第二章-数列导学案

莱阳九中 高二数学必修5导学案 2.1数列的概念与简单表示法(1) 学习目标 1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系； 2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式. 学习过程 一、课前准备（预习教材P28 P30 ，找出疑惑之处）复习1：函数，当x依次取1，2，3，时，其函数值有什么特点？复习2：函数y=7x+9，当x依次取1，2，3，时，其函数值有什么特点？二、新课导学 学习探究探究任务：数列的概念 数列的定义： 的一列数叫做数列. 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项. 反思： 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3. 数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第 项. 4. 数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用 来表示，那么 就叫做这个数列的通项公式.反思：所有数列都能写出其通项公式？一个数列的通项公式是唯一？数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？5数列的分类：1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列， 数列和 数列. 典型例题例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 1，； 1， 0， 1， 0.变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ，； 1， 1， 1， 1；小结： 例2已知数列2，2，的通项公式为，求这个数列的第四项和第五项. 变式：已知数列，则5是它的第 项.小结： 动手试试练1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 1， ， ； 1，2 .练2. 写出数列的第20项，第n1项. 三、总结提升 学习小结 知识拓展数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数. 思考：设1（n）那么等于（ ）A. B.C. D. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列说法正确的是（ ）.A. 数列中不能重复出现同一个数B. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列C. 1，1，1，1不是数列 D. 两个数列的每一项相同，则数列相同 2. 下列四个数中，哪个是数列中的一项（ ）.A. 380 B. 392 C. 321 D. 2323. 在横线上填上适当的数：3，8，15， ，35，48.4.数列的第4项是 . 5. 写出数列，的一个通项公式 . 课后作业 1. 写出数列的前5项. 2. （1）写出数列，的一个通项公式为 . （2）已知数列， 那么3是这个数列的第 项.2.1数列的概念与简单表示法(2) 学习目标 1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2. 会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法. 学习过程 一、课前准备（预习教材P31 P34 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？什么是数列的通项公式？复习2：数列如何分类？二、新课导学 学习探究探究任务：数列的表示方法问题：观察钢管堆放示意图，寻找每层的钢管数与层数n之间有何关系？1. 通项公式法：试试：上图中每层的钢管数与层数n之间关系的一个通项公式是 . 2. 图象法：数列的图形是 ，因为横坐标为 数，所以这些点都在y轴的 侧，而点的个数取决于数列的 从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势3. 递推公式法：递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 试试：上图中相邻两层的钢管数与之间关系的一个递推公式是 . 4. 列表法：试试：上图中每层的钢管数与层数n之间关系的用列表法如何表示？反思：所有数列都能有四种表示方法吗？ 典型例题例1 设数列满足写出这个数列的前五项. 变式：已知，写出前5项，并猜想通项公式. 小结：由递推公式求数列的项，只要让n依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项. 例2 已知数列满足， 那么（ ）.A. 20032004 B. 20042005 C. 20072006 D. 变式：已知数列满足，求.小结：由递推公式求数列的通项公式，适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法. 动手试试练1. 已知数列满足，且（），求.练2.（2005年湖南）已知数列满足， （），则（ ）A0 B. C. D. 练3. 在数列中，通项公式是项数n的一次函数. 求数列的通项公式； 88是否是数列中的项.三、总结提升 学习小结 知识拓展n刀最多能将比萨饼切成几块？ 意大利一家比萨饼店的员工乔治喜欢将比萨饼切成形状各异的小块，以便出售. 他发现一刀能将饼切成两块，两刀最多能切成4块，而三刀最多能切成7块（如图）.请你帮他算算看，四刀最多能将饼切成多少块？n刀呢？解析：将比萨饼抽象成一个圆，每一刀的切痕看成圆的一条弦. 因为任意两条弦最多只能有一个交点，所以第n刀最多与前n1刀的切痕都各有一个不同的交点，因此第n刀的切痕最多被前n1刀分成n段，而每一段则将相应的一块饼分成两块. 也就是说n刀切下去最多能使饼增加n块. 记刀数为1时，饼的块数最多为，刀数为n时，饼的块数最多为，所以=.由此可求得=1+. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知数列，则数列是（ ）.A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列2. 数列中，则此数列最大项的值是（ ）.A. 3 B. 13 C. 13 D. 123. 数列满足，（n1），则该数列的通项（ ）. A. B. C. D. 4. 已知数列满足，（n2），则 .5. 已知数列满足，（n2），则 . 课后作业 1. 数列中，0，(2n1) (nN)，写出前五项，并归纳出通项公式. 2. 数列满足，写出前5项，并猜想通项公式.2.2等差数列（1） 学习目标 1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项. 学习过程 一、课前准备（预习教材P36 P39 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？二、新课导学 学习探究探究任务一：等差数列的概念问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？ 0，5，10，15，20，25， 48，53，58，63 18，15.5，13，10.5，8，5.5 10072，10144，10216，10288，10366新知：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示. 2.等差中项：由三个数a，A， b组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A= 探究任务二：等差数列的通项公式问题2：数列、的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得： ，即： ， 即： ，即： 由此归纳等差数列的通项公式可得： 已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项. 典型例题例1 求等差数列8，5，2的第20项； 401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：例2 已知数列的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？小结： 动手试试练1. 等差数列1，3，7，11，求它的通项公式和第20项. 练2.在等差数列的首项是， 求数列的首项与公差. 三、总结提升 学习小结 知识拓展1. 等差数列通项公式为或. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线上的一些间隔均匀的孤立点.2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为. 若四个数成等差数列，可设这四个数为. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 等差数列1，1，3，89的项数是（ ）.A. 92 B. 47 C. 46 D. 452. 数列的通项公式，则此数列是（ ）.A.公差为2的等差数列 B.公差为5的等差数列 C.首项为2的等差数列 D.公差为n的等差数列3. 等差数列的第1项是7，第7项是1，则它的第5项是（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 64. 在ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则B .5. 等差数列的相邻4项是a+1，a+3，b，a+b，那么a ，b . 课后作业 1. 在等差数列中，已知，d3，n10，求；已知，d2，求n；已知，求d；已知d，求.2. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度. 2.2等差数列（2） 学习目标 1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题. 学习过程 一、课前准备（预习教材P39 P40，找出疑惑之处）复习1：什么叫等差数列？复习2：等差数列的通项公式是什么？二、新课导学 学习探究 探究任务：等差数列的性质1. 在等差数列中，为公差， 与有何关系？2. 在等差数列中，为公差，若且，则，有何关系？ 典型例题例1 在等差数列中，已知，求首项与公差.变式：在等差数列中， 若，求公差d及.小结： 例2 在等差数列中，求和.变式：在等差数列中，已知，且，求公差d.小结： 动手试试练1. 在等差数列中，求的值. 练2. 已知两个等差数列5，8，11，和3，7，11，都有100项，问它们有多少个相同项？ 三、总结提升 学习小结1. 在等差数列中，若m+n=p+q，则注意：，左右两边项数一定要相同才能用上述性质. 2. 在等差数列中，公差. 知识拓展判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：（1）；（2）；（3）. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 一个等差数列中，则（ ）. A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 492. 等差数列中，则的值为（ ）.A . 15 B. 30 C. 31 D. 643. 等差数列中，是方程，则（ ）. A. 3 B. 5 C. 3 D. 54. 等差数列中，则公差d .5. 若48，a，b，c，12是等差数列中连续五项，则a ，b ，c . 课后作业 1. 若 ， ， 求.2. 成等差数列的三个数和为9，三数的平方和为35，求这三个数. 2.3 等差数列的前n项和(1) 学习目标 1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题. 学习过程 一、课前准备（预习教材P42 P44，找出疑惑之处）复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？复习2：等差数列有哪些性质？二、新课导学 学习探究探究：等差数列的前n项和公式 问题：1. 计算1+2+100=?2. 如何求1+2+n=?新知：数列的前n项的和：一般地，称 为数列的前n项的和，用表示，即 反思： 如何求首项为，第n项为的等差数列的前n项的和? 如何求首项为，公差为d的等差数列的前n项的和?试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和. .小结：1. 用，必须具备三个条件： .2. 用，必须已知三个条件： . 典型例题例1 2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的统治. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？小结：解实际问题的注意：例2 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？变式：等差数列中，已知，求n. 小结： 动手试试练1.一个凸多边形内角成等差数列，其中最小的内角为120，公差为5，那么这个多边形的边数n为（ ）.A. 12 B. 16 C. 9 D. 16或9三、总结提升 学习小结. 知识拓展1. 若数列的前n项的和（A，A、B是与n无关的常数），则数列是等差数列.2. 已知数列是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，设也成等差数列，公差为. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在等差数列中，那么（ ）.A. 12 B. 24 C. 36 D. 482. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（）.A5880B5684C4877D45663. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n项和为286，则项数n为（ ）A. 24 B. 26 C. 27 D. 284. 在等差数列中，则 .5. 在等差数列中，则 . 课后作业 1. 数列是等差数列，公差为3，11，前和14，求和.2. 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2? 这些数的和是多少？2.3 等差数列的前n项和(2) 学习目标 1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式； 2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3. 会利用等差数列通项公式与前 n项和的公式研究的最大（小）值. 学习过程 一、课前准备（预习教材P45 P46，找出疑惑之处）复习1：等差数列中， 15， 公差d3，求.复习2：等差数列中，已知，求和.二、新课导学 学习探究问题：如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ 典型例题例1已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？变式：已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式. 小结：例2 已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号n的值.变式：等差数列中， 15， 公差d3， 求数列的前n项和的最小值. 小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.（1）利用: 当0，d0，前n项和有最大值，可由0，且0，求得n的值；当0，前n项和有最小值，可由0，且0，求得n的值（2）利用：由，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n的值. 动手试试练1. 已知，求数列的通项.练2. 有两个等差数列2，6，10，190及2，8，14，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和. 三、总结提升 学习小结 知识拓展等差数列奇数项与偶数项的性质如下：1若项数为偶数2n，则；2若项数为奇数2n1，则；. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列数列是等差数列的是（ ）.A. B. C. D. 2. 等差数列中，已知，那么（ ）.A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 3. 等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）. A. 70 B. 130 C. 140 D. 1704. 在小于100的正整数中共有 个数被7除余2，这些数的和为 .5. 在等差数列中，公差d，则 . 课后作业 1. 在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n的值.2. 等差数列，该数列前多少项的和最小？2.4等比数列（1） 学习目标 1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；3. 体会等比数列与指数函数的关系. 学习过程 一、课前准备（预习教材P48 P51，找出疑惑之处）复习1：等差数列的定义？复习2：等差数列的通项公式 ，等差数列的性质有： 二、新课导学 学习探究观察：1，2，4，8，16，1，1，20，思考以上四个数列有什么共同特征？新知：1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q0），即：= （q0）2. 等比数列的通项公式： ； ； ； 等式成立的条件 3. 等比数列中任意两项与的关系是： 典型例题例1 （1） 一个等比数列的第9项是，公比是，求它的第1项；（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项. 小结：.例2 已知数列中，lg ，试用定义证明数列是等比数列.小结： 动手试试练1. 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84. 这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?练2. 一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比（ ）. A. B. C. D. 三、总结提升 学习小结 知识拓展在等比数列中， 当，q 1时， 当， 当，时， 当，q 1时， 当时， 当时， 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在为等比数列，则（ ）. A. 36 B. 48 C. 60 D. 722. 等比数列的首项为，末项为，公比为，这个数列的项数n（ ）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 63. 已知数列a，a（1a），是等比数列，则实数a的取值范围是（ ）.A. a1 B. a0且a1C. a0 D. a0或a14. 设，成等比数列，公比为2，则 .5. 在等比数列中，则公比q . 课后作业 在等比数列中， ，q3，求； ，求和q； ，求； ，求.2.4等比数列（2） 学习目标 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；2. 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法. 学习过程 一、课前准备（预习教材P51 P54，找出疑惑之处）复习1：等比数列的通项公式 = . 公比q满足的条件是 复习2：等差数列有何性质？二、新课导学 学习探究问题1：如果在a与b中间插入一个数G，使a，Gb成等比数列，则 新知1：等比中项定义如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G称为a与b的等比中项. 即G= （a，b同号）.试试：数4和6的等比中项是 .问题2：1.在等比数列中，是否成立呢？2.是否成立？你据此能得到什么结论？3.是否成立？你又能得到什么结论？新知2：等比数列的性质 在等比数列中，若m+n=p+q，则.试试：在等比数列，已知，那么 . 典型例题例1已知是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格，从中你能得出什么结论?证明你的结论.例自选1自选2是否等比是变式：项数相同等比数列与，数列也一定是等比数列吗？证明你的结论.小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列.例2在等比数列中，已知，且，公比为整数，求.变式：在等比数列中，已知，则 . 动手试试练1. 一个直角三角形三边成等比数列，则（ ）.A. 三边之比为3：4：5B. 三边之比为1：3C. 较小锐角的正弦为D. 较大锐角的正弦为练2. 在7和56之间插入、，使7、56成等比数列，若插入、，使7、56成等差数列，求的值.三、总结提升 学习小结 知识拓展公比为q的等比数列具有如下基本性质：1. 数列，等，也为等比数列，公比分别为. 若数列为等比数列，则，也等比.2. 若，则. 当m=1时，便得到等比数列的通项公式.3. 若，则.4. 若各项为正，c0，则是一个以为首项，为公差的等差数列. 若是以d为公差的等差数列，则是以为首项，为公比的等比数列. 当一个数列既是等差数列又是等比数列时，这个数列是非零的常数列. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在为等比数列中，那么（ ）. A. 4 B. 4 C. 2 D. 82. 若9，a1，a2，1四个实数成等差数列，9，b1，b2，b3，1五个实数成等比数列，则b2(a2a1)（ ）.A8 B8 C8 D3. 若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x1时，（ ）A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列4. 在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于 .5. 在各项都为正数的等比数列中，则log3+ log3+ log3 . 课后作业 1. 在为等比数列中，求的值.2. 已知等差数列的公差d0，且，成等比数列，求.2.5等比数列的前n项和(1) 学习目标 1. 掌握等比数列的前n项和公式；2. 能用等比数列的前n项和公式解决实际问题. 学习过程 一、课前准备（预习教材P55 P56，找出疑惑之处）复习1：什么是数列前n项和？等差数列的数列前n项和公式是什么？复习2：已知等比数列中，求.二、新课导学 学习探究探究任务： 等比数列的前n项和故事：“国王对国际象棋的发明者的奖励”新知：等比数列的前n项和公式设等比数列它的前n项和是，公比为q0，公式的推导方法一：则 当时， 或 当q=1时， 公式的推导方法二：由等比