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本科毕业论文本科毕业论文 题目 晶体结构的二维图示法 学院 物理与电子科学学院 班级 08 级物理 1 班 姓名 宋慧娟 指导教师 阎红叶 职称 助 教 完成日期 2012 年 05 月 04 日 晶体结构的二维图示法 摘要 在固体物理学中 我们常常需要绘制许多晶格结构图像 与绘制三维图像相 比 通过绘制晶体晶格结构的二维图像的方法 可以迅速 简单地做出晶格结构图 像 直观 易理解 本文首先介绍了晶体结构类型 并且一一做出其二维图示 突 出展现了二维图示法在日常固体物理作图中的优势 最后利用二维图示法分析了铜 的对称操作 金刚石结构的螺旋轴对称操作 进行了总结 关键字 固体物理 晶格结构 二维 图示法 金刚石结构 目 录 引言 1 1 晶格结构的主要类型 1 1 1 晶格结构的定义 1 1 2 晶格结构的主要类型及其三维图示 2 1 3 晶格结构三维图示法的利弊 4 2 晶格结构的二维图示法 4 2 1 晶格结构的二维图示法的描述 4 2 2 常见晶格结构的二维图示法 5 2 3 晶格结构的二维图示法的优势 7 3 二维图示的应用 7 3 1 分析的单价金属铜的对称操作 8 3 2 解释金刚石晶格结构的螺旋轴 9 4 综述 10 参考文献 11 1 引言 固体物理学涉及的内容在现代科学技术中有着巨大的作用 可以说近七十多年 类社会的空前重大的科技进步离不开固体物理学科领域的发展 比如固体物理学使 人们对固体的认识由表及里 由宏观到微观 由定性到定量 由现象到本质有了质 的飞跃 例如 固体电子态理论 能带论 中对导体 半导体 绝缘体 半金属等 的解释 以锗 硅等半导体材料制成半导体器件带动了集成电路 无线电子技术 计算机技术 自动控制技术空前的革新 研究出适应特殊环境特殊合金 人造金刚 石 以及新的存储技术 光线通信技术等等 因此固体物理学不仅是物理类专业 而且电子学 材料科学类等许多专业都开设了这门课程 1 固体物理学中常常需要绘制许多晶格结构图像 通常的画法是三维的 这样的 图像直观 大方 生动 但是手绘出一个晶格结构的三维图像需要较长的时间 比 较繁琐 很难做到美观的效果 并且对于晶格的对称操作 晶格点阵参数的判断比 较困难 尤其是金刚石结构 通过绘制晶体晶格结构的二维图像的方法 可以迅速 简单的做出晶格结构图像 并且有利于对称操作分析 晶格点阵分析 本文首先介 绍了晶体结构类型 并且一一做出其二维图示 突出了二维图示法在日常固体物理 作图中的优势 最后利用二维图示法分析了金刚石结构的螺旋轴对产操作 以及体 心立方 面心立方 金刚石结构晶格点阵参数 1 晶格结构的主要类型 1 1 晶格结构的定义 固体分为晶体 非晶体 准晶体 晶体的原子 分子 是按一定的规则排列 具有长程有序性 最显著的特点是晶面有规则 对称的配置 一个理想完整的晶面 相应的晶面的面积相等 组成晶体的原子 也包括原子实或离子 在空间中作周期性排列形成的一种格 子 这种由具体原子而非抽象格点排成的格子就称作晶体格子 简称晶格 晶格结 构 又称晶体结构 是原子晶体中原子排列的具体形式 原子的大小 间距可以不 同 可以具有相同的晶体结构 如和 和 CuAgGeSi 晶格分为简单晶格与复试晶格两类 在简单晶格中 每个原胞中仅含有一个 2 原子 此时晶格就是布拉菲格子 在复试晶格中 每个原胞含有一个以上的原子 此时晶格与布拉菲格子是不相同的 2 1 2 晶格结构的主要类型及其三维图示 晶体结构主要有 简单立方晶格 体心立方晶格 面心立方晶格 六角密排晶 格 金刚石晶格 简单立方晶格 如图1 在边长为的立方体的每个顶角处都有一个原子占据原a 胞的三个基失等长 方向互相垂直 可以表示为 1 a 2 a 3 a 1 kaa j aa i aa 3 2 1 a 3 a 2 a 1 a i j k a i j k 1 a 2 a 3 a 体心立方晶格 如图2 也是一个立方体 立方体的顶角与体心均为同种原子做 占据 基失也是三个沿立方体边的矢量 原胞的基失可以表示为 2 2 2 2 2 3 2 1 kji a a kji a a kji a a 面心立方晶格 如图3 仍然可以用边长为的立方体表示 立方体的顶角 每a 个立方体面的中心也为同种的原子占据 但是在立方体的体心出没有占据原子 原 胞的基失可以表示为 图 1 简单立方晶体图 2 体心立方晶体 3 2 2 2 2 3 2 1 ji a a ki a a kj a a a 3 a 2 a 1 a i j k a c 六角密排结构 如图4 和面心立方晶格一样 均是原子在晶体中的平衡位置 排列采取最紧密的排列方式 相对应于结合能最低 一个原子周围最紧邻原子数为 12 金刚石晶格结构 如图5 金刚石是由碳原子构成 是在一个面心立方体中加上 位于四个空间对角线的的处 一个碳原子和其他的四个碳原子构成一个正四面41 体 如图6 金刚石晶格结构就是有两个含碳原子的面心立方晶格穿套而成 图 3 面心立方晶体 图 4 体心立方晶体 图 5 金刚石晶格结构图 6 碳原子构成的正四面体 4 闪锌矿结构 如图7 和金刚石具有类似的结构 其中硫和锌分别构成面 ZnS 心立方晶体结构成子晶格 沿着体对角线平移体对角线的穿套而成 41 原子S 原子Zn 1 3 晶格结构三维图示法的利弊 在以上我们详细的了解晶体的主要晶格结构类型 同时也认识了晶体的三维图 示法 三维图示给人们很强的立体感 图像直观 大方 美观 但是在手绘过程较 为复杂 对操作者要求较高的图画水准 耗时较长 在解释一些问题 比如晶体的对称操作 分析布里渊区边界点 对于立体思考 能力较弱的思考者会产生难度 很难再短时间内迅速掌握固体物理基础知识 同时 由于在平面上做出三维图示 空间透视的缘故 很容易使思考者难以判 断出某点的坐标 以及该点会出现的物理 光学 介电常数的具体情况 进而影响 科研进度 在这里 我想到了用二维图示画法来解决以上出现的方法 通过这种二维图示 画法 为固体学习者提供一个简洁 方便作图方法 达到学习的目的 2 晶格结构的二维图示法 2 1 晶格结构的二维图示法的描述 晶格结构的二维图示 从字面意思就可以理解到了 是在平面上做出晶格结构 的二维图像 也就是说 在纸面上做出晶格三维图像的顶面 正面 侧面 以及垂 直于体对角线的平面 如果需要的话 的透视图 并且在有原子存在的格点地方一 定要标记原子的坐标 换而言之 就是加有原子格点的坐标的晶格结构的平视图 图 7 金刚石晶格结构 5 俯视图 测试图 注意 1 如果顶面 正面 侧面的图像一样 可以省略重复的图像 2 如果出现复试晶格 需用不同的图样代表不同的原子格点 并在图样的右 上角加有注释 3 该方法尤其适应于晶体的对称操作分析和手绘晶体的晶格结构 4 图中标有的数字代表了该点处原子的垂直坐标 2 2 常见晶格结构的二维图示法 简单晶格的二维图示 如图8 氯化钠为简单立方晶格 如图9 0 00 0 0 00 0 图8 简单立方晶格 0 0 0 00 0 0 0 原子Na 原子lC 图9 氯化钠的简单立方晶格 体心立方晶格的二维图示 如图10 6 0 00 0 0 00 0 21 面心立方晶格的二维图示 如图11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 21 2121 21 六角密排晶格结构的二维图示 如图12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2121 21 0 0 0 0 0 0 0 0 2323 2323 6363 63 a c 金刚石晶格结构的二维图示 如图13 图 12 六角密排晶格结 构 图 10 体心立方晶格结 构 图 11 面心立方晶格结 构 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 21 2121 21 41 41 43 43 图13 金刚石晶格结构 闪锌矿结构的图示 如图14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 21 2121 21 41 41 43 43 原子S 原子Zn 图14 闪锌矿的晶体结构 2 3 晶格结构的二维图示法的优势 经沟通以上我们一一陈述了常见的晶体晶格结构 通过二维图示和三维图示的 对比 明显对比出二维图示法 具有简单 清晰 迅速定位格点坐标位置等等优势 3 二维图示的应用 晶格是具有对称性的单元 宏观晶体是晶格在三维空间中重复排列而成的 在 外形上也具有一定的对称性 历史上 人们很早就注意到了一个生长发育正常的 4 晶体在外形上的对称性 早年 人们通过晶体外形上的天然对称来推测晶体内部质 粒的规则排列 从而奠定了晶体结构学说的基础 而且 晶体内部规则排列还决定 了晶体本身的物理性质的各向异性和对称性 例如介电常数 电导率 热导率 光 8 学性质等 因此 分析晶体所具有的宏观对称性是固体物理的一项基本内容 使用二维图示 法 就可以迅速分析出晶格的对称性 对于晶格的对称性我们这里仅仅做简单的分 析 对于晶格对称性的严格推导需要应用点群和群伦的方法 这里我们不做介绍 读者需要时可以参考有关的群伦的文献和书籍 5 6 3 1 分析的单价金属铜的对称操作 晶体的对称性可以用对称操作描述 比如人有左右对称的外表 换而言之 具 有镜像对称 假想有一直立镜面位于人体的中央 那么人的左一半恰恰就是右面一 半的镜像 这样 我们就可以用镜面反映的对称操作来描述人的对称性 同样我们分析晶体的对称性时 换而言之 就是分析在什么样的对称操作作用 下 晶体外边还能维持不变 在对称操作过程中 晶格会随晶体一起变化 所以 晶格在对称操作过程中必须要保持不变性 故研究晶体的对称性 也就是研究分析 晶格的对称性 常见的对称操作主要有 中心反演 度旋转反演轴 晶面对称 n 不动 螺旋轴 滑移反映面 铜是单价金属材料 其密度为 原子量为64 铜是面心立方Cu 3 8000mkg 7 晶格 属于立方体晶系 其二维图示表示如图15 16 所示 图15为面心立方晶格 的正面图 测试图 俯视图二维图示 图16为垂直于体对角线的平面的二维图示 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 21 2121 21 0 00 0 0 00 0 0 0 0 0 23 图15 正面图 侧视图 俯视图 图16 垂直于体对角线的平面 通过图中 我们很容易看出 1 沿着立方轴转动 也就是绕着图中中心处的标有零的格点的垂直于纸面的 转动 有三个立方轴 共有9个对称操作 2 23 2 沿着面对角线 也就是顺着左上角和右下角的标有零点的格点的线 旋转 于 有六条面对角线 共有6个对称操作 图17中的虚线段 3 绕着体对角线 也就是图16中的标有的格点的垂直于纸面的线 旋32 9 转 有四条对角线 共有8个对称操作 32 34 4 不动的对称操作 以上的每一个对称操作加上中心反演都仍是对称操作 所以 铜 面心立方晶 体 立方晶系 具有的全部对称操作是48个 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 21 2121 21 图17的立方晶系的面对角线 3 2 解释金刚石晶格结构的螺旋轴 如果一个度旋转轴表示绕轴每转角度后 再沿着该轴方向平移 则晶nn 2t 体中的原子和相同的原子重合 那么称此对称操作为度旋转轴 其中 nj n T t 为转轴方向的晶格周期 为某小于的整数 Tjn 对于金刚石结构具有 4 度旋转螺旋轴 相应的 如图 18 取原胞上下底面1 j 心到该面一个棱的垂线的中点 联接到这两中点的直线就是个 4 度螺旋轴 晶体绕 该轴转后 再沿着该轴平移 能自相重合2 41 10 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 21 2121 21 41 41 43 43 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 21 2121 21 41 41 43 43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 21 2121 21 41 41 43 43 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 21 2121 21 41 41 43 43 图像平移 旋转 41 2 图像平移 旋转 41 2 图像平移 旋转 41 2 图像平移 旋转 41 2 图18 金刚石晶格结构的螺旋轴分析过程 4 综述 显然 二维图示法在对称操作分析中具有极佳的优势 并且适应性很好 正如摘 要所说 固体物理学涉及的内容在现代科学技术中有着巨大的作用 是近七十多年类 社会的空前重大的科技进步离不开固体物理学科领域的发展 固体物理学中的常常 需要绘制许多晶格结构图像 通常的画法是三维的 这样的图像直观 大方 生动 但是手绘出一个晶格结构的三维图像需要较长的时间 比较繁琐 很难做到美观的 效果 并且对于晶格的对称操作 晶格点阵参数的判断比较困难 尤其是金刚石结 构 通过绘制晶体晶格结构的二维图像的方法 可以迅速 简单地做出晶格结构图 像 并且有利于对称操作分析 晶格点阵分析 使用晶体结构的二维图示 简洁 方便 是一种研究 观察对称操作的有效途 12 径 希望以后可以有很多人在学习研究过程中使用此方法 参考文献 1 韦丹 固体物理 北京 清华