8第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法.doc

泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称高等数学研究授课对象授课题目第八讲不定积分与定积分的各种计算方法课时数2教学目的通过教学使学生掌握不定积分与定积分的各种计算方法。重点难点1不定积分的概念2不定积分的计算3定积分的计算教学提纲第八讲不定积分与定积分的各种计算方法1.不定积分1.1不定积分的概念原函数；原函数的个数；原函数的存在性；定积分；一个重要的原函数。1.2不定积分的计算(1)裂项积分法；(2)第一换元积分法；(3)第二换元积分法(4)分部积分法2.定积分 (1)基本积分法； (2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数 (3)利用函数的奇偶性化简定积分 (4)一类定积分问题教学过程与内容教学后记第八讲不定积分与定积分的各种计算方法一、不定积分1不定积分的概念原函数：若在区间 上，则称是的一个原函数. 原函数的个数: 若 是 在区间 上的一个原函数, 则对 ， 都是在区间 上的原函数；若 也是在区间 上的原函数，则必有 .可见，若，则的全体原函数所成集合为.原函数的存在性: 连续函数必有原函数. 不定积分：的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。记作一个重要的原函数：若在区间上连续，则是的一个原函数。2不定积分的计算(1)裂项积分法例1：。例2：例3：(2)第一换元积分法有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分，如果凑上一个常数因子2，使成为例4：例5：例6： .(3)第二换元积分法第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下：被积函数包含,处理方法是令;被积函数包含,处理方法是令;被积函数包含,处理方法是令;被积函数包含,处理方法是令;例7：计算【解】令，且从而= =由图2.1知 所以=例8: .(4)分部积分法当积分不好计算,但容易计算时,使用分部积分公式: .常见能使用分部积分法的类型:(1),等,方法是把移到d后面,分部积分的目的是降低x的次数(2),等,方法是把移到d后面,分部几分的目的是化去. 例9:例10:例11: 例12: = ，解得 . 例13: = =,解得 .【点评】以上两例所示的通过分部积分与解方程的方法求解不定积分是一种技巧例14 设函数的一个原函数是求。【解】 【点评】本题主要考察原函数和不定积分的概念以及分部积分法.例15 计算【说明】涉及到的积分一般有两种处理方法.(1)用分部积分法; (2)作变量替换令【解法一】 【点评】:分部积分后,后面的积分计算更加困难.为此我们考虑变量替换法.【解法二】令【点评】变量替换后几分的难度大大降低,是每种教材上都有的积分.2.定积分 定积分的计算主要用牛顿莱布尼兹公式通过不定积分计算.(1)基本积分法例16： 计算【解】 令，则(2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数例17： 计算【解】例18 计算【解】=(3)利用函数的奇偶性化简定积分例19 计算【解】=2+0=2例20 计算【解】=例21 计算【分析】被积函数即不是奇函数，又不是偶函数，无法利用函数的奇偶性化简。但是积分区间是关于原点对称的，可考虑使用化简公式