习题4.1解答.doc

习题4.11.求方程通过点的第三次近似解.解:所给方程满足解的存在唯一性定理.2.求方程通过点的第二次近似解.解:所给方程满足解的存在唯一定理.3.求初值问题；的解的存在区间，并求第二次近似解。给出在解的存在区间的误差估计.解: (1) 由存在定理知,解的存在区间是,其中.而现在,故(2) (3) 第次近似解与真解的误差估计公式为.其中为Lipschitz常数,因,故可取.则以下题目已发生变化4.采用逐步逼近法求解初值问题.解:显然方程右端函数满足定理4.1.1条件.按逐步逼近法公式,初值问题的各次近似解为原初值问题的解为5.验证：方程的右端函数在条形区域：（为正常数）上满足李普希兹条件.解:因,故其中,即在所讨论的条形区域上满足李普希兹条件.这里不存在全平面适用的6.验证：方程的右端函数在区域上满足李普希兹条件。解:由,得可取李普希兹常数,则故在所讨论的区域上满足李普希兹条件.7.求初值问题解的存在区间.解: 设,则(1) 在内连续;(2) ,有界.故原初值问题的解在上存在唯一.即原初值问题的解在上存在唯一.下求.令,则在处取最大, 再利用解得,从而,解的最大存在区间为8.证明初值问题的解在区间上存在.证明: 取矩形区域(1) 显然在上连续.(2) ,即关于满足李普希兹条件,所以,即解的最大存在区间为.9.如果函数在带形区域上连续且关于满足李普希兹条件,试证明方程(4.1.1)满足条件的解在整个区间上存在唯一.提示:用逐步逼近法,取,与教材定理4.1.1类似.10.假设函数于的邻域内是的不增函数，试证方程满足条件的解于的一侧最多只有一个。证明:设都是方程满足的解,现要证当时,.用反证法.设存在使,不妨设.由的连续、可微及知,必有使,且当使.又,当时,上式的左端;由于对是不增函数,所以上式右端为非正,这是矛盾的.即不存在使.因此对有11设定义于，满足条件其中，证明方程存在唯一的一个解.证明:条件,说明在上连续,任取,作逼近序列考虑级数,其部分和.因此只要证明此级数收敛,则序列亦收敛.有估计用归纳法可知由于,所以级数收敛,从而有收敛.设,由的连续性知:即是的解.另一部分,设是方程的两个解,则.又而,故只有当时,上面式子才成立.12.在条形区域内,假设方程的所有解都唯一,对其中任意两个解,如果有,则必有证明:设,因,故用反证法.若不成立,则在存在的同一区间上,由的连续性,必存在点,使,从而,这与解的唯一存在相矛盾.故必有.13.设方程中的在上连续,且,证明:对方程的任一非零解,函数严格单调递增,其中证明:只需证明时首先注意是微分方程的解,故成立.从而又因为在上连续,方程的解存在唯一, 任意,与不能同时成立.故在上于是,在上严格单调增加.14.设在区域上连续, 关于是非减的且满足,当时.试用逐次逼近法证明:初值问题的解在上存在,其中.证: (1) 初值问题等价于积分方程.(2) 作逐次逼近序列(3)证明序列.由,及数学归纳法,对一切有.故(4)证明序列收敛.主要利用单调有界数列必有极限.注意到关于是非减的,故当时,有由归纳法知:这样单调有界的数