采用最小二乘法建立坐标换算公式.doc

采用最小二乘法建立平面坐标系统转换公式吉渊明 浙江省测绘产品质量监督检验站 310012 杭州提要本文采用最小二乘法推导了平面坐标系统转换公式，坐标转换严密，计算简便，可供生产单位参考。关键词：坐标转换 转换参数 最小二乘法1 引言随着城市建设及规划管理的快速发展，许多城市建立了统一的坐标系统，采用GPS技术把原有相对独立的控制网纳入统一的坐标系统中。虽然采用GPS技术可以方便地联测部分原有首级控制网点，但几十年的城市规划建设基础资料全面更新也不现实。因此，生产实践迫切需要我们更深入地研究平面坐标系统之间的相互转换问题。建立平面坐标系统转换公式作为数学基础在计算机上实现批量转换，为地方政府节省大量财力。本文试图采用严密的最小二乘法推导平面坐标系统转换公式，从大量的数据经过替换、组合得到了一个简单明了的算术公式，我觉得值得向各位同行介绍，特别是正在实施控制网改造的有关部门。2 平面坐标系统相互转换的数学模型如果需要将某个平面坐标系统转换为另一个平面坐标系统，我们称前者为原始坐标系，记为（x，y）；后者为目标坐标系，记为（X，Y）。那么坐标转换数学模型为：X=x+(1+k)(cosx+siny)Y=y+(1+k)(- sinx+cosy) (21)其中（x，y）为平移因子，为旋转因子，k为尺度因子。令：x=ay=b(1+k) cos=c(1+k) sin=d (22)那么（21）式可简写为：X=a+cx+dyY=b-dx+cy (23)只要已知二个点的原始坐标和目标坐标，就可以很容易地求解线性方程（23）式得到a、b、c、d四个转换参数。如果已知二个以上重合点坐标，采用经典最小二乘法求解法方程得到四个参数值。利用a、b、c、d四个转换参数可得到四个转换因子：x=ay=b=arctan(d/c)k=(c2+d2)-1 （24）3 采用最小二乘法建立平面坐标系统转换公式如果已知二个以上重合点坐标时，（23）式可写为：Xi+Vxi=a+cxi+dyiYi+Vyi=b-dxi+cyi i=1,2,3n (31)其中Vxi、Vyi为残差。根据给定的n组重合点坐标(xi,yi)、(Xi,Yi)，用最小二乘估计的方法，即在偏差平方和Vxi2+ Vyi2为最小要求下求未知参数a、b、c、d的估值。为计算方便，采用坐标中心化建立平面坐标系统转换条件式：令Xi=Xi-X0 xi=xi-x0Yi=Yi-Y0 yi=yi-y0 （32）其中X0=X/n Y0=Y/n x0=x/n y0=y/n由此可知：X=0 Y=0 x=0 y=0 （33）那么平面坐标系统转换条件式可写为：Xi+Vxi=a+cxi+dyiYi+Vyi=b-dxi+cyi i=1,2,3n (34)用矩阵形式表示：V=BX+L (35)其中： Vx1 1 0 x1 y1 -X1 Vy1 0 1 y1-x1 -Y1 Vx2 1 0 x2 y2 -X2 Vy2 0 1 y2-x2 a -Y2 。 。 。 。 。 b 。V= 。 B= 。 。 。 。 X= c L= 。 。 。 。 。 。 d 。 Vxn 1 0 xn yn -XnVyn 0 1 yn-xn -Yn组成法方程式： BTBX+BTL=0 1 0 x y a -X0 1 y -x b -Yx y x2+y2 0 c + -xX+yY =0y -x 0 x2+y2 d - yX-xY将（33）式代入上式法方程可求得转换参数：a=0b=0c=xX+yY/ x2+y2d= yX-xY/ x2+y2 （35）将（35）式、（32）式代入（34）式可得平面坐标系统转换公式：Xi=X0+c(xi-x0)+d(yi-y0)Yi=Y0-d(xi-x0)+c(yi-y0) i=1,2,3n (36)其中c=xX+yY/ x2+y2=( xX+yY)/( x2+y2)d= yX-xY/ x2+y2=( yX-xY)/( x2+y2)4 算例柯桥坐标系始建于90年代初，其坐标系统与绍兴市城市坐标系采用相同的中央子午线及高程抵偿面，由于采用的起算点及起算方向不同，两系统间存在25cm的平均偏差。随着城市建设的发展，需要把柯桥坐标系统一至绍兴市城市坐标系中。最近，采用GPS技术联测了部分四等点，点位分布均匀，为柯桥坐标系的转换提供了有利条件。将柯桥坐标系设为原始坐标系，绍兴市城市坐标系设为目标坐标系，参与坐标转换的重合点其坐标见表1：表1：柯桥坐标系与绍兴市城市坐标系公共点信息（单位m）点号柯桥坐标系x y绍兴市城市坐标系 X Y129958.363 42859.50329958.334 42859.721229979.114 44192.27429979.032 44192.502328117.408 44475.71528117.305 44475.904431135.967 43563.56831135.904 43563.823530628.645 50991.52230628.394 50991.768629431.621 44902.160 29431.563 44902.331827138.323 45962.39127138.193 45962.590930897.106 49047.89030896.924 49048.1431131860.847 45914.33131860.706 45914.6091230596.650 45639.75430596.519 45640.0271331011.916 45037.68431011.813 45037.9641432049.850 47871.05932049.682 47871.3531527445.146 48582.75727444.947 48582.9081627998.839 47244.99127998.680 47245.163按（36）式建立平面坐标系统转换公式：Xi=29874.857+1.000000567(xi-29874.985)-0.0000255575(yi-46163.257)Yi=46163.486+0.0000255575(xi-29874.985)+1.000000567(yi-46163.257) (41)按（41）式坐标转换公式计算转换后坐标，见表2：表2：坐标转换结果校核信息（单位m）点号绍兴市城市坐标系 X Y利用（41）转换 X Y较差X较差Y129958.334 42859.72129958.319 42859.7320.015-0.011229979.032 44192.50229979.036 44192.505-0.004-0.003328117.305 44475.90428117.322 44475.898-0.0170.006431135.904 43563.82331135.906 43563.828-0.002-0.005530628.394 50991.76830628.394 50991.7730.000-0.005629431.563 44902.33129431.525 44902.3770.038-0.046827138.193 45962.59027138.199 45962.550-0.0060.040930896.924 49048.14330896.905 49048.1470.019-0.0041131860.706 45914.60931860.726 45914.611-0.020-0.0021230596.519 45640.02730596.536 45640.001-0.0170.0261331011.813 45037.96431011.817 45037.941-0.0040.0231432049.682 47871.35332049.680 47871.3450.0020.0081527444.947 48582.90827444.955 48582.925-0.008-0.0171627998.680 47245.16327998.682 47245.173-0.002-0.010坐标转换中误差mx=15mm，my=20mm，其中包含了原有点位测量精度的影响，转换结果完全能够满足相应等级控制精度。柯桥坐标系与绍兴市城市坐标系间尺度因子k=0.57ppm，旋转量=5.3，与建立坐标系的状况基本吻合。5 结束语通过上述所采用的最小二乘法建立平面坐标系统转换公式的推导，及提供算例的验证，为坐标系统之间的转换提供了一个方法严密、计算简便的途径，结合本人在建立过渡坐标系进行平面坐标系统相互转换方法的应用中提出的通过