海文考研数学一模考试卷.doc

海文考研数学一模考试卷参考解答一、填空题（1）【答案】【分析】由通解的形式可知该方程的特征方程的两个特征根，从而得知特征方程为=因此，所求微分方程为 （2）【答案】c【分析1】方程两边分别对求偏导数得第一式乘加上第二式乘b得=因此，【分析2】两边求全微分得=（3）【答案】【分析】用先后的积分顺序，为,=(4)【答案】,其中【分析】=令 则的全体原函数是 【评注】在，连续，它一定存在原函数，因为在无定义，所以我们用不定积分法只是分别求得与上的原函数，我们只要在处将它们连续地拼接起来就得到在o,上的原函数。（5）【答案】-5【分析】A是正交矩阵由于=而 =(1 0 -3)因此，【评注】本题考查矩阵的运算，正交矩阵的概念等，注意区别与，前者是一个数，后者是3阶矩阵（6）【答案】. 【分析】由题设知X的密度函数，Y的条件密度函数=，所以（X，Y）的联合密度函数，=由此可知（X，Y）服从二维正态分布二、选择题（7）【答案】D【分析】(A),(C)均是2阶的。（B）是3阶的用泰勒公式 未确定（D）的阶。由（D）是4阶的。因此应选（D）（8）【答案】B【分析】当或时在（0，1），（3，4）单调下降，当时在（1，3）单调上升。又在（0，2）单调上升在（0，2）是凹的，在（2，4）单调下降在（2，4）是凸的。因此，应选（B）（9）【答案】B【分析】要逐一分析它们是否正确命题是错的。函数图形如图所示则是的拐点且是的极小值点。命题是错的，在极小值点处可以有如是的极小值点。命题是错的，若加条件：是（）连续，则该命题正确；若不连续，则命题不正确，如图所示，在（）有唯一驻点，是的极小值点，但不是在的最小值。命题是正确的，若是在的最大值且存在，则于是当不可能是在的最大值。因此，选（B）（10）【答案】D【分析】这四个级数中有两个是条件收敛的，而另外两个不是条件收敛的。【分析1】级数的一般项取绝对值后是是绝对收敛级数的一般项收敛，发散级数发散因此，只能有与条件收敛应选（D）【分析2】级数是条件收敛的单调下降趋于零发散发散级数条件收敛级数的一般项单调下降趋于零交错级数收敛，但发散，级数 是条件收敛，因此，选（D）【评注】发散熟悉结论 才可知级数条件收敛（11）【答案】D【分析】由是的基础解系，知的基础解系由的3个线性无关的解向量所构成。由，即必是的解，现在（A）中只有2个解向量，向量个数不符合要求应舍去。（B）、（C）、（D）均是3个解向量，那一组是线性无关的呢？在（B）中，若令由于三个向量可以由两个向量线性表出，所以必线性相关，应舍去。对于（C），由行列式而知线性相关，舍去，故应选（D）。【评注】本题考查基础解系的概念及线性无关的判定方法（12）【答案】B【分析】由BC，A（B-C）=0，知齐次方程组有非零解，而有非零解的充分必要条件是。因为当时，但当时，亦可为1，所以是充分而非必要条件。【评注】本题考查若AB=0，则B的列向量是齐次方程组的解，以及有非零解的充分必要条件。（13）【答案】A【分析】直接通过计算协方差来判断已知X和Y独立，故cov(X,Y)=0,cov(X,X+Y)=cov(X,X)+cov(X,Y)=DX0.所以X与X+Y一定相关，选择（A）。又由于:故选项（C）、（D）有时成立，有时不成立。（14）【答案】D【分析】这是一道概念性、理论性选择题，应用已知结论即可确定正确选项。事实上，由题设知， 相互独立，且由此可知选择（D）三、解答题（15）【分析与求解】（）= ()因为常数=（半径为1的圆的面积）=16【分析与求解】由复合函数求导法，建立对的偏导数与对的导数的关系，把方程（*）转化为的常微分方程，然后求出。是与的复合函数将它们相加得于是方程（*）变成 令，降价得 这是可分离变量的方程，分离变量并积分得解出为常数对 再积分得 （） ()或写成为常数及 （17）【分析与求解】（）先求幂级数的收敛半径，=收敛半径。再对幂级数逐项求导求得现按所要证明的等式的提示，将此级数分解成= （）从等式右端得左端即求和函数y(x),已知，由题（），求y(x)即求微分方程的初值问题这是一阶线性方程，标准化后是两边乘得积分得即 （），则由 由 （18）【分析与证明】即证明函数在存在零点在（）存在零点为了对用罗尔定理，在内要找两点使得。由已知条件知， 存在 使得，在上可导，由罗尔定理，即结论成立。（19）【分析与求解1】用斯托克斯公式把平面被柱面所截部分记为，其边界L，按右手法则，取上侧。由斯托克斯公式 =投影到平面上求曲面积分，（），于是代公式得【分析与求解2】投影到平面上。记L到平面上的投影为，也取逆时针方向，围成的区域为用 代入得 = =【分析与求解3】写出L的参数方程后套公式直接计算L为于是L的参数方程为 ,于是直接计算=其中 （20）【解】（1）对于实对称矩阵A，若是矩阵A的重特征值，则矩阵A属于特征值的特征向量有且只有个是线性无关的，因此必线性相关，那么故（2）由秩r（A）=2，知，又，所以A的另一个特征值是。由题设为A的属于特征值6的线性无关的特征向量，设A属于特征值O的特征向量为,于是 即解得此方程组的基础解系为，那么矩阵A属于特征值的全部特征向量为 （）（3）设,对（）作初等行变换，有解出 故因为 所以 =【评注】本题考查实对称矩阵特征值、特性向量的性质，如果是矩阵A的重特征值，那么至多个线无关的特征向量，而作为实对称矩阵，则重特征值必有个线性无关的特征向量，从而保证本题中一定线性相关，可求出；要掌握实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交这一性质。本题亦可由，先后求出矩阵A，然后利用AA=而求出。其中再来计算。（21）【证明】（1）因为线性无关，于是有从而 即（2）设 （*）因为与正交，即 用分别左乘（*）得 （* *）由（1），知方程组（* *）的系数行列式不为O，从而据克莱姆法则，得=0，同理知，所以线性无关。（22）【分析与解答】（1）依题意都是离散型随机变量，。并且 = 由于，故 ， ，根据边缘分布与联合分布的关系，即可求得X与Z的联合分布X0123-11/83/8001/21003/81/81/21/83/83/81/8（2）由于又 所以，的相关系数【评注】如果将样本空间（一共有个样点）以及与的取值情况写出，便可直接求得与的联合分布。样本点正正正 正正反 正反正 反正正 正反反 反正反 反反正 反反反X取值3 2 2 2 1 1 1 0Z取值1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 由此即可求得与的联合分布。， ， ， 。（23）【分析与解答】（1）依题意的密度函数