三角函数变换及零点问题

三角函数图像变换及零点问题 一、图像变换知识点及经典例题知识点1：平移变换：函数yf(xa)的图象可由yf(x)的图象向_(a0)或向_(a0)或向_(a0)的图象可由yf(x)的图象沿x轴伸长(0a0)的图象可由函数yf(x)的图象沿y轴伸长(_)或缩短(_)为原来的_倍得到(可以结合三角函数中的图象变换加以理解)例1：题型1：考察函数图像平移的法则1(2009北京)为了得到函数ylg的图象，只需把函数ylgx的图象上所有的点（ ）A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度分析：把y=lg变形，可得ylg=lg(x+3)-1，函数图像平移的法则，应选C。题型2：考察函数图像对称变换的法则。例1：函数f(x)x的图象关于()A y轴对称B直线yx对称 C坐标原点对称D直线yx对称 分析：f(-x)=-+x=-()=f(x),f(x)是奇函数，即f(x)的图像关于原点对称。应选C 例2：已知yf(x)的图象如图所示，则yf(1x)的图象为 () 分析：因为f(1-x)=f（-(x-1)）,故y=f(1-x)的图象可以由y=f(x)的图象按照如下变换得到：先将y=f(x)的图象关于y轴翻折，得y=f(-x)的图象，然后将y=f(-x)的图象向右平移一个单位，即得y=f(-x+1)的图象.另解：因为f(x)与f(1-x)的函数图像关于直线x=对称，所以应选A 例3：1(2010重庆)函数f(x)的图象()A关于原点对称 B关于直线yx对称 C关于x轴对称 D关于y轴对称 分析：因为f(x)2x2x，因为f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数所以f(x)图象关于y轴对称应选D题型3：考察函数图像伸缩变换的法则例1：(2012北京海淀二模)为了得到函数ylog2(x1)的图象，可将函数ylog2x的图象上所有的点的（） A纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度D横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度 分析：根据函数图像伸缩变换的法则，首先由y=log2x的图像，纵坐标缩短到原来的，得到ylog2x的函数，再将ylog2x向右平移一个单位即可得到ylog2(x1)的图像。应选A 二、函数零点知识点及经典练习题知识点1：函数零点的定义 (1)对于函数yf(x) (xD)，把使_成立的实数x叫做函数yf(x) (xD)的零点(2)方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_知识点2：函数零点的判定如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数yf(x)在区间_内有零点，即存在c(a，b)，使得_，这个_也就是f(x)0的根我们不妨把这一结论称为零点存在性定理知识点3：二次函数yax2bxc (a0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点_，_无交点零点个数_题型1：函数零点的判断例1：判断函数yln x2x6的零点个数分析：判断函数零点个数最常用的方法是令f(x)0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数yf(x)就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧解方法一设f(x)ln x2x6，yln x和y2x6均为增函数，f(x)也是增函数又f(1)02640，f(x)在(1,3)上存在零点又f(x)为增函数，函数在(1,3)上存在唯一零点方法二在同一坐标系画出yln x与y62x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数yln x2x6只有一个零点 例2：若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是()A多于4个B4个C3个D2个答案B由题意知f(x)是偶函数并且周期为2.由f(x)log3|x|0，得f(x)log3|x|，令yf(x)，ylog3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y轴右边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x0，xR的范围内共4个题型2：利用函数的零点确定参数 例1：已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a，如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，求a的取值范围解若a0，f(x)2x3，显然在1，1上没有零点，所以a0.令48a(3a)8a224a40，解得a.当a时，f(x)0的重根x1,1，当a时，f(x)0的重根x1,1，yf(x)恰有一个零点在1,1上；当f(1)f(1)(a1)(a5)0，即1a5时，yf(x)在1,1上也恰有一个零点当yf(x)在1,1上有两个零点时，则，或，解得a5或a1或a. 例2：若函数f(x)4xa2xa1在(，)上存在零点，求实数a的取值范围分析：看到和出现，可以联想到二次关系，然后根据根的存在性就可以完成该题目，需要注意的是根在什么范围内存在，易错解方法一(换元)设2xt，则函数f(x)4xa2xa1化为g(t)t2ata1 (t(0，)函数f(x)4xa2xa1在(，)上存在零点，等价于方程t2ata10，有正实数根(1)当方程有两个正实根时，a应满足，解得：1a22；(2)当方程有一正根一负根时，只需t1t2a10，即a1；(3)当方程有一根为0时，a1，此时方程的另一根为1.综上可知a22.方法二令g(t)t2ata1 (t(0，)(1)当函数g(t)在(0，)上存在两个零点时，实数a应满足，解得1a22；(2)当函数g(t)在(0，)上存在一个零点，另一个零点在(，0)时，实数a应满足g(0)a10，解得a2c2b，求证：(1)a0且3；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则|x1x2|2c2b，3a0,2b0，b2c2b，3a3a2b2b.a0，30时，a0，f(0)c0且f(1)0，f(1)0，函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点综合得f(x)在(0,2)内至少有一个零点(10分)(3)x1，x2是函数f(x)的两个零点，则x1，x2是方程ax2bxc0的两根