高考数学总复习 第七章 第十一节轨迹方程的求法课件 理.pptVIP

第十一节轨迹方程的求法 第七章平面解析几何 考纲要求 1 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 2 能根据所给条件求出点的轨迹方程 课前自修 知识梳理 一 曲线的方程 和 方程的曲线 的概念在直角坐标系中 如果某曲线c 看作满足某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下关系 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 二 求曲线的 轨迹 方程求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程 其实质就是利用题设中的几何条件 用 坐标化 将其转化为寻求变量间的关系 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义 性质等基础知识的掌握外 还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力 它一般分为两类基本题型 一是已知轨迹类型求其方程 常用待定系数法 如求直线及圆的方程就是典型例题 二是未知轨迹类型 此时除了用代入法 交轨法 参数法等求轨迹的方法外 通常设法利用已知轨迹的定义解题 化归为求已知轨迹类型的轨迹方程 因此在求动点轨迹方程的过程中 一是寻找与动点坐暧泄氐姆匠 等量关系 侧重于数的运算 一是寻找与动点有关的几何条件 侧重于形 重视图形几何性质的运用 1 用直接法求曲线 轨迹 方程的基本步骤 建系设点 建立适当的直角坐标系 设曲线上任一点坐标m x y 列几何等式 写出适合条件的点的集合p m p m 关键是根据条件列出适合条件的等式 化为代数等式 用坐标代换几何等式 列出方程 化简 把方程f x y 0化成最简形式 证明 证明化简后的方程就是所求曲线的方程 除个别情况外 化简过程都是同解变形 所以步骤 可以省略不写 如有特殊情况 可适当加以说明 步骤 也可省略 2 求曲线轨迹方程应注意的问题 要注意一些隐含条件 若轨迹是曲线的一部分 应对方程注明x的取值范围 或同时注明x y的取值范围 保证轨迹的纯粹性 若轨迹有不同情况 应分别讨论 以保证它的完整性 曲线的轨迹和曲线方程是有区别的 求曲线的轨迹不仅要求出方程 而且要指明曲线的位置 类型 基础自测 1 2012 合肥市月考 已知点p是直线2x y 3 0上的一个动点 定点m 1 2 q是线段pm延长线上的一点 且 pm mq 则点q的轨迹方程是 a 2x y 1 0b 2x y 5 0c 2x y 1 0d 2x y 5 0 解析 由题意知m是pq是中点 设q x y 由中点公式可得p 2 x 4 y 代入已知直线方程2x y 3 0得2x y 5 0 故选d 答案 d 2 2012 泉州市质检 方程x2 xy x的曲线是 a 一个点b 一条直线c 两条直线d 一个点和一条直线 解析 方程变为x x y 1 0 x 0或x y 1 0 表示两条直线 故选c 答案 c 3 已知椭圆 1的左 右两个焦点分别是f1 f2 p是这个椭圆上的一个动点 延长f1p到q 使得 pq f2p 则q的轨迹方程是 解析 提示 用定义法求轨迹方程 答案 x 1 2 y2 16 考点探究 考点一 用直接法求点的轨迹 例1 已知直角坐标系中 点q 2 0 圆c的方程为x2 y2 1 动点m到圆c的切线长与的比等于常数l l 0 求动点m的轨迹 点评 1 求轨迹方程一般只要求出方程即可 求轨迹却不仅要求出方程 而且要说明轨迹是什么 2 当轨迹方程中含有参数时 应对参数进行分类讨论 变式探究 1 2012 襄阳市调研 平面内动点p x y 与a 2 0 b 2 0 两点连线的斜率之积为 则动点p的轨迹方程为 a y2 1b y2 1c y2 1 x 2 d y2 1 x 2 考点二 用定义法求点的轨迹方程 例2 如图 在平面直角坐标系中 n为圆a x 1 2 y2 16上的一动点 点b 1 0 点m是bn的中点 点p在线段an上 且 1 求动点p的轨迹方程 2 试判断以pb为直径的圆与圆x2 y2 4的位置关系 并说明理由 点评 本题考查求曲线方程的基本方法 定义法及两圆间的位置关系 变式探究 2 2012 厦门市模拟 已知点f 直线l x 点b是l上的动点 若过b垂直于y轴的直线与线段bf的垂直平分线交于点m 则点m的轨迹是 a 双曲线b 椭圆c 圆d 抛物线 解析 已知 mf mb 由抛物线定义知 点m的轨迹是以f为焦点 l为准线的抛物线 故选d 答案 d 考点三 用相关点代入法求轨迹方程 例3 如图所示 已知p 4 0 是圆x2 y2 36内的一点 a b是圆上两动点 且满足 apb 90 求矩形apbq的顶点q的轨迹方程 思路点拨 本题主要考查利用 相关点代入法 求曲线的轨迹方程 利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段ab中点的轨迹方程 解析 设ab的中点为r 坐标为 x y 则在rt abp中 ar pr 又因为r是弦ab的中点 依垂径定理 在rt oar中 ar 2 ao 2 or 2 36 x2 y2 又 ar pr 所以有 x 4 2 y2 36 x2 y2 即x2 y2 4x 10 0 因此点r在一个圆上 而当r在此圆上运动时 点q即在所求的轨迹上运动 设q x y r x1 y1 因为r是pq的中点 整理得x2 y2 56 这就是所求的轨迹方程 点评 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题 可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程 再以此点作为主动点 所求的轨迹上的点为相关点 求得轨迹方程 变式探究 3 设p为圆x2 y2 1上的动点 过p作x轴的垂线 垂足为q 若 其中l为正常数 则点m的轨迹为 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线 考点四 用待定系数法求点的轨迹方程 例4 2011 佛山市一模 已知椭圆c 1 a b 0 的离心率为e 以原点为圆心 椭圆短半轴长为半径的圆与直线x y 2 0相切 a b分别是椭圆的左 右两个顶点 p为椭圆c上的动点 1 求椭圆的标准方程 2 若p与a b均不重合 设直线pa与pb的斜率分别为k1 k2 证明 k1 k2为定值 3 m为过p且垂直于x轴的直线上的点 若 l 求点m的轨迹方程 并说明轨迹是什么曲线 变式探究 考点五 用交轨法求点的轨迹方程 例5 2012 温州市适应性测试 如图 在矩形abcd中 ab 8 bc 4 e f g h分别为四边的中点 且都在坐标轴上 设 l 0 1 求直线ep与gq的交点m的轨迹 的方程 2 过圆x2 y2 r2 0 r 2 上一点n作圆的切线与轨迹 交于s t两点 若 r2 0 试求出r的值 点评 选择适当的参数表示两动曲线的方程 将两动曲线方程中的参数消去 得到不含参数的方程 即为两动曲线交点的轨迹方程 这种求轨迹方程的方法叫做交轨法 5 求过点m 1 0 所作椭圆 y2 1的弦的中点的轨迹方程 变式探究 1 求轨迹方程的步骤 建系 设点 列式 化简 确定点的范围 2 求轨迹方程的常用方法 1 直接法 直接利用条件建立x y之间的关系f x y 0 2 待定系数法 已知所求曲线的类型 求曲线方程 先根据条件设出所求曲线的方程 再由条件确定其待定系数 3 定义法 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线 再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程 4 相关点代入法 代入转移法 动点p x y 依赖于另一动点q x0 y0 的变化而变化 并且q x0 y0 又在某已知曲线上 则可先用x y的代数式表示x0 y0 再将x0 y0代入已知曲线得要求的轨迹方程 5 参数法 当动点p x y 坐标之间的关系不易直接找到 也没有相关动点可用时 可考虑将x y均用一中间变量 参数 表示 得参数方程 再消去参数得普通方程 3 值得注意的几点 1 如果问题中涉及平面向量知识 那么应从已知向量的特点出发 考虑是选择向量的几何形式进行转化 还是选择向量的代数形式进行转化 2 曲线与曲线方程 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念 寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的 完备性与纯粹性 的影响 3 在与圆锥曲线相关的综合题中 常借助于 平面几何性质 数形结合 方程与函数性质 化解析几何问题为代数问题 分类讨论思想 化整为零分化处理 求值构造等式 求变量范围构造不等关系 等 4 如果在一条直线上出现 三个或三个以上的点 那么可选择应用 斜率或向量 为桥梁进行转化 感悟高考 品味高考 1 曲线c是平面内与两个定点f1 1 0 和f2 1 0 的距离的积等于常数a2 a 1 的点的轨迹 给出下列三个结论 曲线c过坐标原点 曲线c关于坐标原点对称 若点p在曲线c上 则 f1pf2的面积不大于a2 其中 所有正确结论的序号是 解析 曲线c经过原点 这点不难验证是错误的 如果经过原点 那么a 1 与条件不符 曲线c关于原点对称 这点显然正确 如果在某点处 pf1 pf2 a2 关于原点的对称点处也一定符合 pf1 pf2 a2 三角形的面积s f1f2p 因为s f1f2p pf1 pf2 sin f1pf2 pf1 pf2 所以 正确 答案 2 2012 辽宁卷 如图 椭圆c0 1 a b 0 a b为常数 动圆c1 x2 y2 t b t1 a 点a1 a2分别为c0的左 右顶点 c1与c0相交于a b c d四点 1 求直线aa1与直线a2b交点m的轨迹方程 2 设动圆c2 x2 y2 t与c