实数完备性基本定理的内在关系.doc

实数完备性基本定理的内在关系实数完备性基本定理的内在关系摘要：实数集的一个基本特征是实数集的完备性，它是微积分学的坚实的理论基础.可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理，在本文中就给出了六个实数集完备性基本定理.柯西收敛准则、确界原理、有限覆盖定理、区间套定理、单调有界定理、致密性定理以不同的方式从不同的侧面反映了实数集的一种特性完备性.本文采用不同的角度来说明它们的等价性和侧重点，又用几个定理分别证明了一个命题，让我们获得了对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解.关键词：实数；完备性；基本定理；等价性 一预备知识： 实数理论是数学分析的理论基础, 而实数系完备性定理又是实数理论中的重要内容之一.本论文将在此基础上讨论有关实数完备性的基本定理的内在关系。有理数集并非拓扑完备，例如 (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, .) 是有理数的柯西序列却没有有理数极限，但它却有个实数极限.实数集是有理数集的空备化这亦是其中一个构建实数集的方法. 在数学分析课中我们学习了有关实数系完备性的六个基本定理, 即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖原理、致密性定理、柯西收敛准则.这六个定理从不同侧面以不同的方式反映了实数系的一种特性完备性, 这种特性是有理数系所不具有的.那么到底什么是完备性，我们下面将作出解释：关于实数集的完备性（或连续性），直观地说，就是实数铺满整个数轴，即一条连续直线.也可以说实数可与数轴建立一一对应关系 实数的完备性等价于欧基里德几何的直线没有“空隙”.实数完备性一般是指一下六个定理：定理1（确界原理）：设为非空实数集，若有上(下)界，则集合在中存在上(下)确界.定理2（单调有界定理）：任何单调有界数列必定收敛定理3（区间套定理）：设为一区间套：则存在唯一一点定理4（有限覆盖定理）：设是闭区间的一个无限开覆盖，即中每一点都含于中至少一个开区间内则在中必存在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖定理5（致密性定理）：任何有界数列必有收敛子列.定理6（柯西准则）：数列收敛的充要条件是：，只要恒有 实数集的完备性可以用确界原理直观的来解释.如图1-1所示，设和是中两个非空点集，且满足：必有. 显然有上界，故依确界原理，存在实数点的上确界.如果存在最大元，则就是该最大元；如果不存在最大元，则的全体上界的集合即为，由上确界就是最小上界的定义，故就是中的最小元.这样就证得：或者存在最大元，或者存在最小元；也就是说，和之间不会有空隙.再由和在数直线上所处位置的任意性，“实数铺满整个数轴”这一重要结论便得到确认.二.等价性与内在关系证明若干个命题等价的一般方法.即循环论证，当然也可以用其他的方法进行，下面我们按循环论证来进行实数完备性基本定理等价性的证明，框架图所示：定理1（确界原理） 定理2 (单调有界定理) 定理3 (区间套定理)定理6 (柯西准则) 定理4 (有限覆盖定理)定理5 (致密性定理)由于很多文献中都对这一循环证明有详细介绍，我们这里将不再对证明进行重复：在证明过程中从确界原理出发,循环证明了这六个定理.这几个定理中, 区间套定理是由一个闭区间套， 确定唯一点, ，换句话说, 如果一切都具有某种共同性质, 则由于的任意邻域含有 , 所以的局部也具有该性质, 简单地说这个定理可以把整体性质收缩到局部 某点的邻域.有限覆盖定理与致密性定理, 它们描述的性质通常称作紧性.有限覆盖定理形式上说的是无穷转化为有穷: 若闭区间能被某个开区间族覆盖, 则它能被有限个开区间所覆盖.正是通过这种无穷到有穷的转化, 它常常可以把闭区间上每点所具有的局部性质转化为整个闭区间上的整体性质.下面我们简单的说明基本定理的侧重点：确界原理分析、函数论中的重要角色，量变到质变的转折点，客观事物性质的数学表达；单调有界定理几何意义十分明显；区间套定理将“整体”局部化，“化整为零”；聚点定理“化整为零”的另一途径，整体性态收敛子列局部性态；有限覆盖定理闭集的本质属性，局部到整体；Cauchy准则从运算上讲，极限在实数集合内是封闭的.在以上六个等价命题中，最便于推广至中点集的，当属致密性定理与有限覆盖定理实数完备性定理深刻剖析了实数域的完备结构；突出了存在性问题的研究；克服了极限方法上的局限性.三：完备性的应用实数完备性定理是研究函数性质的有力工具.由于这些定理的等价性，只要能用一个定理可以解决“某性质”的证明，则原则上用其他的五个定理也能证明这一性质.但由于选取的定理不同，证明的难易程度很不一样.下面我们举一个事例来说明这个问题.（一）.问题1设函数在上只有第一类间断点（可以有无穷多个）证明 在上有上界.1.用致密性定理作反证证明：若在上无界，则对可找到，使得. 因为有界数列，故其必有收敛子列，可记为可证明当时是无界，从而点不是在上的第一类间断点.2.用确界原理证明证明：构造数集 ，因存在，可知在点的某右邻域内有界.任取，则在上有界，从而数集非空，且有上界，故其必有上确界.记为 .再证明.往证.用反证法，显然.若时，使得.利用题设条件函数中只有第一类间断点的存在使得函数 在邻域内有界.又因为，都有界.所以函数在上有界所以，显然在函数有界.所以不是的上确界.产生矛盾，所以假设不成立即得到，这样就证明了定理.3.用区间套定理作反证分析：用二等分区间法构造区间套，使 在每个 上均无界.由区间套定理可“套”出一点.可证明当时无界证明：假设无界.将二等分，则必有一个区间使得在其上无界.假设在函数无界，记上述小区间为，再将二等分，如此继续，便得出闭区间列，由区间套定理可“套”出一点.可证明当时无界.这就与函数只有第一类间断点相矛盾，假设不成立.4.用有限覆盖定理证明分析： 对 ，先证 ，使在 内有界.再利用有限覆盖定理.将无穷多个“界”转化为有限个“界”来处理，其中最大的那个就是在上的界.证明：因为在上每点存在左右极限,由函数极限的局部有界性, ,与,使得.所有这种领域的集合，成为的一个开覆盖;由有限覆盖定理,存在的有限开覆盖若取,则因覆盖了,对中每一,它必属于中某一领域,于是所以函数有界.很明显虽然四个定理都能证明这一命题，但证明的难易程度不一样，证法一较为简单 .所以在实际应用实数完备性定理证明时，要注意定理的选取.参考文献： 1 毛羽辉.数学分析选论M.上海：科学出版社，2003. 2 李成章、黄玉民.数学分析第二版M.上海：科技出版社，1999： 第三章.3 陈纪修.数学分析M.北京：高教出版社，1999：第三章.4 陈传璋.数学分析M.北京：高教