徐州高一数学试卷及答案

徐州高一数学试卷及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB=(\quad)\)A.\(\{2,3\}\)B.\(\{1,2,3,4\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.函数\(y=\frac{1}{x1}\)的定义域是\((\quad)\)A.\((\infty,1)\)B.\((1,+\infty)\)C.\((\infty,1)\cup(1,+\infty)\)D.\([1,+\infty)\)3.已知\(f(x)=x^{2}+1\)，则\(f(f(1))=(\quad)\)A.\(2\)B.\(3\)C.\(4\)D.\(5\)4.下列函数中，在区间\((0,+\infty)\)上单调递增的是\((\quad)\)A.\(y=x+1\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=x^{2}4x+5\)D.\(y=2^{x}\)5.已知\(a=0.3^{2}\)，\(b=2^{0.3}\)，\(c=\log_{2}0.3\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系是\((\quad)\)A.\(a\ltb\ltc\)B.\(c\lta\ltb\)C.\(c\ltb\lta\)D.\(a\ltc\ltb\)6.若幂函数\(y=f(x)\)的图象过点\((4,2)\)，则\(f(16)=(\quad)\)A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(4\)D.\(2\)7.函数\(f(x)=\log_{2}(x1)\)的零点是\((\quad)\)A.\((1,0)\)B.\((2,0)\)C.\(1\)D.\(2\)8.已知函数\(f(x)=\begin{cases}x+1,x\geqslant0\\x^{2},x\lt0\end{cases}\)，则\(f(f(2))=(\quad)\)A.\(1\)B.\(2\)C.\(4\)D.\(5\)9.函数\(y=2\sin(\frac{\pi}{3}2x)\)的单调递减区间是\((\quad)\)A.\([k\pi\frac{\pi}{12},k\pi+\frac{5\pi}{12}](k\inZ)\)B.\([k\pi+\frac{5\pi}{12},k\pi+\frac{11\pi}{12}](k\inZ)\)C.\([k\pi\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}](k\inZ)\)D.\([k\pi+\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{2\pi}{3}](k\inZ)\)10.已知\(\tan\alpha=2\)，则\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=(\quad)\)A.\(3\)B.\(3\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{1}{3}\)11.若函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)(A\gt0,\omega\gt0)\)的图象如图所示，则\(\omega\)的值是\((\quad)\)A.\(2\)B.\(\frac{3}{2}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{1}{2}\)12.已知函数\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega\gt0,|\varphi|\lt\frac{\pi}{2})\)的最小正周期为\(\pi\)，且图象向左平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位后得到函数\(g(x)=\cos\omegax\)的图象，则\(\varphi=(\quad)\)A.\(\frac{\pi}{3}\)B.\(\frac{\pi}{6}\)C.\(\frac{\pi}{3}\)D.\(\frac{\pi}{6}\)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知角\(\alpha\)的终边经过点\(P(3,4)\)，则\(\sin\alpha=\)______.14.函数\(y=\log_{\frac{1}{2}}(x^{2}4x+3)\)的单调递增区间是______.15.已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\gt0\)时，\(f(x)=x^{2}2x\)，则\(f(1)=\)______.16.已知函数\(f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)(A\gt0,\omega\gt0,|\varphi|\lt\frac{\pi}{2})\)的部分图象如图所示，则\(f(x)\)的解析式为______.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知集合\(A=\{x|x^{2}3x+2=0\}\)，\(B=\{x|x^{2}ax+a1=0\}\)，\(C=\{x|x^{2}mx+2=0\}\)，且\(A\cupB=A\)，\(A\capC=C\)，求实数\(a\)，\(m\)的值.18.（12分）已知函数\(f(x)=2\cos^{2}x+\sqrt{3}\sin2x\).(1)求\(f(x)\)的最小正周期；(2)求\(f(x)\)在区间\([\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]\)上的最大值和最小值.19.（12分）已知函数\(f(x)=\log_{a}(1x)+\log_{a}(x+3)(0\lta\lt1)\).(1)求函数\(f(x)\)的定义域；(2)若函数\(f(x)\)的最小值为\(4\)，求\(a\)的值.20.（12分）已知函数\(f(x)=\sin(2x+\varphi)(|\varphi|\lt\frac{\pi}{2})\)的图象向左平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位后关于\(y\)轴对称.(1)求\(\varphi\)的值；(2)求函数\(f(x)\)在区间\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的单调递增区间.21.（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量\(y\)（单位：千克）与销售价格\(x\)（单位：元/千克）满足关系式\(y=\frac{a}{x3}+10(x6)^{2}\)，其中\(3\ltx\lt6\)，\(a\)为常数.已知销售价格为\(5\)元/千克时，每日可售出该商品\(11\)千克.(1)求\(a\)的值；(2)若该商品的成本为\(3\)元/千克，试确定销售价格\(x\)的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.22.（12分）已知函数\(f(x)=\frac{12^{x}}{1+2^{x}}\).(1)判断函数\(f(x)\)的奇偶性；(2)证明：函数\(f(x)\)在\(R\)上是减函数；(3)若对任意\(t\inR\)，不等式\(f(t^{2}2t)+f(2t^{2}k)\lt0\)恒成立，求实数\(k\)的取值范围.答案一、选择题1.【答案】A【解析】根据交集的定义，\(A\capB\)是由既属于集合\(A\)又属于集合\(B\)的所有元素组成的集合，所以\(A\capB=\{2,3\}\)，故选A.2.【答案】C【解析】要使函数\(y=\frac{1}{x1}\)有意义，则分母\(x1\neq0\)，即\(x\neq1\)，所以函数的定义域为\((\infty,1)\cup(1,+\infty)\)，故选C.3.【答案】D【解析】先求\(f(1)=(1)^{2}+1=2\)，再求\(f(f(1))=f(2)=2^{2}+1=5\)，故选D.4.【答案】D【解析】对于选项A，\(y=x+1\)在\((0,+\infty)\)上单调递减；对于选项B，\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上单调递减；对于选项C，\(y=x^{2}4x+5=(x2)^{2}+1\)，其对称轴为\(x=2\)，在\((0,2)\)上单调递减，在\((2,+\infty)\)上单调递增；对于选项D，\(y=2^{x}\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，故选D.5.【答案】B【解析】因为\(0\lta=0.3^{2}\lt1\)，\(b=2^{0.3}\gt2^{0}=1\)，\(c=\log_{2}0.3\lt\log_{2}1=0\)，所以\(c\lta\ltb\)，故选B.6.【答案】C【解析】设幂函数\(y=f(x)=x^{\alpha}\)，因为图象过点\((4,2)\)，所以\(4^{\alpha}=2\)，即\(2^{2\alpha}=2^{1}\)，则\(2\alpha=1\)，\(\alpha=\frac{1}{2}\)，所以\(f(x)=x^{\frac{1}{2}}\)，则\(f(16)=16^{\frac{1}{2}}=4\)，故选C.7.【答案】D【解析】令\(f(x)=\log_{2}(x1)=0\)，即\(\log_{2}(x1)=\log_{2}1\)，则\(x1=1\)，解得\(x=2\)，所以函数\(f(x)\)的零点是\(2\)，故选D.8.【答案】D【解析】因为\(2\lt0\)，所以\(f(2)=(2)^{2}=4\)，又因为\(4\geqslant0\)，所以\(f(f(2))=f(4)=4+1=5\)，故选D.9.【答案】A【解析】\(y=2\sin(\frac{\pi}{3}2x)=2\sin(2x\frac{\pi}{3})\)，求\(y=2\sin(\frac{\pi}{3}2x)\)的单调递减区间即求\(y=2\sin(2x\frac{\pi}{3})\)的单调递增区间.由\(2k\pi\frac{\pi}{2}\leqslant2x\frac{\pi}{3}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)，解得\(k\pi\frac{\pi}{12}\leqslantx\leqslantk\pi+\frac{5\pi}{12}(k\inZ)\)，所以函数的单调递减区间是\([k\pi\frac{\pi}{12},k\pi+\frac{5\pi}{12}](k\inZ)\)，故选A.10.【答案】A【解析】\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha1}\)，因为\(\tan\alpha=2\)，所以\(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha1}=\frac{2+1}{21}=3\)，故选A.11.【答案】A【解析】由图象可知\(\frac{T}{2}=\frac{5\pi}{12}\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}\)，则\(T=\frac{2\pi}{3}\)，又因为\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，所以\(\omega=\frac{2\pi}{T}=3\)，故选A.12.【答案】B【解析】因为函数\(f(x)\)的最小正周期为\(\pi\)，所以\(\frac{2\pi}{\omega}=\pi\)，解得\(\omega=2\)，则\(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)，图象向左平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位后得到\(g(x)=\sin[2(x+\frac{\pi}{6})+\varphi]=\sin(2x+\frac{\pi}{3}+\varphi)\)，又因为\(g(x)=\cos2x=\sin(2x+\frac{\pi}{2})\)，所以\(\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi(k\inZ)\)，解得\(\varphi=\frac{\pi}{6}+2k\pi(k\inZ)\)，因为\(|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}\)，所以\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)，故选B.二、填空题13.【答案】\(\frac{4}{5}\)【解析】已知角\(\alpha\)的终边经过点\(P(3,4)\)，则\(r=\sqrt{(3)^{2}+4^{2}}=5\)，根据正弦函数的定义\(\sin\alpha=\frac{y}{r}=\frac{4}{5}\).14.【答案】\((\infty,1)\)【解析】由\(x^{2}4x+3\gt0\)，解得\(x\lt1\)或\(x\gt3\)，令\(t=x^{2}4x+3=(x2)^{2}1\)，函数\(y=\log_{\frac{1}{2}}t\)在\((0,+\infty)\)上单调递减，\(t=x^{2}4x+3\)在\((\infty,1)\)上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，函数\(y=\log_{\frac{1}{2}}(x^{2}4x+3)\)的单调递增区间是\((\infty,1)\).15.【答案】\(1\)【解析】因为函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，所以\(f(1)=f(1)\)，当\(x\gt0\)时，\(f(x)=x^{2}2x\)，则\(f(1)=1^{2}2\times1=1\)，所以\(f(1)=f(1)=1\).16.【答案】\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)【解析】由图象可知\(A=2\)，\(\frac{T}{4}=\frac{7\pi}{12}\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4}\)，则\(T=\pi\)，因为\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，所以\(\omega=2\)，则\(f(x)=2\sin(2x+\varphi)\)，把点\((\frac{\pi}{3},2)\)代入得\(2\sin(2\times\frac{\pi}{3}+\varphi)=2\)，即\(\sin(\frac{2\pi}{3}+\varphi)=1\)，\(\frac{2\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi(k\inZ)\)，解得\(\varphi=\frac{\pi}{6}+2k\pi(k\inZ)\)，因为\(|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}\)，所以\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)，所以\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\).三、解答题17.【解析】(1)先求解集合\(A\)：由\(x^{2}3x+2=0\)，因式分解得\((x1)(x2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\).(2)再求解集合\(B\)：由\(x^{2}ax+a1=0\)，因式分解得\((x1)[x(a1)]=0\)，解得\(x=1\)或\(x=a1\)，所以\(B=\{1,a1\}\).因为\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)，则\(a1=1\)或\(a1=2\)，解得\(a=2\)或\(a=3\).(3)然后分析集合\(C\)：因为\(A\capC=C\)，所以\(C\subseteqA\)，则\(C\)可能为\(\varnothing\)，\(\{1\}\)，\(\{2\}\)，\(\{1,2\}\).当\(C=\varnothing\)时，方程\(x^{2}mx+2=0\)无实数根，所以\(\Delta=m^{2}8\lt0\)，解得\(2\sqrt{2}\ltm\lt2\sqrt{2}\).当\(C=\{1\}\)时，将\(x=1\)代入方程\(x^{2}mx+2=0\)得\(1m+2=0\)，解得\(m=3\)，此时方程为\(x^{2}3x+2=0\)，另一根为\(2\)，不满足\(C=\{1\}\)，舍去.当\(C=\{2\}\)时，将\(x=2\)代入方程\(x^{2}mx+2=0\)得\(42m+2=0\)，解得\(m=3\)，此时方程为\(x^{2}3x+2=0\)，另一根为\(1\)，不满足\(C=\{2\}\)，舍去.当\(C=\{1,2\}\)时，\(m=1+2=3\).综上，\(a=2\)或\(a=3\)，\(m=3\)或\(2\sqrt{2}\ltm\lt2\sqrt{2}\).18.【解析】(1)化简\(f(x)\)：\[\begin{align}f(x)&=2\cos^{2}x+\sqrt{3}\sin2x\\&=1+\cos2x+\sqrt{3}\sin2x\\&=1+2(\frac{1}{2}\cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x)\\&=1+2(\sin\frac{\pi}{6}\cos2x+\cos\frac{\pi}{6}\sin2x)\\&=1+2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\end{align}\]根据正弦函数的周期公式\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)（\(\omega\)为\(x\)前面的系数），可得\(f(x)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\).(2)求\(f(x)\)在区间\([\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]\)上的最值：当\(x\in[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]\)时，\(2x+\frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}]\)，则\(\sin(2x+\frac{\pi}{6})\in[\frac{1}{2},1]\)，所以\(2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\in[1,2]\)，\(1+2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\in[0,3]\)，即\(f(x)\)在区间\([\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]\)上的最大值为\(3\)，最小值为\(0\).19.【解析】(1)求函数\(f(x)\)的定义域：要使函数\(f(x)=\log_{a}(1x)+\log_{a}(x+3)\)有意义，则\(\begin{cases}1x\gt0\\x+3\gt0\end{cases}\)，解得\(3\ltx\lt1\)，所以函数\(f(x)\)的定义域为\((3,1)\).(2)化简\(f(x)\)并求\(a\)的值：\[\begin{align}f(x)&=\log_{a}(1x)+\log_{a}(x+3)\\&=\log_{a}[(1x)(x+3)]\\&=\log_{a}(x^{2}2x+3)\\&=\log_{a}[(x+1)^{2}+4]\end{align}\]因为\(3\ltx\lt1\)，所以\(0\lt(x+1)^{2}+4\leqslant4\)，又因为\(0\lta\lt1\)，所以\(\log_{a}[(x+1)^{2}+4]\geqslant\log_{a}4\)，即\(f(x)_{\min}=\log_{a}4\)，已知\(f(x)\)的最小值为\(4\)，则\(\log_{a}4=4\)，即\(a^{4}=4\)，\((\frac{1}{a})^{4}=4\)，\(\frac{1}{a}=\sqrt{2}\)，解得\(a=\frac{\sqrt{2}}{2}\).20.【解析】(1)求\(\varphi\)的值：函数\(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)的图象向左平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位后得到\(g(x)=\sin[2(x+\frac{\pi}{6})+\varphi]=\sin(2x+\frac{\pi}{3}+\varphi)\)，因为\(g(x)\)的图象关于\(y\)轴对称，所以\(\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi(k\inZ)\)，解得\(\varphi=\frac{\pi}{6}+k\pi(k\inZ)\)，又因为\(|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}\)，所以\(\varphi=\frac{\pi}{6}\).(2)求函数\(f(x)\)在区间\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的单调递增区间：由\(2k\pi\frac{\pi}{2}\leqslant2x+\frac{\pi}{6}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)，解得\(k\pi\frac{\pi}{3}\leqslantx\leqslantk\pi+\frac{\pi}{6}(k\inZ)\)，当\(k=0\)时，\(\frac{\pi}{3}\leqslantx\leqslant\frac{\pi}{6}\)，当\(k=1\)时，\(\frac{2\pi}{3}\leqslantx\leqslant\frac{7\pi}{6}\)，因为\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)，