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培养学生良好的数学思维品质2002春 数学本科 何龙旺 学号：021040203内容提要：数学思维品质具有广阔性、深刻性、灵活性、创造性、批判性等几个特性，培养学生形成良好的数学思维品质具有十分重要的意义。文章着重从克服思维的狭隘性、肤浅性、呆板性的盲从性等方面出发，探讨中学数学教学中培养学生良好数学思维品质的策略。关键词：数学教学、思维品质、培养、策略。 当前，我国急需大批富于创造能力的开拓型建设人才，在教学工作中培养学生良好的思维品质，是重要的一环，它是教师的一项重要任务。教师除了要帮助学生树立良好学风，指导他们改进学习方法，还要着重培养学生良好的思维品质，使学生思维活动及早地处于健康与科学的思维状态。本文着重对“如何培养学生良好的数学思维品质”这个问题进行探讨。一、数学思维品质思维品质，是思维不同维度上特殊的质的规定性。在思维存在的一定质的维度上都有量的变化，这种变化由高到低或由低到高，总在两极间运动变化，思维在某一维度上的两极性，是人们思维中表现出来的思维品质的概括。数学思维品质也是在两极性之间运动变化，表现为人的数学能力之间的差异。我们讨论数学思维品质，就是要把握其两极性规律，肯定并达到优秀的一极，否定并避免发生消极的一极。数学思维品质主要包含以下几个特性：1、思维的广阔性与狭隘性思维的广阔性表现在能多方面、多角度地去思考问题，善于发现事物间的多方面的联系，找出多种解决问题的办法，并将它推广到类似问题中去，从而形成一些有普遍意义的方法，或扩大解题中得到的结果的适用范围，或将其推广到类似问题中去。因此，思维的广阔性也称为思维的概括性。思维的广阔性的反面是思维的狭隘性，具体表现为思考问题时脑子放不开，跳不出条条框框的束缚，思维处于封闭状态。学生在数学学习中，表现为只是围着书本和教师转，或者陷入题海之中，得不到主动发展，长期下去必然造成学生思维的片面和狭隘。2、思维的深刻性与肤浅性思维的深刻性表现在能深入地钻研与思考问题，善于从复杂的事物中把握住本质，而不被一些表面现象所迷惑；能区分哪些是严格证明而哪些是“大概对的”，特别要在学习中克服思维的表面性、绝对化与不求甚解的毛病。思维的深刻性的反面是思维的肤浅性，表现为只满足一知半解，对概念不求甚解；考虑问题时，不去领会问题的实质，照葫芦画瓢。3、思维的灵活性与呆板性思维的灵活性表现在能对具体问题作具体分析，善于根据情况变化，及时地调整原有思维过程与方法，灵活地运用有关的概念、定理、公式、法则，并且思维不囿于固定程式或模式，具有较强的应变能力。思维灵活性的反面是思维的呆板性。知识和经验常常被人们按照一定的、个人习惯的“现成途径”反复认识，这就产生了一种先人之见，使思维倾向于某种具体的方法和方式，使人在解题的过程中总想遵循业已知道的规则系统。这即是思维的呆板性。4、思维的批判性与盲从性思维的批判性表现在有主见地评价事物，能严格地评判自己提出的假设或解题方法的正确或优劣与否；喜欢独立思考，善于提出问题和发表不同的看法，既不人云亦云，也不自以为是。思维批判性的反面是盲从性，这也是许多学生的思维特点。他们常常表现为轻易相信结论，不善于或不会找出自己解题中的错误。5、思维的创造性与再造性思维的创造性表现为能独立地发现问题、分析问题和解决问题，主动地提出新见解和采用新方法的思维品质。思维的创造性是人才的主要特征，是人类思维的高级形态，是智力活动的高级表现。任何创造、发明、革新、发现都离不开创造性思维。思维的再造性，是在操作方式与思维成果上只能重复自己或别人先前走过的道路，获得同样的结果的品质。再造性与创造性是相对的，对于学生，要由模仿到再造，最后到创造。二、培养学生良好的数学思维品质的意义首先，数学思维品质是评价和衡量学生思维能力优劣的重要标志。教师在数学教学中，往往会发现有的学生很聪明，而另一些学生却不那么聪明，除了先天因素外，更主要是后天培养造成的。那些聪明的学生，他们善于联想、归纳、推理、概括、探究，善于抓住事物的本质属性，善于找到解决问题的途径和方法，他们的数学思维品质超群，是他们数学学习成功的重要因素；而那些显得不那么聪明的学生，其实并不是他们比别人笨，主要是他们没有良好的数学思维品质作为学习数学的支点，因而学习数学比较吃力；因此，在数学教学中要重视对学生良好的数学思维品质的培养。其次，在培养学生良好的数学思维品质的过程中，促进了教师教学水平的提高。教师为了培养学生良好的数学思维品质，必然要努力学习数学教育学、心理学等知识，还要努力学习数学专业知识，只有把教育学、心理学等学科知识与数学专业知识有机结合起来，才能在实际教学中，始终不渝地坚持提升学生的数学思维品质，才能达到一个新的水平。反之，要切实把学生数学思维品质培养好，只能是水中撈月，雾里看花。所以，在培养学生良好数学思维品质的同时，教师自身也得到了锻炼，提高了教学能力，是一举两得的好事。再之，现代教育理论注重发挥学生的主观能动性，认为要以学生为主，以教师为辅。学生如果有良好的数学思维品质，就更能积极主动地进行思考，解决问题更有创造性，能更好地配合好教师的课堂教学。而教师时时刻刻都重视培养好学生良好的数学思维品质，就必然要研究如何把每一节数学课上得活泼一点，生动一点，更贴近学生的生活，更有利于开发学生数学思维能力，形成良好的数学思维品质。有了这个过程，在数学课堂中，教师与学生的距离近了，更容易与学生沟通，产生良好的教学效果。因此，在培养学生良好数学思维品质的教学过程中，有利于形成良好的师生互动，适应和发展了现代教育理论。三、培养学生良好的思维品质在数学教学中如何培养学生良好的数学思维品质呢？心理学家认为，培养学生的数学思维品质是发展数学能力的突破口。数学思维品质反映了数学思维不同方面的特征，因此，在教学过程中，应该有不同的培养手段。 （一）克服思维的狭隘性，培养思维的广阔性在数学教学中，引导学生从不同角度思考问题，从不同层次思考问题，即进行立体思维。这对开拓学生的思路，培养思维的广阔性是极为重要的。1、加强一题多解训练，培养思维的广阔性人们从不同角度去看同一事物，常常得到不同的印象，得到不同的启发，产生不同的看法，从而极大地丰富了人的认识，发展了思维的广阔性。一题多解训练，就是教师引导学生从不同角度去观察一个数学问题，使学生产生不同的体验，形成不同的解法，进而极大丰富学生的想象空间，培养思维的广阔性。例1 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需31.5元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需42元。现在购甲、乙、丙各一件共需几元？分析1：设甲、乙、丙的单价分别为x元、y元、z元。易列出 -（1）这是有3个未知数、2个方程的方程组，无法用常规方法求解。仔细考虑题目的要求，并不要求知道x、y、z各为多少，只要求出x+y+z即可。于是考虑将（x+y+z）及（x+3y）看成“未知数”，得到 -(2)若令u=x+3y , v=x+y+z , 则有-（3）这是标准的二元一次方程组，求解容易。分析2：对方程组（1），我们的思维受阻时，曾放弃求x、y，如果我们知难而进，先固定y，有-（4）方程（4）是x、z的二元方程组，解出：相加得x+y+z=10.5，这已求出结果。分析3：运用空间解析几何平面束的知识，由（1）式得：(3x+7y+z-31.5)+(4x+10y+z-42)=0整理得：（3+4）x+（7+10）y+（+）z-（31.5+42）=0令 3+4=7+10=+=1，解得：=3，=-2从而得到：x+y+z=10.5。通过以上分析知，最简单方法是将（1）式中的第一个方程乘以3，减去第二个方程乘以2得x+y+z=10.5。能够进行上述分析，这表思路宽广，思维没有停留在一种思维角度上，还考虑着与此题相关的知识，思路就开阔了。实践证明，一题多解可以使学生思维透过不同的知识领域看同一问题，形成不同的解题方法，能很好地培养数学思维的广阔性。2、加强一法多用训练，培养思维的广阔性事物都是相互联系、相互依存的。一事物可以与许多事物产生联系，从而形成放射状事物链。一法多用训练，能形成放射状问题链，极大地丰富人的知识面，极大地拓展思维空间，使思维具有广阔性。加强一题多解训练，有利于拓展学生的数学思维空间，是培养思维广阔性的有效途径。例2 在圆x2+y2=9上有动点P，圆内有定点A（-2，0），求线段AP中点Q的轨迹方程。分析：设Q（xq，yq），P(xp，yp)，利用中点坐标公式得：xq=（xp-2）/2，yq=（yp+0）/2，变形得：xp=2 xq+2 yp=2 yq，代入圆方程得轨迹方程为（x+1）2+y2=9/4若把条件“圆”改为椭圆、双曲线、抛物线，或把已知曲线方程改为参数方程形式，解题思路是相同的。若把条件“圆内有一个定点”改为圆外或圆上有一个定点，解题思路也相同。若把结论“中点的轨迹方程”改成把线段AP分成定比的分点的轨迹方程，解题思路基本相同。经过这样的变换和转化，同一个解题方法很好地运用于不同情况下的问题，使思维触及面增大，培养了学生思维的广阔性。（二）克服思维的肤浅性，培养思维的深刻性学生经常满足于一知半解，对概念不求甚解，做练习时，照葫芦画瓢，不去领会解题方法的实质，这反映学生在思维上的肤浅性。学生思维的肤浅性还表现在定型化的推理上，按习惯推理，不作深入思考，而造成丢三拉四的现象。克服学生思维的肤浅性，主要是克服学生思维的表面性与绝对化，培养学生思维的深刻性，主要是培养学生在学习过程中不迷恋于事物的表面现象，引导学生思考事物的本质，学会全面认识事物，而不被假象所迷惑。如何克服思维肤浅性，达成思维的深刻性呢？1、加强概念对比教学，培养思维的深刻性很多数学概念彼此之间既有联系，又有区别。学生很容易产生混淆与错觉，不能明确概念的本质。教学中，应该用对比的方法掌握它们之间的联系与区别，又在对比中鉴别它们各自的特点与本质，教师要在这方面多下功夫。例如，我们可以通过对正数和非负数，负数和非正数；空集和集合；映射和一一映射；锐角和第一象限的角等典型概念进行对比。从概念的内涵和外延对概念进行对比，使学生明确概念的内涵是什么，有什么不同和相同之处，外延之间有没有交叉，对比清楚了，学生才能对概念理解得深刻，从而才能达成思维的深刻。乌申斯基说：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较了解世界上的一切。”2、加强变式教学，培养思维的深刻性变式教学就是把问题的题设或结论略加变化，而不做本质的改变，使学生认识到问题仍可以使用同样或类似的方法解决，从而把握方法的本质。这是培养学生思维深刻性的一个好办法。在教学中，采用变式教学的手段，揭示方法的本质与核心因素，能使学生得到深刻的印象。例如，对这样一个问题： 四个数，前三个数成等差数列，它们的和为12，后三个数成等比数列，它们的和为19，求这四个数。可设四个数为a、b、c、d，其中2b=a+c，c2=bd，化为解四元二次方程组；也可设b-d，b，b+d，其中很快得b=4，化为解一元二次方程。在讨论解题方法的基础上，作如下局部改动：在原题目中，将“它们的和为12”改为“它们的积为6”，“它们的和为19”改为“它们的积为27”；将原题改为：五个数，前四个数成等差数列，它们的和为12，后三个数成等比数列，它们的和为19，求这五个数。通过变式练习，使学生理解这一类问题本质，就是把数列问题转化为方程的问题，而且关键是如何选择未知量，简化方程。学生对此有深刻理解，思维的深刻性就提高了。（三）克服思维的呆板性，培养思维的灵活性教师在教学中，过多地或片面地强调程式化和模式化，容易造成学生只能套模式解题，注入式的教学导致学生缺少应变能力。思维的灵活性寓于思维的敏捷之中，主要表现在善于迅速地引起联想，建立起自己的思路，同时又能根据情况的变化，善于进行自我调节，及时地和有效地调整原有的思维过程。1、提供联想的机会，培养思维的灵活性开拓了学生思维的广阔性，就为灵活思考问题提供了前提。丰富的联想使思维有机会触及事物的本来面目，从而产生顿悟。思维的灵活性往往是在获得了重要信息、抓住了主要特征以后表现出来的。例如， 已知二次方程（a-b）x2+（c-a）x+（b-c）=0（a，b，cR）有相等实根，求证a，b，c成等差数列。有许多学生通过一元二次方程根的判别式来解决，思维囿于常规，而有些学生从方程的系数观察，发现这个方程两个相等实根是1，于是由韦达定理得（b-c）/（a-b）=1，从而立即得出结论。教学中，多给学生联想机会，多说几句：“再想想”。经过反复训练，学生就会迅速抓住事物的主要特征，产生思维的跳跃，这就是思维的灵活性。2、用活数学公式，培养思维的灵活性数学学科特点之一是公式多，不少学生死记公式、死套公式，只想到公式自左向右用，而不会想到自右向左用，即不能灵活使用公式。教师在教学中，要有意识地加强训练，提升学生思维灵活性。例如，在三角函数的计算中，对“1”的多种用法：1=sin2a+cos2a 1=sec2a-tg2a 1=tgactga 1=sinacsca1=sin 1=cos0 1=tg根据情况需要，可以灵活使用“1”。（四）克服思维保守，培养思维的创造性应该说学生的思想是最活跃的、最少保守、最勇于创新的。但是，有时他们在学习上受到各种各样的限制，这时他们的思维就会处于保守、封闭状态。教师必须在加强基础知识与基本训练的前提下，提倡学生独立思考。1、鼓励归纳、猜想，培养思维的创造性归纳法是通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析、从而导出一个一般性结论的方法，是一种从特殊到一般的推理方法。人们以某些已知的事实和一定的经验为依据，对数学问题作出推测，形成命题，这种尚味判明真假的命题就是猜想，再对命题进行验证，这便是猜证结合的数学思想。所有的数学成就，可以说一大半是归纳和猜想的结果。可见归纳和猜想对培养学生思维创造性的作用是极其巨大的。归纳法在数学教学中有重要作用： 用归纳猜想数学规律例如，在高中代数中学习组合数性质时，先让学生经过计算考察下列组合数：与，与，与从而归纳猜想出组合性质：=，最后再对该性质加以证明。 用归纳猜想帮助解题例如，求一个质数，当它分别加上10和14时仍为质数。首先用归纳法进行试验：2+10=12，2+14=16，质数2不合要求；3+10=13，3+14=17，质数3符合要求；5+10=15，5+14=19，质数5不合要求；7+10=17，7+14=21，质数7不合要求；归纳上述试验，猜想：符合要求的质数只有3。为此，可把自然数分成三类；3n , 3n+1 , 3n+2 ,(nN)(3n+1)+14=3(n+5) 是合数 (3n+2)+10=3(n+4) 是合数3n+1和3n+2这两类自然数中的质数都不符合要求，而在3n这类自然数中，只有当n=1时，3n才是质数，其余都是合数，因此，符合要求的质数只有3。通过培养学生的归纳能力，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，学生思维深处的创造性就会充分发挥出来，甚至会让教师大为惊呀。鼓励学生大胆猜想，即是培养学生思维的创造性。2、加强数形结合训练，培养思维的创造性把数量关系的精确刻画与空间形式的形象直观密切结合，调用代数与几何的双面工具，揭示问题的深层结构，达到解决问题的目的，就是数形结合思想。我国著名数学家华罗庚曾有吟唱：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。解决数学问题时，追求数与形的和谐统一性，常常会产生意想不到的解法，不落俗套，这就是创造。可见，加强数形结合训练，学生既享受到数学的和谐之美，又培养了思维的创造性。例9 已知a1、a2、b1、b2都是实数，求证：+有不少学生想用逆证法，但是太烦了。那么，谁与两数的平方和有关系呢？经启发，有些学生联想到勾股定理、两点间距离。于是设计一个ABC，取A（a1+a2，0），B(0,b1+b2)，C(a2,b1)由+得证。还有学生联想到复数的模，于是设z1=a1+b1i , z2=a2+b2i ,由+得证。数形结合是开发大脑综合思维能力的有效方法。思维的创造性不能简单地理解为创造发明。对于学生来说，思维的创造性更主要是在学习中善于发现问题，提出问题，善于独立思考、分析和解决问题。对前人成果的再认识、再发现的过程本身就是再创造的思维。（五）克服思维盲从性，形成思维批判性在对待他人，特别是习惯性、权威性思维成果的态度与方式上，人的思维具有批判性与盲从性两极对立的品质。有一次，我参加学校组织的教研活动，听某位数学教师上课，其中有这么一段：例10 求方程x2-2xsin+1=0的实数解。教师板书是：因为xR,=4sin2-40,由此推出sin21,从而，sin2=1 即 sin=1，x=2n+1 , nz另一位学生举手，说有不同解法并板书道：将原方程化为2+cos2=0 =0 , 且 cos=0