面PAQ又NMBD MN平面PAQ平面PAQ平面PMN作OHPQ于H，则OH之长即为所求。作AGPQ于G。在RtPAQ中，AQ= AC=hPQ=hAG=h再由=，得OH=AG=h=（cm）思维点拔棱锥的概念在本题求解中并无作用，重点应分析和利用好给出的面面关系。由于在棱锥中，随处可以找到解题必需的三角形，因此平面几何知识和解三角形的知识往往成为正确解题的关键。3、如图所示，在正三棱锥S-ABC中，过底面顶点B和侧棱SA、SC上的E、F点作一截面BEF和侧面SAC垂直。(1)若E、F分别为SA、SC中点时，求此三棱锥的侧面积与底面积之比；(2)若AB=8，斜高h1=。求截面BEF的最小面积。解答：(1)由正三棱锥SABC中，E、F分别为SA、SB的中点SE=SF，ESB=FSB SEBSFBBE=BF，设G为EF的中点，连结BG、EF，则BGEF，又平面BEF平面SAC。BG平面SAC，从而BGSG，延长SG交AC于D，连结BD，则D为AC的中点，G为SD的中点BD=BS 设正ABC的边长为a，则SA=SB=SC=BD=aSD=aS=3S=a2 S= S：S=：1BSEADOCFG(2)由(1)，设O为S在底面上的射影，则BD=4OD=，而SD=cosSDB= SDB=600GD=2 BG=6 SG=又= EF=2 S=6思维点拔计算面积时，离不开计算对应底边上的高，尤其是斜高、底面三角形的高和截面三角形的高相互间的关系，这种关系应该通过垂直截面来体现。在本题的图形条件下，可进一步思考，若求截面BEF分三棱锥所成的两个多面体的体积比是多少？若截面BEF与侧面SAC