高中数学 3.2.3两角和与差的正切函数课件 北师大版必修4 .ppt

利用公式化简 求值利用公式t 化简求值的几点说明 1 分析式子结构 正确选用公式形式t 是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一 因此在应用时先从所化简 求值 式子的结构出发 确定是正用 逆用还是变形用 并注意整体代换 2 化简求值中要注意 特殊值 的代换和应用当所要化简 求值 的式子中出现特殊的数值 1 时 要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换 如 这样可以构造出利用公式的条件 从而可以进行化简和求值 例1 化简下列各式并求值 1 2 审题指导 1 先利用商数关系把弦化切 再利用 1 的代换化简 2 出现了tan tan 和tan tan 的形式 因此选用变形形式求值 规范解答 1 原式 2 所以原式 变式训练 化简下列各式并求值 1 tan17 tan28 tan17 tan28 2 解析 1 tan17 tan28 tan 17 28 1 tan17 tan28 1 tan17 tan28 原式 1 tan17 tan28 tan17 tan28 1 2 原式 tan 60 75 tan135 1 利用公式求角求角问题中的特别关注 1 角的变换前面学习s c 的过程中运用的角的变换技巧仍然适用于公式t 如2 在求值过程中要进一步掌握这些角的变换方法 2 函数名称的选取在明确所求角是如何通过已知角变换之后 具体要根据题设条件去选择恰当的函数 3 角的范围的界定根据求出的三角函数值确定所求的角时 角的范围会直接影响解的个数 因此 角的范围的确定是求角问题中最为关键的因素 利用公式求角时要特别注意角的范围的判断 在确定所求角的范围时要细斟酌 深挖掘 除了考虑给定的大范围外 还要从给定的三角函数值上进一步缩小角的范围 防止出现增根 例2 2011 宿州高一检测 已知且 1 求tan 的值 2 求2 的值 审题指导 利用角的变换 可以直接利用公式求出tan 的值 根据 1 中求出的tan 的值 再次变换角2 然后求值 定范围找角 规范解答 1 tan tan 2 tan 2 tan 由且知又 变式训练 已知且 为锐角 求 2 的值 解析 且 为锐角 又且 为锐角 由 为锐角 得 误区警示 本题在求解中极易得出或的错误结论 因此 需特别注意充分利用tan 及sin 的值缩小角的范围避免造成增解 公式的综合应用公式t 与一元二次方程的联系 在两角和的正切公式t 中 有tan tan 和tan tan 这两项 对比一元二次方程中的根与系数的关系 为我们利用韦达定理解决问题找到了很好的结合点 因此tan tan 可以看作一元二次方程的根 这样tan tan tan tan tan tan 就可以互相表示 进而可以利用它们求tan 例3 2011 长春高一检测 abc中 已知tana与tanb是方程2x2 9x 13 0的两个根 求tanc的值 审题指导 先利用三角形的内角和将角c用角a和角b表示出来 tanc tan a b tan a b 然后用韦达定理求tana tanb tanatanb 最后求tanc 规范解答 由已知得 所以 变式训练 在 abc中 已知tana tanb是方程的两个根 求内角c的度数 解析 由韦达定理知所以因为a b是三角形abc的内角 所以 例 已知 abc中 且试判断 abc的形状 审题指导 由已知可得a b c 且已知条件与tan a b tan b c 有关 可先由公式tan a b 及条件先求出a b 再求出c 最后求a b 再判断其形状 规范解答 又 0 a b 又 0 b 故 abc为等腰三角形 变式备选 已知a b为锐角 且 1 tana 1 tanb 2 求证 证明 由 1 tana 1 tanb 2 即1 tana tanb tanatanb 2 tan a b 1 tanatanb 1 tanatanb tan a b 1 1 tanatanb 0 a b为锐角 tana tanb 0 由tana tanb tan a b 1 tanatanb 得tanatanb 1 tan a b 1 又a b为锐角 0 a b 典例 12分 已知tana tanb是关于x的方程的两个根 求tan a b 的取值范围 审题指导 根据韦达定理和两角和的正切公式用参变数m表示tan a b 然后求含参变数m的式子的取值范围 规范解答 4 7m 3 8m2 0 即2m2 7m 3 0 又7m 3 0 4分 tana tanb为此方程的两根 6分 10分 当时 tan a b 取最小值为当或时 tan a b 取最大值为 tan a b 的取值范围为 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 已知tan tan 是方程mx2 2m 3 x m 2 0的两根 求tan 的最小值 解析 由题意得解得且m 0 且又且m 0 tan 的最小值为 1 若且则tan a 1 b 1 c d 解析 选b 2 若则tan 等于 a 2 b c d 2 解析 选b 3 的值是 a b 0 c d 解析 选c 从而原式的值为 4