教学课件PPT随机变量的数学期望.ppt

概率论与数理统计 mathematicalexpectation deviation 第一讲随机变量的数学期望 第三讲协方差与相关系数 第二讲随机变量的方差 第四章随机变量的数字特征 第一讲随机变量的数学期望 数学期望的定义数学期望的计算法常用分布的数学期望数学期望的算子演算性质 引例1假设一个班共20人 其中18岁的有6人 19岁的有10人 20岁的有4人 现任取一人观察其岁数 则观察到的岁数x为一随机变量 不难求出x的分布率如下表所示 计算这个班的学生的平均年龄 平均年龄 引例2假设n个考试成绩中 xi分的有mi个 i 1 2 k 那么平均分 x1m1 xkmk 平均分 n 一 数学期望 或均值 的定义 例如 设离散型随机变量x的分布律为 则x的数学期望为 例1掷一颗均匀的骰子 以x表示掷得的点数 求x的数学期望 解x的分布律为 关于定义的几点说明 1 e x 是一个实数 而非变量 它是一种加权平均 与一般的平均值不同 它从本质上体现了随机变量x取可能值的真正的平均值 也称均值 2 级数的绝对收敛性保证了级数的和 不随级数各项次序的改变而改变 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量x取可能值的平均值 它不应随可能值的排列次序而改变 例2 某种产品每件表面上的疵点数服从参数 的泊松分布 若规定疵点数不超过1个为一等品 值10元 疵点数大于1个不多于4个为二等品 价值8元 疵点数超过4个为废品 求 1 产品的废品率 2 产品价值的平均值 解 由题意知 价 价 因为 所以产品的废品率为 例1 求 1 产品的废品率 2 产品价值的平均值 解 所以产品价值的平均值为 实例1商店的销售策略 解 定义 一 数学期望 或均值 的定义 连续型随机变量的数学期望 注 并非所有随机变量都有数学期望 由于 发散 例2 求 解 故 解 因此 顾客平均等待5分钟就可得到服务 实例2顾客平均等待多长时间 例 设随机变量x的分布律为 求随机变量y x2的数学期望 二 函数的数学期望 或均值 二 函数的数学期望 或均值 设x是一个随机变量 y g x g为连续函数 定理 设x是一个随机变量 y g x 则 当x为连续型时 x的密度函数为 当x为离散型时 x为离散型 x为连续型 例4已知x的分布律如下表所示 试求e x e x2 解 例5随机变量x的概率密度 y 2x和z e 2x的数学期望 试求 解 ex 设国际市场上对我国某种出口商品的每年需 它服从区间 上的均匀分布 每销售出一吨商品 可为国 家赚取外汇3万元 若销售不出 则每吨商品需贮 存费1万元 问应组织多少货源 才能使国家收益 最大 解 显然应要求 达式为 表 解 显然应要求 达式为 表 则 解 从而 解 从而 推广 设随机变量z是随机变量x y的连续函数 g x y 则 ex1 x y 的概率密度为 e x e y e xy 试求 ex2 已知 x y 的联合分布律如下表所示 试求e x e y e x y 和e xy ex1 x y 的概率密度为 e x e y e xy 试求 解 ex1 x y 的概率密度为 e x e y e xy 试求 解 x y 1 1 0 y x ex1 x y 的概率密度为 e x e y e xy 试求 解 x y 1 1 0 y x ex2 已知 x y 的联合分布律如下表所示 试求e x e y e x y 和e xy 解 ex2 已知 x y 的联合分布律如下表所示 试求e x e y e x y 和e xy 解 注意 可见 一般讲 三 数学期望的性质 1 设c是常数 则 2 对任何x y有 3 若x与y相互独立 则 ex3 x和y相互独立 二者的概率密度为 则e xy c 8 3d 7 3 c a 4 3b 5 3 ex4 若x服从0 1分布 求ex 解 ex 0 1 p 1 p p ex5 设x p 求e x x的其分布律为p x k pk 1 p 1 k k 0 1 解x的分布律为 四 常用分布的数学期望 ex5设x p 求e x x的数学期望为 即e x 解x的分布律为 试求 e x 解 例6随机变量x服从二项分布b n p 设yi b 1 p i 1 2 n 且各 变量相互独立 则可看出 于是 试求 e x ex6 设x r a b 其中常数a b 0 ex7 设x e 试求e x 试求 e x 解 ex6 设x r a b 其中常数a b 0 显然 x的概率密度 解 故 ex7 设x e 试求e x x的概率密度为 即其概率密度为 例7随机变量x服从正态分布n 2 其中常数 2 0 试求 e x 解 且 即 可见 又 几种常用的概率分布 分布 参数 分布律或概率密度 数学期望 方差 0 1分布 二项分布 泊松分布 分布 参数 分布律或概率密度 数学期望 方差 均匀分布 其它 正态分布 指数分布 其它 几种