2009年江苏复赛答案(包括填空题详解).docVIP

2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准第一试一、填空题（本题满分56分，每小题8分）1. 已知数列的前项和，则 解：n=1时，a1=8；当n2时，an=SnSn1=2n+2，a2n1=4n成等差数列，8+。2. 若集合为空集，则实数的取值范围是解:如右图所示：y1 = 的图像是抛物线的一部分；y2 = ax+1是一条过定点（0，1）斜率为a的直线。xyO31l1l2l1表示过（0，1）且与曲线y1 = 相切的直线，易求得斜率k1 = ，l2表示过（0，1）且过点（3，0），易求得斜率k2 = ，由题意得，a3. 设、为实数，则二元函数的最小值是解：u = （x+2）2+（y1）2 5，u+5 = （x+2）2+（y1）2，由柯西不等式得，（u+5）（4+1）（2x+4+y1）216，u 5 = 。4. 设、分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆交双曲线左支于、F1F2BA两点，且. 双曲线的离心率的值介于整数与之间，则解：如图，AF1B=120， AF1O=BF1O=60AOF1,BOFA为等边三角形 OA=c,AOF1=60,A（ - c，c）点A在双曲线上，而=e2 = - = 1，得 e4-8e2+4=0，e2=2+4，e=+1， 2e3，k=2B1DA1 D1C1CBAFEG5. 已知长方体的体积为，则四面体与四面体的重叠部分的体积等于 解 = = ， VAB1CD1= VA1BC1D=V=72 设 E,F,G分别为上，前，右底面中心.两四面体不重叠部分为由8个顶点引出的八个四面体，体积相同其中一个四面体B1FEG： VB1FEG = VB1ACD = V。 V重叠= （VAB1CD1 + VA1BC1D-8 VB1FEG）= = 36.6. 设表示不大于的最大整数，则 解 原式=1(32-3)+2(33-32)+3(34-33)+4(35-34)+5(258-243+1) = 932.7. 设方程的根都是正数，且，则的最大值是解 设方程的根为X1,X2,XN, 由韦达定理：X1X2X2N+X2X3X2N+1+X2N+1X1X2N-1=-a1=2n+1由均值不等式知: 上式（2n+1） a0=X1X2X2N+11, 的最大值是1. 8. 的方格棋盘的一条对角线穿过个棋盘格 解 2009=4149 1911=4939 原图可看4949的4139的方格矩形构成 41，39互质 穿过41+39-1=79个方格 20091911的方格对角线过7949=3871个方格.二、 解答题（本题满分14分）求函数的值域解 因为. 8分令，则，. 易知函数在区间与上都是减函数，所以的值域为，故的值域为. 14分三、解答题（本题满分15分）xyOPACBD如图，抛物线及点，过点的不重合的直线、与此抛物线分别交于点，证明：，四点共圆的充要条件是直线与的倾斜角互补解 设、的倾斜角分别为、，由题设知、. 易知直线的参数方程为，代入抛物线方程可化得 . 设上述方程的两根为、，则 . 由参数的几何意义，得 . 5分同理. 7分若、四点共圆，则 ，即 .因为、，所以 .又由、不重合，则. 所以. 11分反过来，若，则因、，故，且，. 所以 ，即.故、四点共圆. 15分四、解答题（本题满分15分）设，是正数，且，求证：解 因为 ， 且 （），所以 ，即. 10分同理可证 . 于是，. 15分2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加 试一、（本题满分50分）如图，在中，的内切圆与切于点，的边上的旁切圆切于点，点是与的交点，求证、三点共线. ABCDPENM证 设与交于点.因为，所以，.故只需证明，或. 10分如图, 设、分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心，、为切点，则 ， ， ， . 30分又 ABCDPENMO1O2FGIH，故可设，则 故结论成立 50分二、（本题满分50分）设，为给定的整数，. 对任意元的数集，作的所有元子集的元素和，记这些和组成的集合为，集合中元素个数是，求的最大值. 解 的最大值为. 10分因共有个元子集，故显然有. 20分下面我们指出，对集合，相应的等于，即的任意两个不同的元子集的元素之和不相等. 从而的最大值为.事实上，若上述的集合有两个不同的元子集， ，使得与的元素之和相等，则（设）. 因可视为正整数的二进制表示，由于互不相同，互不相同，故由正整数的二进制表示的唯一性，我们由推出，集合必须与相同，从而子集，矛盾.这就证明了我们的断言. 50分三、（本题满分50分）设，是互不相同的正整数，求证：.证 对s归纳.（1） 当时，结论显然成立. 10分（2） 假设时结论成立，当时，不妨设.由归纳假设可知，则.所以只要证明： ，此即. 30分 因为正整数，所以 . 故 ，.所以 ，即时，命题成立.因此，由数学归纳法可知，命题对所有正整数成立. 50分四、（本题满分50分）求满足下列条件的所有正整数，： （1）与互素； （2）. 解 显然 ，满足要求. 10