极限求法总结.doc

极限的求法 1 1 利用极限的定义求极限 利用极限的定义求极限 2 2 直接代入法求极限 直接代入法求极限 3 3 利用函数的连续性求极限 利用函数的连续性求极限 4 4 利用单调有界原理求极限 利用单调有界原理求极限 5 5 利用极限的四则运算性质求极限 利用极限的四则运算性质求极限 6 6 利用无穷小的性质求极限利用无穷小的性质求极限 7 7 无穷小量分出法求极限 无穷小量分出法求极限 8 8 消去零因子法求极限 消去零因子法求极限 9 9 利用拆项法技巧求极限利用拆项法技巧求极限 1010 换元法求极限 换元法求极限 1111 利用夹逼准则求极限 利用夹逼准则求极限 3 1212 利用中值定理求极限 利用中值定理求极限 1313 利用罗必塔法则求极限利用罗必塔法则求极限 1414 利用定积分求和式的极限 利用定积分求和式的极限 1515 利用泰勒展开式求极限 利用泰勒展开式求极限 1616 分段函数的极限 分段函数的极限 1 1 利用极限的定义求极限 利用极限的定义求极限 用定义法证明极限 必须有一先决条件 即事先得知道极限的猜测值A 这 种情况一般较困难推测出 只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限 值 然后再去用定义法去证明 在这个过程中 放缩法和含绝对值的不等式总 是密切相连的 例 的 定义是指 0 0 0 x 0 lim xx f xA 0 x f x A 为了求 可先对的邻域半径适当限制 如然后适 0 x 0 x 当放大 f x A x 必然保证 x 为无穷小 此时往往要用含绝对值 的不等式 x a x a x a a 1 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 域 x a x a a x a 1 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 从 x 2 求出 2后 取 min 1 2 当0 x 时 就有 f x A 0 x 例 设lim n n xa 则有 12 lim n n xxx a n 证明 因为lim n n xa 对 11 0 NN 当 1 nN 时 2 n x a 于是当 1 nN 时 1212 nn xxxxxxna a nn 0 其中 1 12N Axaxax 是一个定数 再由 2 A n 解得 2A n 故取 1 2 max A NN 12 22 n xxx nN n 当时 2 2 直接代入法求极限直接代入法求极限 适用于分子 分母的极限不同时为零或不同时为 例 1 求 分析 由于 所以采用直接代入法 解 原式 3 3 利用函数的连续性求极限 利用函数的连续性求极限 定理 一切连续函数在其定义区间内的点处都连续 即如果是函数的 2 0 x xf 定义区间内的一点 则有 lim 0 0 xfxf xx 一切初等函数在其定义域内都是连续的 如果是初等函数 是其定 f x 0 x 义域内一点 则求极限时 可把代入中计算出函数值 即 0 lim xx f x 0 x f x 0 lim xx f x 0 f x 对于连续函数的复合函数有这样的定理 若在连续且 ux 0 x 00 ux 在处连续 则复合函数在处也连续 从而 yf u 0 u yfx 0 x 或 lim o xxo fxf x limlim xxoxxo fxfx 例 2 limlnsin x x 解 复合函数在处是连续的 即有 2 x 2 limlnsin lnsinln10 2 x x 4 4 利用单调有界原理求极限 利用单调有界原理求极限 这种方法是利用定理 单调有界数列必有极限 先判断极限存在 进而求极限 例 求lim n a aa 解 令 则 即 n xaaa 1nn xax aaa 1nn xx 所以数列单调递增 由单调有界定理知 有限 并设为 n xlim n a aa A 即 所以 1 limlim nn nn xax 114 2 a Aa A A 114 lim 2 n a a aa 5 5 利用极限的四则运算性质求极限 利用极限的四则运算性质求极限 定理 若极限和都存在 则函数 当 1 0 lim xx f x 0 lim xx g x xf xg xgxf 时也存在且 0 xx 000 lim lim lim xxxxxx f xg xf xg x 000 lim lim lim xxxxxx f xg xf xg x 又若 c0 则在时也存在 且有 xg xf 0 xx 0 0 0 lim lim lim xx xx xx f x f x g xg x 利用该种方法求极限方法简单 但要注意条件是每项或每个因子极限存在 一般情况所给的变量都不满足这个条件 例如出现 等情况 0 0 都不能直接运用四则运算法则 必须对变量进行变形 变形时经常用到因式分 解 有理化的运算以及三角函数的有关公式 总的说来 就是函数的和 差 积 商的极限等于函数极限的和 差 积 商 例 求 3 1 31 lim 11 x xx 解 由于当时 与的极限都不存在 故不能利用 极限的和等 x1 3 3 1x 1 1x 于和的极限 这一法则 先可进行化简 这样得到的新函数当 2 3322 313 1 1 2 2 111 1 1 1 xxxxx xxxxxxxx 时 分子分母都有极限且分母的极限不为零 可用商的极限法则 即1x 32 11 31 2 lim lim 1 11 1 xx x xxxx 例 2 求1 1 lim 2 x x x 解1 1 lim 2 x x x 1 lim 1 lim 2 2 x x x x 3 1 6 6 利用无穷小的性质求极限利用无穷小的性质求极限 我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量 有界变量乘无穷小是 无穷小 对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得 只能用这种方法来求 例 求 2 1 4 7 lim 32 x x xx 解 当时 分母的极限为零 而分子的极限不为零 可先求处所给函数倒1x 数的极限 故 2 1 32 lim 0 4 7 x xx x 2 1 4 7 lim 32 x x xx 例 5 求极限 分析 因为 不存在 不能直接使用运算法则 故必须先将函数进 行恒等变形 解 原式 恒等变形 因为 当 时 即 是当 时的无穷小 而 1 即 是有界函数 由无穷小的性质 有界函数乘无穷小仍是无 穷小 得 0 7 7 无穷小量分出法求极限 无穷小量分出法求极限 适用于分子 分母同时趋于 即 型未定式 例 3 分析 所给函数中 分子 分母当 时的极限都不存在 所以不能直 接应用法则 注意到当 时 分子 分母同时趋于 首先将函数进行初 等变形 即分子 分母同除 的最高次幂 可将无穷小量分出来 然后再根据 运算法则即可求出极限 为什么所给函数中 当 时 分子 分母同时趋于 呢 以当 说明 因为 但是 趋于 的 速度要比 趋于 的速度快 所以 不要认为 仍是 因为 有正负之分 解 原式 分子 分母同除 运算法则 当 时 都趋于 无穷大的倒数是无穷小 8 8 消去零因子法求极限 消去零因子法求极限 适用于分子 分母的极限同时为 0 即 型未定式 例 4 分析 所给两个函数中 分子 分母的极限均是 0 不能直接使用法则四 故 采用消去零因子法 解 原式 因式分解 约分消去零因子 应用法则 9 9 利用拆项法技巧求极限利用拆项法技巧求极限 例6 12 12 1 5 3 1 3 1 1 lim nn n 分析 由于 12 12 1 nn 12 1 12 1 2 1 nn 原式 2 1 12 1 1 2 1 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 2 1 lim lim nnn n n 1010 换元法求极限 换元法求极限 当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时 可采用换元的方法加以变 形 使之简化易求 例 求 1 1 lim ln x x x xx 解 令 则1 x tx lnln 1 xxt 100 11 limlimlim1 ln 1 lnln 1 x xtt xt t xxt t 例 7 求极限 分析 当 时 分子 分母都趋于 不能直接应用法则 注意到 故可作变量替换 解 原式 令 引进新的变量 将原来的关于 的 极限转化为 的极限 型 最高次幂在分母上 1111 利用夹逼准则求极限 利用夹逼准则求极限 3 已知为三个数列 且满足 nnn zyx 1 3 2 1 nzxy nnn 2 ay n n limaz n n lim 则极限一定存在 且极限值也是 即 利用夹逼准则求极 n n xlimaax n n lim 限关键在于从的表达式中 通常通过放大或缩小的方法找出两个同极限值的 n x 数列使得 nnn yxz 例 求的极限 222 111 12 n x nnnn n x 解 因为单调递减 所以存在最大项和最小项 n x 2222 111 n n x nnnnnnnn 2222 111 1111 n n x nnnn 则 22 1 n nn x nnn 又因为 则 22 limlim 1 nn nn nnn lim1 n x x 1212 利用中值定理求极限 利用中值定理求极限 1 微分中值定理 若函数 满足 在连续 在 a b 可导 1 f x a b 则在 a b 内至少存在一点 使得 f bf a f ba 例 求 3 0 sin sin sin lim x xx x 解 sin sin sin sin cos sin xxxxxxx 01 3 0 sin sin sin lim x xx x 3 0 sin cos sin lim x xxxxx x 3 0 cos1 cos 3 lim x x x 0 sin 6 lim x x x 1 6 2 积分中值定理 设函数在闭区间上连续 在上不 1 f x a b g x a b 变号且可积 则在上至少有一点使得 a b bb aa f x g xfg x dxab 例 求 4 0 sin lim n n xdx 解 4 0 sin lim n n xdx sin 0 4 lim n n x 0 4 sin 4lim n n 0 1313 利用罗必塔法则求极限利用罗必塔法则求极限 定理 假设当自变量 x 趋近于某一定值 或无穷大 时 函数和满 4 xf xg 足 1 和的极限都是 0 或都是无穷大 xf xg 2 和都可导 且的导数不为 0 xf xg xg 3 存在 或是无穷大 lim xg xf 则极限也一定存在 且等于 即 lim xg xf lim xg xf lim xg xf lim xg xf 洛必达法则只能对型才可直接使用 其他待定型必须先化成这两种 0 0 或 类型之一 然后再应用洛必达法则 洛必达法则只说明当等于 A 时 lim fx g x 那么也存在且等于 A 如果不存在时 并不能断定 lim f x g x lim fx g x 也不存在 只是这是不能用洛必达法则 而须用其他方法讨论 lim f x g x lim f x g x 例 求 0 lnsin lim lnsin x mx nx 解 由知 00 limlnsinlimlnsin xx mxnx 所以上述极限是待定型 000 lnsincossinsin limlimlim1 lnsincossinsin xxx mxmmxnxmnx nxnnxmxnmx 1414 利用定积分求和式的极限 利用定积分求和式的极限 利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数 把所求极限的 f x 和式表示成在某区间上的待定分法 一般是等分 的积分和式的极限 f x a b 5 例 求 222222 1 12 1 lim n nnn nnnnn 解 由于 222222 1 12 1 nnn nnnnn 222 1111 1 12 11 1 1 1 n n nnn 可取函数 区间为 上述和式恰好是 2 1 1 f x x 0 1 2 1 1 f x x 在上等分的积分和 0 1n 所以 222222 1 12 1 lim n nnn nnnnn 222 1111 1 12 11 1 1 1 lim n n n nnn 1 2 0 1 1 dx x 4 1515 利用泰勒展开式求极限 利用泰勒展开式求极限 泰勒展开式 若在 x 0 点有直到 n 1 阶连续导数 那么 6 f x 2 0 0 0 0 2 n n n ff f xffxxxR x n 其中 其中 1 1 1 n n n f R xx n 0 例 2 2 4 0 cos lim