高中数学（新课导入+课堂探究+课堂训练）1.3.1 单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性课件 新人教A版必修1.ppt

1 3函数的基本性质1 3 1单调性与最大 小 值第1课时函数的单调性 引入1如图为我市某日24小时内的气温变化图 观察这张气温变化图 引入2德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯 对人类的记忆牢固程度进行了有关研究 他经过测试 得到了有趣的数据 数据表明 记忆的数量y是时间间隔t的函数 艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的 艾宾浩斯记忆遗忘曲线 如图 100 思考1 当时间间隔t逐渐增大时 你能看出对应的函数值y有什么变化趋势 通过这个实验 你打算以后如何对待刚学过的知识 思考2 艾宾浩斯记忆遗忘曲线 从左至右是逐渐下降的 对此 我们如何用数学观点进行解释 1 理解单调函数的定义 重点 2 理解增函数 减函数的定义 重点 3 掌握定义法判断函数单调性的步骤 难点 4 会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性 求函数的单调区间 我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化的规律 探究点函数单调性的定义 这种函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的 的性质我们称之为 函数在这个区间上是增函数 函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的 的性质我们称之为 函数在这个区间上是减函数 如何用函数的解析式和数学语言进行描绘 增大而增大 增大而减少 对函数f x x2而言 函数值在 0 上随自变量的增大而增大 可以这样描述 在区间 0 上任取两个实数x1 x2 得到函数值f x1 x12 f x2 x22 当x1 x2时 有 请同学们用数学语言描述函数f x 在 0 上函数值随自变量的增大而减小的情况 f x1 f x2 一般地 设函数f x 的定义域为i 如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值 当时 都有 那么就说函数在区间d上是增函数 函数单调性的相关概念 f x1 f x2 如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值 当时 都有 那么就说函数在区间d上是减函数 如果函数y f x 在区间d上是 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间d叫做y f x 的单调区间 f x1 f x2 增函数或减函数 第一 在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性 即必须是f x1 f x2 而不能是f x1 f x2 或f x1 f x2 对函数单调性的理解 第二 函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的 是局部概念 第三 学习函数的单调性 要注意定义中条件和结论是双向使用的 例1 下图是定义在区间 5 5 上的函数y f x 根据图象说出函数的单调区间 以及在每一个单调区间上 它是增函数还是减函数 解 函数的单调区间有 其中在区间上是减函数 在区间上是增函数 整个上午 8 00 12 00 天气越来越暖 中午时分 12 00 13 00 一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多 暴风雨过后 天气转暖 直到太阳下山 18 00 才又开始转凉 画出这一天8 00 20 00期间气温作为时间函数的一个可能图象 并说出所画函数的单调区间 解 单调增区间是 8 12 13 18 单调减区间是 12 13 18 20 变式练习 作差变形 定号 判断 取值 证明 根据单调性的定义 设v1 v2是定义域 0 上的任意两个实数 且v1 v2 所以 函数v 0 是减函数 也就是说 当体积减小时 压强p将增大 取值 即设x1 x2是该区间内的任意两个值 且x1 x2 作差变形 即作差f x1 f x2 或f x2 f x1 并用因式分解 配方 有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形 定号 确定差f x1 f x2 或f x2 f x1 的符号 当符号不确定时 可进行分类讨论 判断 根据定义得出结论 利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤 提升总结 画出反比例函数f x 的图象 1 这个函数的定义域i是什么 2 它在定义域i上的单调性是怎样的 证明你的结论 探究实践 函数图象如图 思考交流 解析 直线y kx b在k 0时 单调递减 2a 1 0 即a d 2 函数的单调增区间是 3 函数f x x2 2ax 3在 4 上是减函数 则a的取值范围为 4 提示 可利用函数图象求解 1 4 根据下图说出函数的单调区间 以及在每一个单调区间上 函数是增函数还是减函数 解 函数的单调区间是 1 0 0 2 2 4 4 5 在区间 1 0 2 4 上 函数是减函数 在区间 0 2 4 5 上 函数是增函数 5 证明函数在区间上是增函数 证明 任取 且 则 因为 得 所以函数在区间 2 上是增函数 1 函数的单调性定义的内涵与外延 内涵 是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况 外延 一般规律 自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增 自变量的变化与函数值的变化相反时是单调递减 几何特征 在自变量取值区间上 若函数的图象上升 则为增函数 图象下降则为减函数 3 证明函数的单调性的基本步骤是 1 取值 2 作差变形 3 定号 4 判断 2 函数的单调性是函