用解析法进行机构的运动分析

3 3用解析法进行机构的运动分析 用解析法作平面机构的运动分析的关键是建立机构位置矢量封闭方程式 随着计算机的普及 解析法得到了越来越广泛的采用 常用的解析法有 矢量方程解析法 矩阵法 复数矢量法 杆组法 一 复数矢量法 复数矢量法是先写出机构的封闭矢量方程式 然后将它对时间求一次和二次导数即得速度和加速度矢量方程式 最后用复数矢量运算法求出所需的运动参数 缺点 对每一个机构都要列具体方程 对于多杆机构用起来很复杂 有时甚至方程的解解不出来 所以对复杂机构 我们多采用杆组法 机构中的杆可用矢量来表示 而矢量又可用复数表示 r r cos isin 欧拉公式 对上式求导 可用来速度分析 r i 其中 为 对于定长矢量 为0 对于变长矢量 表示相对移动速度 对上式再求导 可用来加速度分析 r2 r i 2 i 物理意义 r 2 向心 r 切向 ar 相对 2 V 哥氏加速度ak 下面以图示的铰链四杆机构为例来详细推导位移 速度 加速度方程 已知 杆长L1 L2 L3 L4 1 1 求 2 3 解 建立如图所示直角坐标系 并将 以 分别表示各杆的向量 则向量方程式为 用复数表示为 按欧拉公式展开 cos 1 isin 1 cos 2 isin 2 cos 3 isin 3 各杆以矢量形式表示出来 为方便起见 取x轴与机架重合且L4的方向沿x轴正向 分离虚 实部 cos 1 cos 2 cos 3 sin 1 sin 2 sin 3 令a cos 1 b sin 1 则 cos 2 cos 3 a sin 2 sin 3 b 1 2 1 2 2 2得 2 cos 3 a 2 sin 3 b 2 整理得方程 Asin 3 Bcos 3 C 0 3 cos 1 isin 1 cos 2 isin 2 cos 3 isin 3 其中 A 2b B 2a C 2 2 2 2 2cos 1 令 t tg 则 代入 3 式 整理得 C B t2 2At B C 0 t1 2 3 2arctgt1 2 2arctg 同理可求 2 Asin 3 Bcos 3 C 0 3 cos 3 1 t2 1 t2 sin 3 2t 1 t2 说明 1 取决于机构的初始安装模式 号适用于图示机构ABCD位置的安装方案 号适用于机构ABC D位置的安装方案 2 31 32 取决于从动件运动的连续性 若 31 3 32 3 3为前一个位置计算出来的值 则取当前的 3 31 否则取 3 32 3 若A2 B2 C2 0 如 1 120 代入时 即没有 3 说明机构不能运动到此位置 可用来判断机构的可动范围 3 2arctgt1 2 2arctg 速度分析 对 式求导 i i i 欧拉公式展开 i cos 1 isin 1 i cos 2 isin 2 i cos 3 isin 3 分离虚 实部 sin 2 sin 3 sin 1 cos 2 cos 3 cos 1 解得 加速度分析 对 式再求导 可解得 通过上述对四杆机构进行运动分析的求解可见 用解析法作机构运动分析的关键是位置方程的建立和求解 至于速度和加速度分析只不过是其位置方程对时间t求一次 二次导数 二 杆组法 一 基本思路 由机构组成原理可知 任何平面机构都可以分解为原动件 机架和若干个杆组 因此 我们只要分别对原动件和常见的基本杆组进行运动分析并编成相应的子程序 那么在对机构进行运动分析时 就可以根据机构组成情况的不同 依次调用这些子程序 从而完成对整个机构的运动分析 这就是杆组法的基本思路 杆组法的主要特点 不要针对每一个具体的机构列方程 而是对组成机构的杆组列方程 杆组的类型是有限的 可先编好子程序 所以此法具有较大的通用性和适用性 且简便 但采用此法的前提条件是要利用计算机 二 杆组法运动分析的数学模型 1 构件 或原动件 的运动分析 同一构件上点的运动分析 已知该构件上一点的运动参数 位置 速度 加速度 构件的角位置 角速度 角加速度 以及已知点到所求点的距离 求同一构件上任意点的位置 速度 加速度 如图b 1所示的构件AB 已知 运动副A的 xA yA 和构件AB的 及AB的长度Li 求B点的 xB yB 图b 1 这种运动分析常用于求解原动件 级机构 连杆和摇杆上点的运动 图b 1 1 位置分析 投影 xB xA LicosyB yA Lisin 2 速度 加速度分析 上式对t求导 得 Lisin Licos 对时间t再求导 得 若A为固定转动副 即xA yA为常数 则 为0 此时构件AB和机架组成 级机构 即AB为原动件 2 杆组的运动分析 在生产实际中 应用最多的是 级机构 级机构应用较少 在此只讨论 级机构的运动分析问题 级机构是 级机构 级杆组组成的 级杆组只有5种基本类型 下面分别对各种杆组进行分析 1 RRR 级杆组 由2个外转动副 1个内转动副和2个构件组成 如图b 2所示 已知杆长Li Lj 两个外运动副B D的位置 xB yB xD yD 速度 和加速度 求 内运动副C的位置 xC yC 速度 加速度 以及两杆的角位置 角速度 角加速度 图b 2 位置方程 投影 xC xB Licos xD Ljcos yC yB Lisin yD Ljsin 解得 注意 有两解 根号前的 号与初始安装方式有关 B C D三副顺时针排列取 逆时针排列取 图b 2 速度方程 对 式求导 得 则C点的速度 Lisin Licos 加速度方程 对 式两次求导 得 则C点的加速度 Lisin 2Licos Licos 2Lisin 2 RRP 级杆组 由1个外转动副 1个内转动副 1个外移动副和2个构件组成 如图b 3 已知 Li Lj Lj杆垂直导路 外转动副B的参数 xB yB 滑块导路方向角和计算位移s时参考点K的位置 xK yK 若导路运动 如导杆 还必须给出K点和导路的运动参数 xK yK 求 内副C的运动参数 xC yC 图b 3 位置方程 投影 xC xB Licos xK scos Ljcos yC yB Lisin yK ssin Ljsin 消去s 解得 图b 3 代入 得 xC yC s 则滑块D点的位置方程 xD xK scos yD yK ssin 速度方程 对 式求导 得 则C点的速度 Lisin Licos 外副D点的速度 cos ssin sin scos xC xB Licos xK scos Ljcos yC yB Lisin yK ssin Ljsin 图b 3 加速度方程 对 式两次求导 得 则C点的加速度 Lisin 2Licos Licos 2Lisin xC xB Licos xK scos Ljcos yC yB Lisin yK ssin Ljsin 外副D点的加速度 cos ssin s2cos 2sin sin scos s2sin 2cos 3 RPR 级杆组 由2个外转动副 1个内移动副和2个构件组成 如图b 4 已知 Li Lj Lk Li Lk杆垂直导路 两外转动副B D的参数 xB yB xD yD 求 内副C的运动参数 xC yC 构件上E点的参数 xE yE 构件Lj的参数 图b 4 位置方程 投影 xC xB Licos xD Lksin scos yC yB Lisin yD Lkcos ssin 解得 s 代入 得 xC yC 导杆上E点的位置方程 xE xC Lj s cos yE yC Lj s sin 图b 4 xC xB Licos xD Lksin scos yC yB Lisin yD Lkcos ssin 速度方程 对 式求导 得 则C点的速度 Lisin Licos E点的速度 Ljsin Lkcos Ljcos Lksin 图b 4 xC xB Licos xD Lksin scos yC yB Lisin yD Lkcos ssin 加速度方程 对 式两次求导 得 则C点的加速度 Licos 2Lisin Lisin 2Licos E点的加速度 Ljsin Lkcos 2 Ljcos Lksin Ljcos Lksin 2 Ljsin Lkcos 图b 4 4 RPP 级杆组 由1个外转动副 1个内移动副 1个外移动副和2个构件组成 如图b 5 已知 BC长为Li B C D顺时针为 逆时针为 外转动副B的参数 xB yB 参考点K xK yK 滑块D的导路与x轴夹角 滑块C和D两导路之间夹角 求 滑块C的运动参数 xC yC 和滑块D的参数 xD yD 图b 5 B 位置方程 内副C点 xC xB Lisin yC yB Licos 滑块D点 xD xK cos xC cos yD yK sin yC sin 图b 5 解得 xD yD B xD xK cos xC cos yD yK sin yC sin 速度方程 对 式求导 得 C点的速度 Licos Lisin 得D点速度 图b 5 B 加速度方程 对 式两次求导 得 C点的加速度 Licos 2Lisin Lisin 2Licos xD xK cos xC cos yD yK sin yC sin 得D点加速度 5 PRP 级杆组 由2个外移动副 1个内转动副和2个构件组成 如图b 6 已知 两杆长为Li Lj 两移动副导路有关参数 参考点Ki Kj的运动参数 xKi yKi xKj yKj 求 滑块相对于参考点的运动参数 和内转动副C的参数 xC yC 图b 6 位置方程 内副C点 xC xKi cos Lisin xKj cos Ljsin yC yKi sin Licos yKj sin Ljcos 解得 xC yC 滑块B点 xB xKi cosyB yKi sin 滑块D点 xD xKj cosyD yKj sin 图b 6 xC xKi cos Lisin xKj cos Ljsin yC yKi sin Licos yKj sin Ljcos 速度方程 对 式求导 得 C点速度 B点速度 D点速度 加速度方程 对 式两次求导 得 C点加速度 B点加速度 D点加速度 图b 6 三 例题分析 已知 图示机构的各构件尺寸 1 1 1 求 xG yG 解 1 划分杆组 由 级机构A0A RRR 级杆组ABB0 RPR 级杆组C0FD RPR 级杆组CFG组成 2 求解步骤 1 调用 级机构A0A子程序 已知构件上A0点运动参数 求同一构件上A点的运动参数 程序中此时 0 A0点与机架相连 3 调用同一构件AC 或BC 的子程序 已知A 或B 的运动参数 构件2的角运动参数 求C点的运动参数 4 调用同一构件B0D 或BD 的子程序 已知B0 或B 的