J3604答卷.doc

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： J3604 所属学校（请填写完整的全名）： 西安欧亚学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 马慧婷 2. 段磊 3. 赵新亮 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 吴睿 日期： 2012 年 9 月 4 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：深圳人口与医疗需求预测摘要本文通过对深圳市历年人口数据统计分析，建立拟合模型，预测深圳未来十年的人口数和医疗就医的床位需求。对于问题一，本文对户籍人口和非户籍人口分别采用多项式拟合的方法预测深圳未来十年的人口，并对户籍人口的三次拟合运用logistic拟合进行修正，最终得出深圳2011-2020年的人口如下：年份非户籍人口（万）户籍人口（万）总人口（万）2011819.2261.10121080.30122012853.1265.68621118.78622013889.1265.8121154.9122014927.1265.75171192.85172015967.3265.77561233.075620161009.6265.78971275.389720171054.1265.7981319.89820181100.6265.80291366.402920191149.2265.80581415.005820201200265.80751465.8075本文对床位需求预测问题，采用一次滑动平均模型，并根据深圳各个区所占比重，最后预测出各个区2011-2020年的床位需求（单位：张），如下表：年份宝安区龙岗区盐田区光明新区坪山新区罗湖区福田区南山区201192614630477109871621243031250620129711485650111517512228317926282013101495074523120378523283322274620141047652385401242810240334292835201510698534955112688272454350228952016110955548572131585825453632300320171151657585941365890264237693117201811934596761514159232737390632302019123446172636146395428314040334020201276963856581514987292941803456对于问题二，首先选取传染病、小儿肺炎和恶性肿瘤这三种疾病进行分析预测，把医疗机构分为政府办、市直属和区属三种类型。预测传染病在不同医疗机构所需床位时，运用三角函数拟合得出未来十年的发病率和患病人数，再根据传染病病人平均住院时间最后求出不同医疗机构所需床位，见表10。小儿肺炎和恶性肿瘤两种疾病发病率历年相对比较稳定，本文采用2010年的发病率和病人的平均住院时间分别求出两种病在不同医疗机构的床位需求，见表12、13。关键词：多项式拟合 一次滑动平均模型 logistic模型 三角函数拟合一、问题重述30多年来，深圳的卫生事业取得了很大发展，形成了市、区及社区医疗服务系统，较好地解决了现有人口的就医问题。深圳的流动人口远远超过户籍人口，且年轻人居多，深圳流动人口主要从事第二、三产业。年轻人身体强壮，发病较少，因此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。但是随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量。这些都可能导致深圳市未来的医疗需求与现在有较大的差异未来的医疗需求与人口结构、数量和经济发展等因素有关，合理预测能使医疗设施建设保障未来人口健康需求，同时保证深圳社会经济可持续发展。然而，现有人口社会发展模型在面对深圳情况时，却难以满足人口和医疗预测的要求。为了解决此问题，请根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况（医疗设施、医护人员结构等方面）收集数据、建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来的人口增长和医疗需求，解决下面几个问题：1.分析深圳近十年常住人口、非常住人口变化特征，预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势，以此预测未来十年全市和各区医疗床位需求；2.根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择预测几种病（如：肺癌及其他恶性肿瘤、心肌梗塞、脑血管病、高血压、糖尿病、小儿肺炎、分娩等）在不同类型的医疗机构就医的床位需求。二、问题分析深圳作为全国经济发展最快的城市之一，随着对务工人员的需求，深圳的流动人口远远超过户籍人口。深圳的经济发展促使人口的不断增加，现在人们的生活水平越来越好，伴随着一些疾病也越来越多，对医院越来越需求，对医疗设施要求也越来越高。合理预测未来的医疗需求能使医疗设施建设正确匹配未来人口健康保障需求，现对题目中问题做以下分析：1.人口分为户籍人口和非户籍人口，户籍人口的增长模型符合普通的人口增长模型，因此本文采用多项式拟合的方法进行预测，并进行修正，使拟合出来的人口数据与实际更接近。对于非户籍人口，采用二次拟合来预测。户籍人口和非户籍人口之和为总人口数。对于问题一的床位需求预测，由于深圳市床位数据不稳定，影响床位的因素也很多，想找到影响预测的主要因素比较困难，因此用时间序列法进行床位需求量预测。由于每千人病床数随机无趋势，对于这种时间序列采用一次滑动平均模型，只利用2006-2010年的每千人床位数求出2011-2020年的每千人床位数，再由深圳市各个区人口分布情况和预测出来的未来十年人口总数，最后求出深圳市各个区未来十年所需床位数。2.问题二中要预测的床位需求跟此疾病的就诊住院人数有关，本文对传染病、小儿肺炎和恶性肿瘤三种疾病做了分析，其中这三种病的特点是传染病发病率集中，在1-14岁之间死亡率较高；小儿肺炎只在婴幼儿中发病；恶性肿瘤的死亡率最高。根据三种病的发病率和在不同医疗机构就诊住院情况预测所需的床位。三、问题假设1.假设附录中的数据真实可靠；2.假设深圳未来十年没有重大人口调动；3.假设深圳未来十年没有重大灾害；4.假设深圳每个人患病率相同，就医观念没有太大变化；5.假设一个病人出院就有另一个病人住进来。四、符号说明表示年份；表示深圳非户籍人口；表示深圳户籍人口；表示深圳人口总数；表示拟合函数方程参数；表示年的每千人口病床数的预测值；表示年的每千人口病床数；表示人口数；表示人口增长率；表示深圳自然环境下户籍人口能容纳的最大值；表示不同医疗机构所需床位；五、模型的建立与求解51 问题一的模型建立与求解5.1.1 非户籍人口的预测 随着深圳经济的蓬勃发展，外来人口越来越多，而非户籍人口受外界影响很大，近几年深圳的经济才逐渐稳定，所以解决此问题时只引用2000-2010年统计的非户籍人口数据。表1 2000-2010年非户籍人口数据年份200020012002200320042005非户籍人口（万）576.32592.53607.17627.34635.67645.82年份20062007200820092010非户籍人口（万）674.27699.99726.21753.56786.17根据上表做出折线图如下：图1 2000-2010年深圳非户籍人口折线图对表1中数据和图1的折线图分析可知，非户籍人口与年份（2000-2010）呈现类似二次函数形式的增长趋势，因此对数据做二次拟合1，拟合函数式为： 将得到的拟合曲线与真实数据相比较如下图所示：图2 2000-2010年深圳非户籍人口拟合曲线与真实数据图得到拟合方程如下所示，其中自变量表示年份，因变量表示非户籍人口数，单位是万人。由拟合方程可求出2011-2020年深圳非户籍人口预测数据，如下表：表2 2011-2020年深圳非户籍人口预测数据年份20112012201320142015非户籍人口（万）819.2853.1889.1927.1967.3年份20162017201820192020非户籍人口（万）1009.61054.11100.61149.212005.1.2 户籍人口的预测对深圳市1979-2010年户籍人口数据进行统计（见附录一），做出户籍人口折线图如下：图3 1979-2010年深圳户籍人口折线图根据表3的数据和图3的折线图趋势，在不确定二次函数和三次函数哪个更接近真实数据的情况下，分别采用二次拟合和三次拟合的方法1，对两种方法做出的图形进行比较确定哪种方法更合适。先对深圳户籍人口和年份（1979-2010）做二次线性拟合图形（见附录二），二次拟合函数式为： 再对深圳户籍人口和年份（1979-2010）做三次线性拟合图形（见附录三），三次拟合函数式为： 二次拟合与三次拟合对比图如下：图4 1979-2010年深圳户籍人口二次和三次拟合对比图由上图可看出三次拟合图形更接近实际数据，且三次拟合方程式为：预测2011-2020年户籍人口结果如下：表3 2011-2020年深圳户籍人口数据表年份20112012201320142015户籍人口（万）277.6650297.8941319.4573342.4064366.7932年份20162017201820192020户籍人口（万）392.6694420.0867449.0969479.7518512.1031为了使图形拟合的更好，对中的三次拟合模型进行修正1。在选取修正数据时，既不能选取太多数据，这样不能使误差减小；也不能选取太少数据，这样会使修正后的预测结果缺乏说服力。因此选取2000-2010年的数据进行修正，修正后的图形如下：图5 2000-2010年深圳户籍人口三次拟合曲线与真实数据修正图修正后拟合公式为：通过对修正模型分析，人口增长率会随着人口数量的增加而下降，即人口总数会达到一个峰值，将表示为的函数，假设为的线性函数，即用来描述，于是阻滞模型12表示为：其中，因子体现人口自身的增长趋势，因子则体现了外界环境对人口增长的阻滞作用。采用分离变量法得到logistic模型的解形式为：做出logistic拟合曲线的图形如下：图6 深圳户籍人口logistic拟合修正图2011-2020年深圳户籍人口最终修正结果如下：表4 2011-2020年深圳户籍人口修正表年份20112012201320142015户籍人口（万）261.1012265.6862265.8120265.7517265.7756年份20162017201820192020户籍人口（万）265.7897265.7980265.8029265.8058265.8075户籍人口与非户籍人口之和为总人口则深圳2011-2020年人口预测表如下：表5 2011-2020年深圳人口预测表年份非户籍人口（万）户籍人口（万）总人口（万）2011819.2261.10121080.30122012853.1265.68621118.78622013889.1265.8121154.9122014927.1265.75171192.85172015967.3265.77561233.075620161009.6265.78971275.389720171054.1265.7981319.89820181100.6265.80291366.402920191149.2265.80581415.005820201200265.80751465.80755.1.3 全市医疗床位需求预测由题目中所给资料可得深圳市各个区的人口分布比率图如下：图7 深圳市各个区人口分布比率图根据预测出的深圳市总人口数据表5和各个区人口分布比率可以求得各个区的总人口数。表6 深圳市各个区人口总数年份宝安区（万）龙岗区（万）盐田区（万）光明新区（万）2011419.1569209.578421.606049.69392012434.0890217.044522.375751.46422013448.1059224.052923.098253.12602014462.8265231.413223.857054.87122015478.4333239.216724.661556.72152016494.8512247.425625.507858.66792017512.1204256.060226.398060.71532018530.1643265.082227.328162.85452019549.0223274.511128.300165.09032020568.7333284.366729.316267.4271年份坪山新区（万）罗湖区（万）福田区（万）南山区（万）201132.409096.1468137.1983113.4316201233.563699.5720142.0858117.4726201334.6474102.7872146.6738121.2658201435.7856106.1638151.4922125.2494201536.9923109.7437156.6006129.4729201638.2617113.5097161.9745133.9159201739.5969117.4709167.6270138.5893201840.9921121.6099173.5332143.4723201942.4502125.9355179.7057148.5756202043.9742130.4569186.1576153.9098由题目中所给深圳市1979-2010年每千人口病床发展情况做出折线图，如下：图8 1979-2010年深圳市每千人病床情况由上图分析可得，1979-1995年深圳市每千人床位数在1.5-2.5之间波动，1996-2010年每千人床位数在2.0-2.5之间波动。由于深圳市床位数据不稳定，影响床位的因素也很多，想找到影响预测的主要因素比较困难，因此用时间序列法进行床位需求预测。由于每千人病床数随机无趋势，对于这种时间序列采用一次滑动平均模型1。在一次滑动平均模型中，可由最近的n个时段求得平均值，以它作为t时刻的预测值。在这里我们采用最近的5年作为一个时间段求得平均值，可以表示为：根据2006-2010年的每千人口床位数据，可依次求得2011-2020年深圳市每千人所需的病床数，如下表：表7 2011-2020年深圳市每千人所需的床位数20112012201320142015201620172018201920202.212.242.262.262.242.242.252.252.252.25再由表7中深圳市各个区的人口总数求得各个区所需的床位总数。表8 2011-2020年深圳市各个区所需床位预测表（单位：张）年份宝安区龙岗区盐田区光明新区坪山新区罗湖区福田区南山区2011926146304771098716212430312506201297114856501115175122283179262820131014950745231203785232833222746201410476523854012428102403342928352015106985349551126882724543502289520161109555485721315858254536323003201711516575859413658902642376931172018119345967615141592327373906323020191234461726361463954283140403340202012769638565815149872929418034565.2 问题二的模型建立与求解5.2.1 疾病的选取通过对疾病死亡情况统计，我们选取死亡率相对较高的传染病（死亡率为0.27/万）、小儿肺炎（婴幼儿发病率较高）和恶性肿瘤（死亡率最高1.74/万）。5.2.2 医疗机构的划分根据所给资料分析可得，医疗机构有公立医院和私立医院，但公立医院居多，占主导地位，并且国家对公立医院的控制比较集中，因此本文只对公立医院讨论分析。医疗机构分为三类：政府办医院、市直属医院和区属医院。5.3.3 医疗床位的预测 根据深圳传染病历年发病率情况（见附录四），在matlab工具箱中运用三角函数拟合，拟合公式做出拟合图如下：图9 2011-2010年深圳传染病发病率三角函数拟合图拟合方程为：则2011-2020年传染病发病率和患病人数如下表：表9 2011-2020年深圳传染病发病率和患病人数年份20112012201320142015发病率（1/10万）189.40147.10141.57174.79234.93患病人数2046116457163502085028969年份20162017201820192020发病率（1/10万）300.57348.36361.27334.71278.13患病人数3833445980493644736240769根据2010相关资料得知：传染病人的平均住院时间为9.2天，则根据不同医疗机构的传染病住院人数（见附录五）求出所需床位为表10 深圳不同医疗机构传染病所需床位年份20112012201320142015政府办医院6049486286市直属医院439353351448622区属医院175141140178248年份20162017201820192020政府办医院113136146140121市直属医院82398710601017875区属医院328394422405349通过查看历年的数据可知：小儿肺炎和恶性肿瘤的发病率基本保持稳定。因此以2010年疾病的发病率为标准预测未来十年这两种病的患病人数。小儿肺炎2010的发病率为282.484（1/10万），则小儿肺炎2011-2020的患病人数如下表：表11 2011-2020年小儿肺炎患病人数年份20112012201320142015患病人数3051631603326243369634832年份20162017201820192020患病人数36027372853859839971414062010年小儿肺炎患病者在各医院的住院的人数（见附录六），小儿肺炎的平均住院日为6.4天，根据不同医疗机构所占比重求得小儿肺炎所需床位为则小儿肺炎2011-2020年在不同医疗机构的床位需求如下：表12 2011-2020年小儿肺炎在不同医疗机构的床位需求年份20112012201320142015政府办医院2728293031市直属医院107111114118122区属医院401416429443458年份20162017201820192020政府办医院3233343536市直属医院126131135140145区属医院474491508526545同理，根据恶性肿瘤2010年发病率125.43（1/10万）和平均住院日15.9天可得恶性肿瘤在不同医疗机构的住院人数（见附录七）和所需的床位如下表：表13 2011-2020年恶性肿瘤在不同医疗机构的床位需求年份20112012201320142015政府办医院1239312834132491368414145市直属医院3186733002340683518736374区属医院1475315279157721629016840年份20162017201820192020政府办医院1463115141156751623216815市直属医院3762238935403064174043239区属医院1741718025186601932420018六、模型的评价与改进本文多次采用多项次拟合模型，对模型进行改进，并运用时间序列模型，对人口及床位需求进行预测。由于深圳外来人口多，并受经济发展等外界的影响很大，很难对未来人口有一个准确的预测。而本文中对非户籍人口只选用近十年的数据，这对未来人口的预测会有一定偏差。七、模型的推广本文是对未来人口和疾病所需床位的预测，是根据历年人口数据建立模型，预测未来人口的发展趋势，此模型还可以预测出未来入学年龄的人口，并预测不同机构学校未来的设施建设。八、参考文献1邬学军，周凯，宋军全，数学建模竞赛辅导教程，杭州：浙江大学出版社，13-25 页，153-155页，20092冯杰，黄力伟，王勤，尹成义，数学建模原理与案例，北京：科学出版社，3-11页，2007附录附录一 1979-2010年深圳户籍人口数据年份户籍人口（万）年份户籍人口（万）197931.26199599.16198032.091996103.38198133.391997109.46198235.451998114.6198340.521999119.85年份户籍人口（万）年份户籍人口（万）198443.522000124.92198547.862001132.04198651.452002139.45198755.62003150.93198860.142004165.13198964.822