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立体几何复习小结 知识框架 一 空间几何体的结构 简单组合体 棱柱 注 四棱柱 平行六面体 直平行六体 长方体 正四棱柱 正方体 四棱柱 四棱柱 直四棱柱侧棱垂直底面 平行六面体底面是平行四边形 长方体 正四棱柱 正方体 侧面垂直底面 棱锥 注 解题中应灵活运用三棱锥 可以任意换底 的特殊性 处理问题 棱锥 棱锥 正四棱锥 正三棱锥 正四面体 体积V Sh 3 顶点在底面正多边形的射影是底面的中心 多面体 球 正方体的内切球和它的外接球 三视图 画一个物体的三视图时 正视图 侧视图 俯视图所画的位置如图所示 且要符合如下原则 长对正 高平齐 宽相等 1 从前面正对着物体观察 画出主视图 主视图反映了物体的长和高及前后两个面的实形 三视图表达的意义 2 从上向下正对着物体观察 画出俯视 布置在主视图的正下方 俯视图反映了物体的长和宽及上下两个面的实形 3 从左向右正对着物体观察 画出左视图 布置在主视图的正右方 左视图反映了物体的宽和高及左右两个面的实形 三视图能反映物体真实的形状和长 宽 高 三 空间几何体的表面积和体积 圆柱的侧面积 圆锥的侧面积 圆台的侧面积 球的表面积 柱体的体积 锥体的体积 台体的体积 球的体积 求体积时常用的方法 直接法 割补法 变换法 根据条件直接用柱体或锥体的体积公式 如果一个多面体的体积直接用体积公式计算用困难 可将其分割成易求体积的几何体 逐块求积 然后求和 如果一个三棱锥的体积直接用体积公式计算用困难 可转换为等积的另一三棱锥 而这一三棱锥的底面面积和高都是容易求得 直线与平面 平面 平面的概念和性质及三个推论 空间两条直线 平行直线 公理4 异面直线 判定定理 所成的角 距离 相交直线 等角定理 空间直线与平面 线在面内 线面平行 判定定理 性质定理 线面间距离 线面相交 斜交 线面成角 直交 判定 性质定理 点到面的距离 空间两个平面 平行 判定 性质定理 两平面间的距离 相交 直交 判定 性质定理 斜交 二面角及平面角 一 复习导航 D B C 二 典例探讨 线平行线 线平行面 面平行面 线面平行判定 线面平行性质 面面平行判定 面面平行性质 三种平行关系的转化 平行问题 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 则该与此平面平行 性质定理 一条直线与一个平面平行 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 性质定理可以看作直线和直线平行的判定定理的应用 定理中的三个条件作用 证明线线平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 则这两个平面平行 面面平行的判定定理 a b a b P a b 符号表示 线面平行 面面平行 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交线平行 若 b a则a b 面面平行 线线平行 由平面与平面平行 你可以得到其它性质吗 线垂直线 线垂直面 面垂直面 线面垂直判定 线面垂直定义 面面垂直判定 面面垂直性质 三种垂直关系的转化 垂直问题 直线与平面垂直的定义 若直线和平面内的任意一条直线都垂直 则称直线与平面互相垂直 直线叫做平面的垂线 平面叫做直线的垂面 直线与平面的交点叫垂足 若一条直线与一个平面垂直 则平面内所有直线都与已知直线垂直 一条直线与一个平面内的都垂直 则该直线与此平面垂直 直线与平面垂直的判定定理 符号语言 两条相交直线 这两条相交直线m n是否和已知直线l有公共点是无关紧要的 已知 a b a 求证 b 2 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面 则另一条直线也垂直于这个平面 证明 在平面 内作两条直线m n相交于P a a m a n又a b b m b n且m n mn P b P 1 若直线和平面垂直 则直线与平面内任一条直线都垂直 三 直线与平面垂直的性质定理 3 变式 已知a与b是异面直线 且求证 m n m n 平面角是直角的二面角叫直二面角 两个平面相交 如果所成的二面角是直二面角 就说这两个平面互相垂直 把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直 记作 四 面面垂直的定义 判定两个平面互相垂直 除了定义外 还有下面的判定定理 两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 符号表示 AB AB 则 线面垂直 面面垂直 5 面面垂直的判定定理 面面垂直的性质定理1 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直另一个平面 结论 两个平面垂直 过一个平面内一点作另一平面的垂线 则该线在这一平面内 面面垂直的性质定理2 面面垂直的性质定理3 P A B C D M N K o L 直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 作直线a b 并使a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 A L B O 角度问题 空间角的计算 1 异面直线所成角 平移转化法 2 斜线与平面所成角 射影转化法 3 平面与平面所成角 平面角法 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求 1 AD1和BD所成的角 2 AD1和面BDD1B1所成的角 3 二面角C1 BD C的正切值 A B C D E F G H P A B C D M N K o L A B C D S M N E F Q A B C D E F B D A C E F M C a A B C D E F A B C D P E O F P A B C D E F 3 注重语言互译 1 文字语言 2 符号语言 4 作图 斜二测画法 识图 三视图 用图 提供直观 3 图形语言 一 立足课本 夯实基点 直线a在平面内 二 总结规律突破难点 1 平行与垂直的证明 看条件 想性质 看结论 想判定 2 三视图的实物还原 长对正 高平齐 宽相等 条件 结论 三空间的角 1 两条异面直线所成的角 关键是找平行线 通常利用三角形的中位线与边的平行关系或补成平行四边形 2 直线和平面所成的角 求斜线与平面所成的角的关键是找斜线在平面内的射影 即找斜线上的点在平面内的射影 为此通常利用平面与平面的垂直的性质 3 二面角 关键是找二面角的平面角 通常利用 1 定义 2 三垂线定理及其逆定理 3 作棱的垂面 4 特殊图形的性质 四 总结规律 突破难点 5 简单几何体面积与体积的计算 1 多面体 2 旋转体 注意正棱锥 正棱台中的4个直角三角形 如右图 注意圆柱 圆锥 圆台的轴截面 侧面展开图和球的大圆面 如右图 B 五 总结规律 突破难点 6 平面图形的翻折 例如 将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角 求AB和CD所成角 翻折规律 翻折前后在翻折线同侧的所有量之间的关系均保持不变 翻折前后在翻折线两侧的量之间的关系一般将发生改变 PB平面AEC 六 注重纠错 补强弱点 案例1 徐州09 10届高三摸底16 如图 在底面是矩形的四棱锥P ABCD中 PA 平面ABCD PA AD E是PD的中点 1 求证 PB 平面AEC 2 求证 平