高中数学 9.3直线和平面垂直、平面和平面垂直配套课件 理 新人教A版.ppt

第三节直线和平面垂直 平面和平面垂直 三年13考高考指数 1 掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理 2 掌握斜线在平面上的射影的概念 3 掌握三垂线定理及其逆定理 4 掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理 1 直线和平面垂直的判定定理和性质定理是考查重点 2 垂直关系的判定与性质常与空间角等问题相结合 以解答题的形式出现 且常出现在解答题的第一问 考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力 3 题型以选择题和填空题为主 且常与命题的真假判断相结合命题 1 直线和平面垂直的概念 判定及性质 1 定义如果一条直线l和一个平面 内的任意一条直线都垂直 那么就说直线l和平面 2 判定定理条件 如果一条直线和一个平面内的 都垂直 结论 这条直线垂直于这个平面 3 性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行 互相垂直 两条相交直线 即时应用 1 思考 能否将直线与平面垂直的定义中的 任意一条 改为 无数条 提示 不能 若改为 无数条 则这些直线可能互相平行 不能判定垂直 2 思考 若直线a 直线b 且直线a 平面 则b与 有什么样的位置关系 提示 b 3 判断下列说法是否正确 请在括号内填 或 垂直于同一直线的两个平面平行 垂直于同一直线的两条直线平行 直线垂直于平面 则直线垂直于平面内的任意直线 解析 垂直于同一直线的两条直线可能平行 相交或异面 故 错误 正确 答案 2 三垂线定理及其逆定理 1 定理在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线 2 逆定理在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线在平面内的射影 垂直 垂直 即时应用 1 若直线a与平面 相交且不垂直 那么在平面 内与直线a垂直的直线有 条 2 如图 pa 平面abc 在 abc中 bc ac 则图中直角三角形的个数为 解析 1 由三垂线定理可知 平面 内所有与直线a的射影垂直的直线都与直线a垂直 故在平面 内与直线a垂直的直线有无数条 2 由三垂线定理可知 bc pc 可证 pab pac pbc和 abc都是直角三角形 答案 1 无数 2 4 3 平面与平面垂直的概念 判定及性质 1 定义如果两个相交平面所成的二面角是直二面角 就说这两个平面互相 2 判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面 3 性质定理如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于 垂直 互 相垂直 另一个平面 即时应用 1 如图 在正四面体pabc中 d e f分别是ab bc ca的中点 判断下面四个结论是否正确 请在括号内填 或 bc 平面pdf df 平面pae 平面pdf 平面pae 平面pde 平面abc 2 判断下列说法是否正确 请在括号内填 或 垂直于同一个平面的两个平面平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直 两个平面 与 相交但不垂直 直线m在平面 内 则在平面 内不存在与m垂直的直线 3 已知 表示两个不同的平面 m为平面 内的一条直线 则 是 m 的 条件 解析 1 因为d f分别为ab ac的中点 所以df bc 又因为bc在平面pdf外 所以bc 平面pdf 故 正确 易证bc 平面pae bc df 所以结论 正确 由于点p在底面abc内的射影为 abc的中心 不在中位线de上 故结论 不正确 2 垂直于同一个平面的两个平面可能平行 也可能相交 故 错误 若两个平面垂直 只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直 故 正确 根据三垂线定理 在平面 内一定存在与m垂直的直线 故 错误 综上 错误 正确 3 由平面与平面垂直的判定定理知 如果m为平面 内的一条直线 m 则 反过来则不一定成立 所以 是 m 的必要不充分条件 答案 1 2 3 必要不充分 直线与平面垂直的判定与性质 方法点睛 证明线面垂直的方法 1 利用线面垂直的定义 2 利用线面垂直的判定定理 即m n m n a l m l n l 3 利用线面垂直的性质 即a b a b 4 利用面面垂直的性质定理 即 l a a l a 5 利用面面平行的性质 即a a 6 利用面面垂直的性质 即 l l 提醒 证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直 要善于挖掘题中出现的线线垂直的关系 例如等腰三角形底边上的中线垂直于底边 菱形的对角线互相垂直等 另外利用三角形全等 相似以及由勾股定理逆定理进行计算也可证明线线垂直 例1 1 设l m n均为直线 其中m n在平面 内 则 l 是 l m且l n 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 2 2012 贺州模拟 如图 已知pa垂直于矩形abcd所在的平面 m n分别是ab pc的中点 若 pda 45 求证 mn 平面pcd 解题指南 1 利用线面垂直的判定定理和性质定理判断 2 利用m n是中点 构造中位线从而得mn的平行线 再利用平行线将垂直关系转化 规范解答 1 选a 若l m n 则l m且l n 若l m且l n 当m n不相交时 l与 不一定垂直 故a正确 2 如图所示 取pd的中点e 连结ae ne e n分别为pd pc的中点 encd 又 m为ab的中点 amcd enam 四边形amne为平行四边形 mn ae pa 平面abcd pda 45 pad为等腰直角三角形 ae pd 又 cd ad cd pa cd 平面pad 而ae 平面pad cd ae 又cd pd d ae 平面pcd mn 平面pcd 互动探究 将本例 2 中去掉条件 若 pda 45 试证明mn cd 证明 连结ac an bn pa 平面abcd pa ac 在rt pac中 n为pc的中点 an pc pa 平面abcd pa bc 又bc ab pa ab a bc 平面pab bc pb 从而在rt pbc中 bn为斜边pc的中线 bn pc an bn abn为等腰三角形 又m为底边ab的中点 mn ab 又 ab cd mn cd 反思 感悟 证明线面垂直 根据判定定理 就要证线线垂直 而线线垂直一般来源于线面垂直 面面垂直的定义或性质 另外充分考虑几何体本身的特点 也是获取垂直关系的重要途径 变式备选 直三棱柱abc a1b1c1中 ac bc aa1 2 acb 90 e为bb1的中点 a1de 90 求证 cd 平面a1abb1 证明 连结a1e ec ac bc 2 acb 90 ab 2设ad x 则bd x a1d2 4 x2 de2 1 x 2 a1e2 2 1 a1de 90 a1d2 de2 a1e2 x d为ab的中点 cd ab 又 aa1 cd 且aa1 ab a cd 平面a1abb1 面面垂直的判定与性质 方法点睛 1 证明面面垂直的方法 1 利用定义 两个平面相交 所成的二面角是直二面角 2 利用判定定理 a a 2 面面垂直的判定和性质的联系两个平面垂直的判定定理和性质定理分别由线面垂直得到面面垂直 以及由面面垂直得到线面垂直 从这一方面可知线面垂直与面面垂直有着密切的关系 例2 如图所示 在直三棱柱abc a1b1c1中 ac bc 点d是ab的中点 求证 1 bc1 平面ca1d 2 平面ca1d 平面aa1b1b 解题指南 1 只需在平面ca1d内找到一条直线与bc1平行即可 2 要证面面垂直 需证明线面垂直 规范解答 1 连结ac1交a1c于e 连结de 四边形aa1c1c为矩形 则e为ac1的中点 a1 c1 a d b c b1 e 又d是ab的中点 在 abc1中 de bc1 又de 平面ca1d bc1平面ca1d bc1 平面ca1d 2 ac bc d为ab的中点 在 abc中 ab cd 又aa1 平面abc cd 平面abc aa1 cd 又aa1 ab a cd 平面aa1b1b 又cd 平面ca1d 平面ca1d 平面aa1b1b 反思 感悟 证明两个平面垂直 一般要转化成线面垂直 即证其中一个平面经过另一个平面的一条垂线 可以先找到其中一个平面的一条垂线 再说明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行 变式训练 如图 三棱锥a bcd中 bcd 90 bc cd 1 ab 平面bcd adb 60 e f分别是ac ad上的动点 且 0 1 1 求证 不论 为何值 总有平面bef 平面abc 2 当 为何值时 平面bef 平面acd 解析 1 ab 平面bcd ab cd cd bc 且ab bc b cd 平面abc 又 0 1 不论 为何值 恒有ef cd ef 平面abc 又ef 平面bef 不论 为何值 恒有平面bef 平面abc 2 由 1 知 be ef 平面bef 平面acd be 平面acd be ac bc cd 1 bcd 90 adb 60 bd ab tan60 ac 由ab2 ae ac 得ae 故当 时 平面bef 平面acd 变式备选 如图所示 在四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd ab dc pad是等边三角形 已知bd 2ad 8 ab 2dc 1 设m是pc上的一点 证明 平面mbd 平面pad 2 求四棱锥p abcd的体积 解析 1 在 abd中 ad 4 bd 8 ab ad2 bd2 ab2 ad bd 又 平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad bd 平面abcd bd 平面pad 又bd 平面mbd 平面mbd 平面pad 2 过p作po ad于o 平面pad 平面abcd po 平面abcd 即po为四棱锥p abcd的高 又 pad是边长为4的等边三角形 po 在底面四边形abcd中 ab dc ab 2dc 四边形abcd为梯形 在rt adb中 斜边ab上的高为此即为梯形的高 s四边形abcd 24 vp abcd 垂直关系的综合应用 方法点睛 空间垂直关系的相互转化 1 空间中的垂直关系有线线垂直 线面垂直 面面垂直 它们之间存在相互转化关系 线线垂直线面垂直面面垂直 由转化关系可知 证明线面垂直 面面垂直都离不开证明线线垂直 所以证明线线垂直是证明空间中垂直关系的根本 2 证明线线垂直的思路思路一 要证明两条直线 如a b 垂直 需证一条直线垂直于另一条直线所在的平面 首先找出一条直线与两条直线中的一条直线垂直 且与另一条直线相交 假定找到直线c垂直于a 且与b相交 然后考虑证明线面垂直 证明直线a垂直于直线b c所确定的平面 思路二 要证两条直线垂直 只需求出两条直线所成的角为90 将两直线平移到一个三角形内结合已知的数量关系 运用勾股定理的逆定理得出两条直线所成的角为90 从而证得两条直线垂直 例3 如图 在直角梯形abcd中 a d 90 ab cd sd 平面abcd ab ad a sd 1 求证 平面sab 平面sad 2 设sb的中点为m 当为何值时 能使dm mc 请给出证明 解题指南 1 注意sd 平面abcd以及 a d 90 可将面面垂直转化为证线面垂直 2 可以证明sd bd 因此dm sb 故要证dm mc 可转化为证明dm 平面sbc 规范解答 1 a 90 ab ad 又sd 平面abcd ab 平面abcd sd ab 又sd ad d ab 平面sad 又ab 平面sab 平面sab 平面sad 2 当 2时 能使dm mc 理由如下 连结bd a 90 ab ad a bd a sd bd bda 45 又m为sb的中点 dm sb 设cd的中点为p 连结bp 则dp ab 且dp ab bp ad bp cd bd bc 又 bdc 90 bda 45 cbd 90 即bc bd 又bc sd bd sd d bc 平面sbd dm bc 由 知dm 平面sbc dm mc 即当 2时 能使dm mc 反思 感悟 线线垂直 线面垂直 面面垂直的相互转化是解决有关垂直证明题的指导思想 既要注意一般的转化规律 又要看清题目的具体条件 选择正确的转化方向 不能过于模式化 复杂的题目不是一次或两次转化就能完成 而是不断地从某一垂直向另一垂直转化 最终达到目的 变式训练 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是cd a1d1的中点 1 求证 ab1 bf 2 求证 ae bf 3 棱cc1上是否存在点p 使bf 平面aep 若存在 确定点p的位置 若不存在 说明理由 解析 1 连结a1b 则ab1 a1b 又 ab1 a1f 且a1b a1f a1 ab1 平面a1bf ab1 bf 2 取ad的中点g 连结fg bg 则fg ae 又 bag ade abg dae ae bg 又 bg fg g ae 平面bfg 又 bf 平面bfg ae bf 3 存在 取cc1的中点为p 即为所求 连结ep ap c1d ep c1d c1d ab1 ep ab1 由 1 知ab1 bf bf ep 又由 2 知ae bf 且ae ep e bf 平面aep 创新探究 函数的最值 导数与立体几何的综合问题 典例 2011 江西高考 如图 在 abc中 b ab bc 2 p为ab边上一动点 pd bc交ac于点d 现将 pda沿pd翻折至 pda 使平面pda 平面pbcd 1 当棱锥a pbcd的体积最大时 求pa的长 2 若点p为ab的中点 e为a c的中点 求证 a b de 解题指南 1 由折叠过程可知a p 平面bcdp 即a p为棱锥a pbcd的高 可设出pa x 然后建立棱锥a pbcd的体积关于x的函数关系式 借助函数的相关知识解决 2 由于p为ab的中点 故可考虑构造三角形的中位线解决 规范解答 1 令pa x 0 x 2 则a p pd x bp 2 x 因为a p pd 且平面a pd 平面pbcd 故a p 平面pbcd 所以va pbcd sh 2 x 2 x x 4x x3 令f x 4x x3 由f x 4 3x2 0 得x 当x 0 时 f x 0 f x 单调递增 当x 2 时 f x 0 f x 单调递减 所以当x 时 f x 取得最大值 即当va pbcd最大时 pa 2 设f为a b的中点 连结pf fe 则有efbc pdbc 所以efpd 所以de pf 又a p pb 所以pf a b 故de a b a a d c p f b e 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 我们可以得到以下创新点拨和备考建议 1 2011 浙江高考 下列命题中错误的是 a 如果平面 平面 那么平面 内一定存在直线平行于平面 b 如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 c 如果平面 平面 平面 平面 l 那么l 平面 d 如果平面 平面 那么平面 内所有直线都垂直于平面 解析 选d 如果平面 平面 那么平面 内所有垂直于交线的直线都垂直于平面 与交线不垂直的直线均不与平面 垂直 故d项叙述是错误的 2 2012 钦州模拟 已知 是三个不同的平面 命题 且 是真命题 如果把 中的任意两个换成直线 另一个保持不变 在所得的所有新命题中 真命题有 a 0个 b 1个 c 2个 d 3个 解析 选c 若 换为直线a b 则