高中数学培训课件：揭示数学价值彰显数学文化.ppt

揭示数学价值 彰显数学文化 长期以来 我国的数学教育受形式主义数学观的影响比较深 例如 把数学等同于逻辑 认为数学能力的核心是逻辑思维能力 将数学教学看作 思维体操 的训练 数学确实有形式化的特征 但是不能用逻辑的形式化思维代替生动活泼的数学思想体系 我们常常把数学比做科学的女王 如果仅仅把数学当作逻辑 等于把风采照人的女王拍成x光片 成了一付毫无生气的骨架 张奠宙 我们讲授数学不只是要教涉及量的推理 不只是把它作为科学的语言来讲授 虽然这些都很重要 而要让人们知道 如果不从数学在西方思想史上所起的重要作用方面来了解它 就不可能完全理解人文科学 自然科学 人的所有创造和人类世界 judithv grabiner 西方数学史家 要想弄清楚数学教育的教学内容 教学方法及改革的方向 必须清楚数学在人类文明中的地位 必须了解数学发展的历史与现状 张顺燕 北大教授 诗人对宇宙人生 须入乎其内 又须出乎其外 入乎其内 故能写之 出乎其外 故能观之 入乎其内 故有生气 出乎其外 故有高致 王国维 一个值得关注的教学难疑问题 在日常教学中 数学文化没有较好地进入课堂 原因 应试教育压力过重 很多教师为提高学生的考试成绩 而忽视数学文化的渗透 对数学文化的教育功能认识不足 怕引进数学文化内容而影响了教学进度 教材中关于数学文化方面的材料比较少 教师对数学文化知识了解的又不够全面 吃不消介绍 一 人类文明的进步总是以数学的进步为标志 一 几何原本 是古希腊文明的一个标志柏拉图 约公元前427年 前347年 把逻辑学的思想方法引入了几何 使原始的几何知识受逻辑学的指导逐步趋向于系统和严密的方向发展 柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学 已经运用逻辑推理的方法对几何中的一些命题作了论证 柏拉图 不懂几何学者不得入此门柏拉图的学生亚里士多德 前384 前322年 被公认是逻辑学的创始人 他所提出的 三段论 的演绎推理的方法 对于几何学的发展 影响更是巨大的 三段论 凡人都要死 大前提 苏格拉底是人 小前提 所以 苏格拉底必死 结论 亚里士多德认为 任何一种严密的科学体系都应该建立在一些不加证明的事实基础之上 这些基础包括一切科学的公共基础 公理 如演绎推理的三段论 和各学科独特的基础 公设 除此之外 还需要有一些不加定义的对象 欧几里得 公元前300年左右 吸收了亚里士多德的关于建立科学体系的思想 对当时已经取得的推理几何的研究成果进行了系统的整理 写成了第一部用公理化手段处理几何的著作 几何原本 它也是历史上第一部系统的数学理论著作 几何原本 全书共十三卷 一至四卷是关于直线与圆的基本性质第五卷是比例 争论最多的 第六卷是相似形第七至九卷是讲数论第十卷是不可公度量的分类第十一至十三卷讨论几何穷竭法 空间几何 欧几里得还给世界留下两句话 在这里 皇帝没有特权 请给这家伙三个硬币 因为他想从几何学里得到实际利益 几何原本 最重要的意义是它确定了一种科学思维的典范 它给出一种逻辑的格式 几何原本 是哲学意义上的几何 有别于中国古代数学 几何 几何原本 的翻译是中国近代数学的开始 杨振宁 徐光启对 原本 的高度评价 此书有四不必 不必疑 不必揣 不必试 不必改 此书有四不得 欲脱之不可得 欲驳之不可得 欲减之不可得 欲前后更之不可得 此书有三至三能 似至晦实至明 故能以其明明他人之晦 似至繁实至简 故能以其简简他人之繁 似至难实至易 故能以其易易人之难 易生于简 简生于明 综其妙在明而已 几何原本 的印刷数量 版本居世界第二位 二 微积分是近代文明的标志微积分是一种数学思想 无限细分 就是微分 无限求和 就是积分 无限就是极限 极限的思想是微积分的基础 它是用一种运动的思想看待问题 微分和积分的思想早在古代就已经产生了 公元前3世纪 古希腊的数学家 力学家阿基米德 公元前287 前212 的著作 圆的测量 和 论球与圆柱 中就已含有微积分的萌芽 他在研究解决抛物线下的弓形面积 球和球冠面积 螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想 作为微积分的基础极限理论来说 早在我国的古代就有非常详尽的论述 比如 庄子 一书中写道 一尺之棰 日取其半 万世不竭 三国时期的刘徽在他的割圆术中提出 割之弥细 所失弥少 割之又割以至于不可割 则与圆合体而无所失矣 他在1615年 测量酒桶体积的新科学 一书中 就把曲线看成边数无限增大的直线形 意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的 连续不可分几何 就把曲线看成无限多条线段 不可分量 拼成的 这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备 微积分的诞生 距古希腊文明时代约二千年 罗马人占领亚历山大里亚 希腊衰亡 务实取代理论 阿拉伯人摧毁亚历山大里亚 西罗马 东罗马灭亡 垄断思想 十字军东进 欧洲进入黑暗时代 文艺复兴 希腊文化的复兴 资本主义诞生 从17世纪开始 随着社会的进步和生产力的发展 以及如航海 天文 矿山建设等许多课题要解决 数学也开始研究变化着的量 数学进入了 变量数学 时代 微积分不断完善 整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究 但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨 英国大数学家 物理学家牛顿 1642 1727 从物理学的角度研究微积分 德国数学家莱布尼茨 g w leibniz1646 1716 则从几何方面独立发现了微积分 牛顿当时采用的微分和积分符号现已不用 莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用 莱布尼茨比别人更早更明确地认识到 好的符号能大大节省思维劳动 三 黎曼几何是现代文明的标志1854年德国数学家g f b 黎曼在一次演说中 将曲面本身看成一个独立的几何实体 而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体 提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 空间中的点可用n个实数 x1 xn 作为坐标来描述 1915年 a 爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论 广义相对论 使黎曼几何及其运算方法成为广义相对论研究的有效数学工具 没有微分几何就没有广义相对论 张奠宙 四 数学信息论 控制论及数字计算机方案是信息时代文明的标志1948年 美国数学家香农 c e shannon 1916 2001 发表了论文 通信的数学理论 成为现代信息论研究的开端 香农也被称为 信息论之父 1948年 美国数学家诺伯特 维纳 norbertwiener 创立了 控制论20世纪30年代中期 德国科学家冯诺依曼大胆的提出 抛弃十进制 采用二进制作为数字计算机的数制基础 二 数学思想并非是数学家的空想 一 不同的国家有不同的数学文化古希腊数学与中国传统数学为何有区别 政治 文化的不同是主要原因古希腊实行自由城邦制 城帮内实行奴隶主的民主政治 极少数男性统治者之间实行民主制度 有辩论 选举和表决 古代中国实行君主专制主义中央集权制 在古希腊 为了说服对方 就需要证明 于是先设一些人人皆同意的 公理 规定一些名词的意义 定义 然后把自已的主张成为公理的逻辑推论 而在古代中国 争论的技术在于如何通过揣摩 臆测 以巩固情谊 在古希腊 数学家一般也是哲学家 地位很高 数学的价值在哲学上而不在应用上 而在古代中国 数学家是君王的谋士 地位不高 提供管理国家的数学方法 得到君王的采纳才能重用 数学的价值在应用上 在古希腊 不把宇宙的一切归之于不可知的 可怕的 神秘的力量 而是用一种理性的态度去对待它 甚至有不少人认为可以通过对数的研究到达对宇宙本质的认识 在古代中国 对宇宙是敬而远之 或者认为 天人一物 内外一理 天人无二理 把对人的研究代替对宇宙本质的认识 二 不同时代有着不同的数学时尚 张奠宙 古希腊时代数学时尚比较严密的推理牛顿时代使用不严密的 无穷小 19世纪又主张严密的逻辑推理 以形式主义数学为时尚20世纪下半叶 借助计算机 数学的应用发展起来了1906年在京师大学堂用的数学教课书不能用xyz70 80年代我们崇拜陈景润90年代我们把王选当英雄 三 绝对主义和经验主义的影响在20世纪的上半叶 绝对主义盛行 什么事情都可以错 唯独数学是不会错的 后来歌德尔就说 这个不可能做到 有些数学是可以错的 四 理性和实用的影响巴斯卡跟费马与通信方式探讨 一笔赌金的分配 产生概率论中国人好赌但没有产生概率论牛顿从苹果落地开始研究 万有引力定律 李白观瀑布吟出千古绝唱 飞流直下三千尺 疑是银河落九天 三 数学与文学有奇妙的同一性文学与数学看似风马牛不相及 实则不然 文章就是文字与符号的排列组合 胡国强 以数学与诗词为例雨果 数学到了最后阶段就遇到想象 在圆锥曲线 对数 概率 微积分中 想象成了计算的系统 于是数学也成了诗 福楼拜说 越往前走 艺术越要科学化 同时 科学也要艺术化 两者从山麓分手 又在山顶汇合 我国著名科学家钱学森提出 现代科学六大部门 自然科学 社会科学 数学科学 系统科学 思维科学 人体科学 和文学艺术六大部门 小说杂文 诗词歌赋 建筑园林 书画造型 音乐 综合 紧密携手 才能有大的发展 1 数学与文学的意境是相通的 1 大漠孤烟直 长河落日圆 王维 使至塞上 2 孤帆远影碧空尽 唯见长江天际流 李白 黄鹤楼送孟浩然之广陵 3 横看成岭侧成峰 远近高低各不同 苏轼 题两林壁 2 随处可见诗与数学的联系 康熙的 一字诗 一蓑一笠一扁舟 一丈竿头一只钩 一水一拍似一唱 一翁独钓一江秋 与数学中的 列举 有异曲同工之妙 落花人独立 微雨燕双飞 对仗工整 平仄协调 就如数学里的点 线 面之间的对称组合 诗中有回文诗 数学中有回文数 诗人要用几十个字来正面阐述自已的观点常采用一种反语相讥的方法 宣室求贤访逐臣 贾生才调更无伦 可怜夜半虚前席 不问苍生问鬼神 而在数学中 反证法是重要而又独特的证明方法 同一事或同一物可以产生不同的吟咏 忽如一夜春风来 干树万树梨花开 岑参 最爱东山晴后雪 软红光里涌银山 杨万里 而在数学中 数学家对某些重要的定理 也会提出很多不同的证明 3 诗中惟妙惟肖的 浮想联翩 如将数学知识与人文知识结合起来并融会贯通能做得更好 毛泽东 七律送瘟神 中的 坐地日行八万里 巡天遥看一千河 4 喜欢诗的数学家不乏其人数学大师苏步青 华罗庚 邱成桐 陈省身 筹算生涯五十年 纵横文字百余篇 也知老去无筋力 尤拟攀登上险巅 苏步青 四 中国传统文化对数学学习影响张奠宙教授在十年前提出 中国传统文化对数学学习影响主要有以下四个方面精耕细作的农耕文化的影响提倡勤勉 强调力行封闭演绎的儒家文化的影响儒家文化本身是一个演绎体系考试 科举 文化的影响书中自有黄金屋考据文化的影响清代中期以来 以戴震 戴东原 1724 1777 为首的考据学派在学术界占统治地位 其治学方法重实证 讲究逻辑推理 因而贴近数学 数学有两个侧面 一为逻辑的证明 二为创造性的思考 中国传统文化对学习 逻辑的证明 是有利 五 从文化的角度看数学 1 数学追求一种完全确定 完全可靠的知识从希腊的文化背景中形成的数学的对象并不只是具体问题 探讨的不是转瞬即逝的知识 不是服务于某种具体物质需要的问题 而是某种永恒不变的东西 除了逻辑的要求和实践的检验以外 无论是几千年的习俗 宗教的权威 皇帝的敇令 流行的风尚统统是没有用的 理性探索是数学发展必不可少的文化背景 也是数学贡献于文化最突出的功绩之一 2 数学不断追求最简单的 最深层次的 超出人类感官所及的宇宙的根本世界是合理的 简单的 因而是可以理解的 世界的合理性首先在于它可以用数学来描述 科学经过了多次伟大的统一 无不以数学为依赖 牛顿理论统一了地面上物体和天地的运动规律爱因斯坦的相对论实现了高速运动和低速运动的统一 3 数学不仅研究宇宙的规律 而且也研究它自已在发挥自已力量的同时又研究自已的局限性 从不担心否定自已 而是不断反思 批判自已 并且以此开辟自已前进的道路 4 数学大大地促进了人的思想的解放 提高与丰富了人类的整个精神水平数学促进人类思想解放大致有两个阶段 第一阶段从数学开始成为一门科学直到以牛顿为最高峰的第一次科技革命 在这一阶段 数学帮助人类从宗教和迷信的束缚下解放出来 从物质上 精神上进入了现代世界 第二阶段从由18世纪末算起 在这一阶段 数学帮助人类从自已的完全的决定论下解放出来 非欧几何的发现 根本改变了我们对空间本性的认识现在已到了第三阶段 数学作为文化的一部分 其最根本的特征是它表达了一种探索精神 其永恒主题是 认识宇宙 也认识人类自已 六 建设发展中国的数学文化意义 一种科学只有成功地运用数学时 才算真正达到完善的程度 马克思 一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的 一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的 齐民友 目前世界的数学格局 美国 俄罗斯 西欧 日本陈省身猜想 21世纪中国必将成为数学大国数学大国 能在独立平等的基础上 与世界各国的数学家进行交流要鼓励用好奇心进行驱动 而不只是用好胜心在公众中树立美好的数学形象 使