高中数学 模块复习 第4课 函数的应用课件 新人教A版必修1.ppt

模块复习课 第四课函数的应用 1 函数零点 方程的根 函数图象与x轴的交点之间的关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 y f x 有零点 无零点 3 f a f b 0与函数y f x 在区间 a b 内零点个数的关系 1 函数y f x 在区间 a b 内若不连续 则f a f b 0与函数y f x 在区间 a b 内的零点的个数没有关系 即 零点存在性定理仅对连续函数适用 2 连续函数y f x 若满足 则在区间 a b 内至少有一个零点 反过来函数y f x 在区间 a b 内有零点不一定有f a f b 0 f a f b 0 4 幂函数 指数函数 对数函数的增长差异 1 幂函数y xa a 0 在区间 0 上的增长 2 指数函数y ax a 1 在区间 0 上 呈 爆炸式 快速增长 3 对数函数y logax a 1 在区间 0 上增长先快后慢 逐步趋于 相对平稳 先慢后快 平稳 记函数f x 的定义域为d 若存在x0 d 使f x0 x0成立 则称x0为函数f x 的不动点 1 当a 1 b 2时 求f x ax2 b 1 x b 1 a 0 的 不动点 2 已知定义在实数集r上的奇函数f x 存在有限个 不动点 求证 f x 必有奇数个 不动点 类型一函数的零点问题 解 1 当a 1 b 2时 由f x x得x2 x 3 x 即x2 2x 3 0 解得x 1或x 3 所以f x ax2 b 1 x b 1 a 0 的 不动点 为 1和3 2 函数f x 的 不动点 即方程f x x 亦即f x x 0的根 因为f x 为奇函数 所以f x x为奇函数 设方程f x x 0在 0 上有k k n 个实数根 则它在 0 上也有k个实数根 又因为f x x为奇函数 所以f 0 0 0 即0是f x x 0的根 所以方程f x x 0共有2k 1 k n 个实数根 所以函数f x 有2k 1 k n 个 不动点 即f x 必有奇数个 不动点 互动探究 在本题的条件下 若函数f x x2 x a 1有且只有两个相异的 不动点 求实数a的取值范围 解 由题意得方程x2 x a 1 x有两个不等实根 此方程可化为x2 2x a 1 0 由 2 2 4 a 1 0 解得a 0 确定函数零点个数的方法 1 解方程f x 0有几个根 2 利用图象找y f x 的图象与x轴的交点或转化成两个函数图象的交点个数 3 利用f a f b 与0的关系进行判断 类型二二分法的应用 f x 在 0 1 上时 f 0 1 2 102 0 f 0 5 2 1618 0 所以f x 在 0 1 0 5 上有且只有一个零点 下面用二分法逐次计算 0 1 0 5 0 1 0 3 0 2 0 3 0 2 0 25 0 2 0 225 0 2125 0 225 0 2125 0 21875 因为 0 21875 0 2125 0 00625 0 01 所以可取0 21875作为函数零点的近似值 因此原方程的近似解为0 21875 用二分法求方程近似解注意的问题 1 看清题目的精确度 它决定着二分法的结束 2 根据f a0 f b0 0确定初始区间 高次方程要先确定有几个解再确定初始区间 3 初始区间的选定一般在两个整数间 不同初始区间结果是相同的 但二分的次数相差较大 4 取区间中点c计算中点函数值f c 确定新的零点区间 直到所取区间 an bn 中 an与bn达到精确度要求 1 在用二分法求方程x3 2x 1 0的一个近似解时 现在已经将一根锁定在区间 1 2 内 则下一步可断定该根所在的区间为 解析 设f x x3 2x 1 其零点为x0 则f 1 13 2 1 1 2 0 f 2 23 2 2 1 3 0 取区间 1 2 的中点x1 1 5 计算f 1 5 1 53 2 1 5 1 0 625 0 因为f 1 5 f 2 0 所以x0 1 5 2 答案 1 5 2 说明 写成闭区间也算对 某集团公司计划分三期建立垃圾资源化处理工厂 如表 类型三函数建模思想 如果每期的投入在当年即可见效 且不考虑存贷款利息 设2012年为第一年 第x年的总收益为f x 单位 千万元 试求f x 的表达式 并预测到哪一年能收回全部投资款 1 建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤 1 对实际问题进行抽象概括 确定变量之间的主被动关系 并用x y分别表示 2 建立函数模型 将变量y表示为x的函数 此时要注意函数的定义域 3 求解函数模型 并还原为实际问题的解 2 建模的三个原则 1 简化原则 建立模型 要对原型进行一定的简化 抓主要因素 主变量 尽量建立较低阶 较简便的模型 2 可推演原则 建立的模型一定要有意义 既能对其进行理论分析 又能计算和推理 且能推演出正确结果 3 反映性原则 建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系 即应与原型具有 相似性 所得模型的解应具有说明现实问题的功能 能回到具体研究对象中去解决问题 2 中华人民共和国个人所得税法 规定 个人所得税起征点为3500元 即3500元以下不必纳税 超过3500元的部分为当月应纳税所得额 应缴纳的税款按下表分段累计计算 1 列出公民全月工资总额x 0 x 8000 元与当月应缴纳税款额y元的函数关系式 2 刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元 那么她当月工资总额是多少 解 1 依题意可得 当0 x 3500时 y 0 当3500 x 5000时 y x 3500 3 0 03x 105 当5000 x 8000时 y 45 x 5000 10 0 1x 455 试讨论函数f x x2 2 x 1 a a r 的零点个数 解 令f x 0即x2 2 x 1 a 令g x x2 2 x 1 h x a 则问题转化为求函数g x 与h x 交点的个数 如图 类型四分类讨论 函数与方程思想 当a 2时 g x 的图象与直线h x a无交点 方程x2 2 x 1 a无实根 故函数f x 无零点 当a 2或a 1时 g x 的图象与直线h x a有两个交点 方程x2 2 x 1 a有两个实根 故函数f x 有两个零点 当 2 a 1时 g x 的图象与直线h x a有四个交点 方程x2 2 x 1 a有四个实根 故函数f x 有四个零点 当a 1时 g x 的图象与直线h x a有三个交点 方程x2 2 x 1 a有三个实根 故函数f x 有三个零点 综上所述 当a 2时 无零点 当a 2或a 1时 有2个零点 当 2 a 1时 有4个零点 当a 1时 有3个零点 1 解分类讨论问题的步骤 1 确定分类讨论的对象 即对哪个参数进行讨论 2 对所讨论的对象进行分类 做到不重不漏 标准统一 3 逐类讨论 即对各类问题详细讨论 4 归纳总结 将各类情况总结归纳 2 函数与方程思想在解题中的应用 1 借助有关初等函数的性质 解求值 解不等式 解方程以及讨论参数的取值范围等问题 2 在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数 达到化难为易 化繁为简的