多元函数的微分学

第五章多元函数的微分学 5 1多元函数的基本概念 5 2多元函数的偏导数 5 3多元函数的全微分 5 4多元复合函数及隐藏函数求导法则 5 5多元函数的极限 5 6多元函数微分法在经济上的应用 5 1多元函数的基本概念 一 平面点集 例1 例2 y x o 定义 例3 y r o 二 邻域 内点 外点 界点 开集 开区域 注意 开集不一定是开区域 y x o o o o 闭区域 区域 有界区域与无界区域 二 空间解析几何简介 1 空间直角坐标系O XYZ 右手法则 坐标轴 坐标原点 坐标平面 卦限 八个卦限 空间内的点 问题 空间任一点的坐标如何确定呢 4 空间曲面与曲面方程 3 特殊平面的方程 4 球面方程 问题 如何认识空间任一张曲面的图形呢 有兴趣的同学可阅读相关资料 5 柱面方程 椭球面方程 椭圆抛物面方程 双曲抛物面方程 三 多元函数的极限与连续 1 多元函数的定义 定义1 定义域的求法 例1 解 yy yy y x oo oo o o o 0 0 0o Oo0o o 对应关系的求法 例2 解 二元函数的几何意义 2 二元函数的极限 例1 二元函数的连续性 若 例如 间断点为 定义3 在有界闭区域上二元连续函数具有性质 性质 最大值和最小值定理 在有界闭区域 上的连续函数 一定能够取得最大值和最小值 性质 介值定理 结论 二元连续函数的和 差 积 商 分母不为零 仍为连续函数 二元连续函数的复合函数仍为连续函数 例4 5 2多元函数的偏导数 当固定 存在 记作 或 若极限 定义1 在点 处对 的偏导数定义为 类似 函数 也记作 结论 视y为常量 对x求导 视x为常量 对y求导 记作 记作 说明 同理可定义多元函数的偏导数 二元函数偏导数的几何意义 是一元函数 在点 处的导数 由一元函数导数的几何意义知 在几何上表示空间曲线 类似 在几何上表示空间曲线 二 偏导数的计算 解 解 解 解 例5 已知 求 解 例6 求函数 在原点处的偏导数 解 二元函数在某一点处偏导数存在 但未必连续 不存在 二 高阶偏导数 设函数 在区域D内有偏导数 若这两个函数的偏导数存在 类似可定义三阶 四阶及更高阶的偏导数 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数 解 再求 证 证 由自变量的对称性知 定理1 练一练 解答 5 3多元函数的全微分 一 全微分的定义与计算 函数相应的全增量 若全增量可表示为 定义1 即 记作 若函数 在区域D内各点处都可微 则称函数在D内可微 定理1 且 证 由 特别 同理可证 类似于一元函数 记 或 注意 例 证明函数 在原点的两个偏导数存在 但不可微 解 函数 在原点的全增量 函数 在原点的全微分 而 且 不存在 所以由定义知函数在原点不可微 定理2 充分条件 且 若函数 在点可微 则 解 例1 求函数 在点 2 1 处当 时的全微分和全增量 例2 求下列函数的全微分 解 1 5 4复合函数及隐藏函数求导法则 一 多元复合函数的求导法则 且 定理1 则复合函数 连锁法则 解 例2 设 解 例 则复合函数 连锁法则 m 且 全导数 推论1 函数 则复合函数 在点x的导数 全导数 推论2 以上公式都可推广到中间变量或自变量多于两个的情形 说明 解 解 解 设 因此 例6 且存在一阶连续偏导数 求 例7设 解 设 例8 解 而 于是 也可以在求出一阶偏导数后 把代入再求二阶偏导数 例9设 具有二阶连续偏导数 求 解 令 则 一阶全微分形式不变性 则 则仍有 例 解 所以 二 隐函数求导法则 方程两边对 求偏导 同理 例1 设 求 解法1 法2两边关于x求导 两边关于y求导 方法三 方程两边求微分 例2 设 求 及 解 法1 法2两边关于x求导 例3 设 求 解 例4 设有连续偏导数 分别由方程 解 又由两边对求导得 所以 又由两边对求导得 5 5多元函数的极值 一 极值的概念 对于该邻域内任一点 若恒有不等式 则称该函数在点P处有极大值 则称该函数在点P处有极小值 在点 某邻域内有定义 设函数 定义1 极大值与极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 定理2 必要条件 设函数 在点 处偏导数存在 并取得极值 则 证明 不妨设 在点 处取得极大值 则 特别地 取 有 在x x0点取得极大值 由一元函数极值必要条件知 同理 使 同时成立的点 的驻点 称为函数 考虑一元函数 定理2 充分条件 令 1 若 有极值 2 若 无极值 3 若 情况不定 时有极大值 时有极小值 且 设函数 在点 某邻域内有一阶及二阶连续 偏导数 且 1 中的A换为C结论不变 例1 求函数 的极值 解 得驻点 在点 处 有极小值 在点 处 无极值 无极值 有极大值 在点 处 在点 处 最大值 最小值 区域内任一点 若恒有不等式 则称为函数在D内的最大值 在平面区域 内有定义 对于该 设函数 则称为函数在D内的最小值 定义 使函数取得最值的点称为最值点 最大值与最小值统称为最值 函数 在点 处取得最小值0 在点 处取得最大值2 如 函数 最大值 最小值的求法 最值点只可能是以下三种类型的点 1 边界点 求出该函数在这些点上的函数值 比较大小即可求得最值 在有界闭区域 上连续 则一定有最值 设函数 2 驻点 3 偏导数不存在的点 根据实际问题知函数的最值只在内部点上取到 且只有唯一驻点 极值点 没有偏导数不存在的点 则此时可断定函数在此驻点上取到最值 例2 在十字路口要建造一间长方体房屋 两面临街 临街墙面 不临街的墙面造价 屋顶造价 设房屋容积为 问 长 宽 高各多少时造价最低 解 设长 宽 高分别为 则 造价 造价 解得 答 当长 宽均为 高为 时 造价最低 二 条件极值拉格朗日乘数法 求函数 在条件 下的极值 拉格郎日乘数法 1 构造拉格朗日函数 2 联立 解得 则点 可能为极值点 3 再讨论 根据实际