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八年级上册知识复习综合指导河北 刘瑞华 一、 重点知识回顾1、 不等式（组）（1）、不等式的三条基本性质的共同点是：两边同时变形，且同样变形，如同加、同减，并且加上或减去的都是同一个 或同一个 ，结果 。其不同点是：性质1除了可加上（减去）同一个数外，还可以加上（或减去）同一个 ，而且性质2和性质3必须是数（正数或者负数）而不是式。结果虽说都是不等式，但不等式的方向存在着“改变”与“不改变”之分。运用不等式的基本性质变形时一般要先作 ，后填 。另外还应明确不等式具有互逆性和传递性。（2）、不等式组：几个一元一次不等式组合在一起就组成一元一次不等式组。其解集是指这些不等式解集的 。不等式组解的确定方法可以简单的概括为：同小取 ；同大取 ；大（于）小小（于）大取 ；大（于）大小（于）为 。注意：利用一元一次不等式（组）解决实际问题时，要关注一些常用的表示不等关系的词语，如“至少”，“不足”，“不超过”等，还应注意挖掘一些隐含在具体情景中的不等关系，譬如做衣服时用料不超过原料，汽车装运货物的质量不能超过汽车的载重量等等，在解出不等式组的解集后还需认真检验，看是否符合实际问题，对不符合的要舍去。2、分式（1）分式的概念分式的概念中明确分式中A、B都是 ，且除式B中必含有 。分式有（无）意义及为0的条件：当B 0时，分式有意义；当B =0时，分式无意义；当A 且B ，分式的值为零。（2）分式的基本性质基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个 的整式，分式的值 。用式子表示为 （M是 的整式）。约分：把一个分式的分子和分母的 公因式约去，这种变形叫做约分。通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为通分。最简分式：分子和分母中没有 公因式的分式称为最简分式。化简分式时，通常要使结果成为 最简分式或整式。（3）分式的运算分式的乘法：两个分式相乘，把分子的积作为积的 ，把分母的积作为积的 。分式的除法：两个分式相除，把除式的分子和分母 后再与 相乘。分式的加减法：同分母的分式相加减，分母 不变，把分子 相加减；异分母的分式相加减，先 通分，化为 同分母的分式，然后按照同分母的分式加减法进行计算。注意：（1）分式中的分子、分母大多都是多项式，在运算中，要对分子、分母中的多项式进行因式分解，这样便于确定分子、分母的公因式或各分母的最简公分母。（2）对于较简单的分式四则运算，在灵活把握法则进行运算的同时，还要正确地依据运算顺序进行运算。3、轴对称（1）轴对称轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条 叫做对称轴.其主要性质有：（I）关于某直线对称的两个图形是 （II）若两个图形关于某直线对称，则对称轴是对应点连线的 两个对称点到对称轴的距离 若两个图形对应点连线被同一条直线 垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称（2）、两个图形成轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就叫对称轴，折叠后重合的点叫做 。（3）、线段的垂直平分线1、定义：经过线段的 并且 这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离 .3、线段的垂直平分线的判定：到线段两端点的距离 的点在这条线段的垂直平分线上（4）作轴对称图形对于一些直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形上一些 的对称点，连接这些对称点，就可得到原图形的轴对称图形；在平面直角坐标系内，点（x,y）关于x的对称点的坐标是 ，关于y的对称点的坐标是 ，点（x,y）关于原点的对称点的坐标是 。（5）等腰三角形性质：等腰三角形的两个底角 （简写成“等边对等角”）等腰三角形的顶角的 、底边上的 、底边上的 相互重合（即“三线合一”）判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“ ”）（6）等边三角形等边三角形的三个内角都 ，并且每一个角都 三个角都相等的三角形是 三角形有一个角是60的 等腰三角形是等边三角形一个推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的 一半注意：1、轴对称的两个图形一定是全等的，而全等的两个图形未必都成轴对称图形；2、在运用角平分线的性质和线段垂直平分线的有关性质解题，要分清条件和结论，防止错误地运用。3、等腰三角形是轴对称图形，常作的辅助线有三种：作顶角的平分线，底边上的高线，底边的中线。4、等腰三角形的性质中的“三线合一”应用很广，在具体运用时要注意它们之间的联系和区别。4、勾股定理（1）直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即 。（2）勾股定理的逆定理如果一个三角形有两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；即在ABC中，A、B、C所对的边分别为、，若c2=a2+b2，则C= 注意：注意：由于直角三角形斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边（即斜边）的平方等于两短边（两直角边）的平方和不能写成a2+c2=b2，除非b为斜边才能这样写在已知直角三角形的两边长，运用勾股定理解题时，再没有明确哪是斜边，哪是直角边时，要注意分类讨论。勾股定理的逆定理不能叙述为：当斜边的平方等于两条直角边的平方的和时，这个三角形为直角三角形这样的系数错在在判定之前就已经把待判定的三角形当作了直角三角形运用勾股定理解几何体上两点之间的最短距离问题时，要注意将其转化为平面上两点之间的距离来求解。运用勾股定理逆定理解题的步骤：首先确定最大边（如）；其次验证a2+b2与c2是否有相等关系：若a2+b2=c2，则ABC是以C为直角的直角三角形；若a2+b2c2，则ABC不是直角三角形5、实数（1）、平方根：正数有两个 ，它们互为 ；0的平方根是 ；负数 平方根；求一个数的平方根的运算，叫做 ；一个数的平方根用符号 来表示，叫做 ，2叫做 。读作 。（2）.立方根定义：如果一个数的立方等于，这个数就叫做的 。表示方法数的立方根表示为“”，读作“三次根号下”，其中叫做被开方数，3叫做根指数.应当注意的是根指数3 。用计算器求方根的一般操作顺序：先按启动键 、再按数字键输入 、其次按选择键 ，最后按开方运算键 。 （3）实数与数轴实数的定义：无限 叫做无理数.有理数和无理数统称 。实数的分类：对于实数，我们可按定义分类如下：由于有理数和无理数都有正负之分，所以对实数我们还可按大小（即正负）分类为：实数的相反数和绝对值：如果表示一个正实数，那么就表示一个 ，与互为 ；0的相反数依然是 ；一个正实数的绝对值是 ；一个负实数的绝对值是 它的相反数，0的绝对值是 。实数的运算：关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立.在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，运算顺序依然是从高级到低级.值得注意的是，在进行开方运算时，正实数和零可以开任何次方，负数能开奇次方，但不能开偶次方。复习时须注意：1、注意平方根与箅术平方根的区别，计算平方根时不要漏掉负的平方根。同时还应注意立方根与平方根的区别，任意一个实数都有立方根。2、注意有理数与无理数的区别，判别一个数是有理数还是无理数要依据概念。6、平面直角坐标系（1）有序数对是指有序实数组成的数对，有序数对（a，b）与（b，a）一般是不相同的，只有当_时，它们才是相同的；（2）在平面内，两条具有公共原点、并且_的数轴所构成的图形叫做平面直角坐标系，其中水平的数轴叫做_，向_方向为正方向，竖直的数轴叫做_，向_方向为正方向，横轴与纵轴的交点叫做平面直角坐标系的_，平面直角坐标系的两条数轴把坐标平面分成四个直角，这两条数轴的正方向的夹角叫做第_象限，其它三个直角逆时针依次叫做第_、_、_象限，坐标轴不属任何象限；（3）在平面直角坐标系中，第一象限的横坐标与纵坐标都是正数，简单记作（+，+），那么第二象限的坐标特征是_，第三象限是_，第四象限是_；（4）横轴（也称x轴）上点的坐标特征是（x，0），即纵坐标都是0，那么纵轴（也称y轴）上的点的坐标特征是_，即_；（5）在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，所得到对应点的坐标是_（或_）；将点（x，y）向上（或下）平移a个单位长度，所得对应点的坐标是_（或_）；如果把点P（a，b）向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，所得对应点Q的坐标是_；（6）在平面直角坐标系内，将整个图形形状不变,大小扩大n倍后,对应的横纵坐标都变为原来的 ；将整个图形横向拉长为原来的n倍时，那么它的横坐标变为原来的n倍，纵坐标 ；将整个图形纵向拉长为原来的n倍时，那么它的纵坐标变为原来的n倍，横坐标 。（7）、在直角坐标系内求某个二元一次方程组的解时，可先画出方程组中每个方程对应的 直线，则其 坐标即为它们对应的方程组的解。注意：1、坐标轴上的点不属于任何一个象限。2、点P（a，b）到x轴的距离为|b|而不是b，到y轴的距离为|a|而不是a。7、随机事件和概率（1）事先能肯定一定发生或一定不发生的事件称为 事件；在一次实验中可能发生，也可能不发生的事件称为 事件（2）用一个确定的数值来描述事件发生的可能性大小这个数值叫做事件的 （3）必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为 ，随机事件A的概率满足 （4）有些事件我们不必做实验，就可以根据均匀性或对称性，直接求它们发生的概率但大量的事件需要通过 来估计它们发生的概率（5）事件的频率具有 ，即当实验次数逐渐增加时，事件的频率逐渐稳定到一个数附近，这个数就是事件的 注意：1.注意“必然发生”与“很可能发生”，“不可能发生”与“不大可能发生”之间的区别2.计算简单事件的概率时，要注意实验的所有可能结果是不是等可能的3.频率和概率是两个不同的概念，两者既有区别，又有联系，事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的当实验次数较少时，频率的大小摇摆不定；当实验次数增大时，频率的大小波动变小，逐渐稳定在概率附近4.用频率估计概率，得到的只是近似值为了得到较准确的估计值，实验次数要足够大二、典例剖析例1、（08广州市）如图1，实数、在数轴上的位置，化简 解析：由实数ab在数轴上的位置可知b0,a0（其中a0）。（1）当a=-2时，求此不等式的解，并在数轴上表示此不等式的解集；（2）小明准备了十张形状、大小完全相同的不透明卡片，上面分别写有整数-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1,将这10张卡片写有整数的一面向下放在桌面上。从中任意抽取一张，以卡片上的数作为不等式中的系数a，求使该不等式没有正整数解的概率。解析：本题为一道不等式和概率的综合题。(1)当a=-2时，解不等式2x+30得x。其解在数轴上正确表示为(2)用列举法：取a=1，不等式ax+3的解为x3，不等式有正整数解；取a=2，不等式ax+3的解为x,不等式有正整数解.；取a=3，不等式ax+30的解为x1，不等式没有正整数解；取a=4，不等式ax+30的解为x,不等式没有正整数解；可知a取3至10中任意一个整数时，不等式都没有正整数解，则 P不等式没有正整数解=。 附：重点知识回顾参考答案：1、（1）数，整式，仍是不等式，整式，变形，不等号；（2）公共部分，小，大，中间，无解。2、（1）整式，字母，=0，0时；（2）不等于零，不变，=，=，不等于0；（3）分子，分母，颠倒位置，被除式；3、（1）互相重合，直线，全等形，垂直平分线，相等；（2）重合，对称点；（3）中点，垂直于，相等，相等；（4）特殊点，（x,-y），（-x,y），（x,-y）。（5）相等，角平分线，中线，高，等角对等边；（6）相等，等于60，等边，3