直线的倾斜角和斜_2

直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率 西安高级中学西安高级中学 高高 一一 数数 学学 李李 秋秋 侠侠 教教 学学 设设 计计 普通高中课程标准实验教科书 北京师范大学出版社 普通高中课程标准实验教科书 北京师范大学出版社 数学数学 2 2 必修 必修 第二章解析几何初步第二章解析几何初步 1 1 1 1 直线的倾斜角和斜率 直线的倾斜角和斜率 教学设计教学设计 西安高级中学李秋侠西安高级中学李秋侠 一 设计思想 一 设计思想 学生在初中阶段学习过函数的图像 了解在坐标系中点与实数对的对应 这正是解析几何的研究方法 x y 而直线是解析几何中最基本最简单的研究对象 它既能为进一步的学习做好知识上的准备 又能为后面灵活运用解析几何的基 本思想和方法打好坚实的基础 所以本节课在设计时特别重视知识的形成 过程的感悟 概念的辨析 引导学生注重倾斜角 注重倾斜角 斜率的相互关系 掌握过两已知点的直线的斜率公式 并能根据直线的斜率求倾斜角 利用斜率判定三点共线 斜率的相互关系 掌握过两已知点的直线的斜率公式 并能根据直线的斜率求倾斜角 利用斜率判定三点共线 充分利用多媒 体形象展示 使学生全面地 多角度 多层次地认知新概念 特别是利用几何画板的动态演示 透彻理解倾斜角 斜率的概念 倾斜角 斜率的概念 取值范围 及变化规律取值范围 及变化规律 强化 数数 与 形形 的结合与转化 另外斜率公式的推导采取逐步递进 发展到用直线上的两点的坐 标表示斜率 体现新课标的递进 螺旋式认知理念 通过图片展示使学生了解解析几何及其在生活科学等方面的应用 激发学 生的学习热情 引导学生树立远大理想 崇尚科学 在引导学生用倾斜角的正切值表示直线的斜率时 由于学生毫无三角函数 基础 只要求给出会用即可 不能用知识的联系性 思维的连贯性的传统理念 去增加补充三角函数知识 否则就与新课程理 念相背离了 二 二 三维目标三维目标 1 1 通过具体图形理解确定直线的几何要素 理解直线倾斜角 斜率的概念 感受直线的方向与倾斜角 及斜率之间的对应关系 掌握过两点的直线斜率的计算公式 初步感受解析几何的本质 用代数的 方法解决几何的问题 在教学中培养学生数形结合的数学思想 2 2 培养和提高学生联系 对应 转化等辨证思维能力 形成严谨的学习态度 3 3 营造轻松 和谐的学习氛围 培养学生的探究能力 合作意识及语言表述能力 三 内容和内容分析三 内容和内容分析 本课是北师大版数学必修 2 第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时 是高中解析几何第一节课 主要知识点是直线倾斜角和斜率 它是解析几何的最基本的 也是重要的概念之一 也是刻画直线倾斜程度的几何要素 是用 坐标法研究几何图形的解析方法的初次体现 通过本节课对直线倾斜角与斜率的研究能够使学生初步感受到解析几何的本质 步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法 因而本节课的数学思想和方法尤显重要 四 教学重点四 教学重点 直线的倾斜角和斜率的概念 用代数的方法刻画直线斜率的过程及过两点的直线的斜率公式 教学难点教学难点 斜率概念的理解和斜率公式的推导 教学方法教学方法 通过实例创设教学环境 让学生感悟到知识的生成 五 学情分析五 学情分析 初中学生已在平面坐标系中对一次函数借助几何图形研究了性质 图形非常熟悉 学生对三角函数的认识相对浅得多 对斜率 用倾斜角的正切值表示困难较大 但也要求学生掌握特殊角度正切值 六 现代信息技术使用六 现代信息技术使用 为了有效实现教学目标 考虑到学生的知识水平和理解能力 借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片 从激励学生 探究入手 讲练结合 直观演示能使教学更富趣味性和生动性 1 利用图片介绍解析几何 2 幻灯展示设问问题 例题 引入中的课件 一 二 利用几何画板演示倾斜角的大小与直线斜率的关系 3 幻灯展示课堂小结 课后作业及探究 4 新知识学习过程中的探究设问 七 导学流程七 导学流程 1 利用图片介绍解析几何 2 幻灯展示设问问题 例题 引入中的课件 一 二 利用几何画板演示倾斜角的大小与直线斜率的关系 3 利用课件演示 引出直线斜率公式 4 新知应用 5 知识延伸 6 幻灯展示课堂小结 课后作业及探究 八八 新知识学习过程中的探究设问 新知识学习过程中的探究设问 确定一条直线的位置需要什么条件 用什么量描述直线的倾斜程度呢 倾斜角概念中的要点有哪些 倾斜角的取值范围 能为 0000 0 90 180 180 大于 任何直线都有倾斜角吗 唯一吗 除了倾斜角还有什么能表示直线的 倾斜程度 任何直线都有斜率吗 不与轴垂直的直线的斜率除了用外 用直线上的两点的坐标怎样表示呢 xtan 用斜率公式求直线的斜率应注意什么 21 21 yy k xx 三点共线的实质是什么 九 教学过程设计九 教学过程设计 教学教学 环节环节 教师活动教师活动学生活动学生活动技术支持技术支持 导导 入入 本本 章章 内内 容容 在初中学习一次函数 二次函数时 我们建立了坐标系 使 平面内的点和实数对 x y 建立起了一一对应的关系 初步学会 用代数方法描述几何问题 直线 抛物线 把几何问题转化成 了代数问题并研究它的性质 用这种方法研究几何学 通常就叫 做解析法 从而形成了数学的一个分支 解析几何 高中主 要学习平面解析几何 平面解析几何除了研究直线及直线直线及直线的有关性质外 主要研究 圆锥曲线 圆 椭圆 抛物线 双曲线 的有关性质 它不仅是 高中数学的重要内容之一 在生产或生活中也被广泛应用 如行 星运动轨迹 比如探照灯 聚光灯 太阳灶 雷达天线 卫星的天线 射 电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的 在科技迅猛发展的今天 有多少发明创造有待我们去完成 今天我们就开始进入平面解析几何这个新领域 研 究非常重要的 又非常基础的直线的有关概念 直线 的倾斜角和斜率 在初中学习了一次函数 大家知道它的 0yax b a 图像是一条直线 一 确定一条直线位置的几何要素 一 确定一条直线位置的几何要素 问 观察所给直线 如何确定直线的位置呢 答 两点定一线 问 除此之外还可以用什么来确定呢 学生思考 若为已知常数 为变化值 则直线可视为由ab 平移而来的一系列平行直线 直线的方向是相同yax 学生观察 图片 了 解解析几 何的起源 以 学生观察 图片 了 解平面解 析几何研 究的内容 和重要性 学生观察 图片 感 悟生活中 的数学美 激发学生 求知欲 培养学生 爱科学的 态度 利用 powerpoint 放图片 利用 powerpoint 演示 教师 讲解 引导 学生发现生 活中的美妙 曲线 导导 入入 本本 节节 内内 容容 直直 线线 的的 倾倾 斜斜 角角 概概 念念 的 课件一 若为已知常数 为变化值 则直线可视为过定点ba 的一系列直线 直线的方向是变化的 0 b 由上述情形可看出 确定一条直线的位置还有一 个方法 一个点和一个方向 一个点和一个方向 二 倾斜角二 倾斜角 由 课件二 可看出 直线的方向方向与直线的倾斜程度倾斜程度 有关 直线的倾斜程度和直线与与轴所成的角度轴所成的角度有关 x 对于任意一条与轴相交的直线 把这个角的顶点放在x 交点处 规定角的方向为逆时针 即可产生一个能够描 述直线倾斜程度的角叫倾斜角 1 倾斜角的定义 倾斜角的定义 对于任意一条与轴相交的直线 把xl 轴 正方向 按逆时针方向绕着交x 点旋转到和直线 重合时所成的角 叫l 作直线的倾斜角 记为 则l 00 0180 特殊地 当直线 与轴平行或重合时 规定直线的倾lxl 斜角为 0 0 2 倾斜角的取值范围倾斜角的取值范围 00 0180 三 直线的斜率 三 直线的斜率 问 问 直线的倾斜角可以刻画直线的倾斜程度倾斜程度 除此之外 生活中 还可以用什么来刻画直线的 倾斜程度 呢 教师通过图例引导 还可 以用 坡 度 来刻 画道 引导学生 在直角坐 标系中研 究直线 探究确定 直线位置 的几个要 素 学生观察 得出 直 线的倾斜 程度与斜 线和轴轴x 所成的角所成的角 度度有关 读教材 明确倾斜 角的定义 准确理解 概念 发 现数学量 培养学生 分类讨论 的能力 学生互相 议论 探 利用几何画 板 演示平 面直角坐标 系中的不同 位置的直线 培养学生研 究归纳能力 O x y d d 1位 位1位 位 引引 出出 直直 线线 的的 斜斜 率率 斜斜 率率 公公 式式 一一 路 楼梯的 倾斜程度 铅直高度 坡度 水平长度 相当于在水平方向移动一个单位 在铅直方向上升上升 或下降或下降的数值 d 类似地定义可以得到直线的斜率的概念 不妨先设不妨先设 直线过原点 直线过原点 1 当时 当点从 O 到 P 时 横坐标增加一 00 090 个单位 纵坐标从 0 增加到 称为这条直线的kk 斜率 直线的斜率也可用 CBQP POQBACk ACOQ 来计算 CB AC 公式公式 1 1 tank 由于三角函数的知识还不到位 此公式暂属了解阶段 但也应熟记特殊角的正切值 2 当时 当点从 O 到 P 时 横坐标增加 00 90180 一个单位 纵坐标从 0 减少了 称为这 0k k k 条直线的斜率 3 当时 这条直线的斜率不存在 0 90 问 若直线不过原点怎么办呢 答 若直线不过原点 则总可以过原点做一条与此直线 平行的直线 这两直线的倾斜角是相等的这两直线的倾斜角是相等的 斜率即可 用过原点的这条直线的斜率来表示 方法同上 讨 引导学生 讨论得出 过原点的 直线的斜 率可以用 倾斜角的 正切值来 表示 由于三角 函数的知 识还不到 位 这种 情况下的 斜率直接 给出 有 待以后解 决 展示道路 楼梯的图片 观察倾斜程 度 培养学生归 纳 提炼知 识的能力 A 1 0 P 1 K O X y C B Q 1 0 y X O P 1 K A y X O P 1 K A 1 0 斜斜 率率 与与 倾倾 斜斜 角角 的的 关关 系系 可以看出 当时 直线的斜率是 0 0 0 当时 直线的斜率是正的 倾斜角越大 00 090 直线的斜率就越大 当时 直线的斜率不存在 0 90 当时 直线的斜率是负的 倾斜角越 00 90180 大 直线的斜率就越大 问 用倾斜角的正切值可以表示直线的斜率 用直线上 点的坐标能表示斜率吗 观察 过原点的直线上的点 1 k 的纵坐标 k 就是直 线的斜率 任取异于原点的点 则其斜率可以用 P x y 其纵坐标与横坐标之比表示 y x 问 看下图 直线的斜率是多少呢 答 直线的斜率是 3 2 问 直线不过原点时 斜率是否还能问 直线不过原点时 斜率是否还能 用直线上点的坐标表示呢 用直线上点的坐标表示呢 四 斜率公式四 斜率公式 在直线 上任取两点l 设 111222 P x yP x y 122121 xxxxxyyy 引导学生 得出 斜 率的正负 及大小与 倾斜角的 关系 培 养学生分 类讨论能 力 学生讨论 得出结论 过原点的 直线的斜 率可以用 其上一点 的纵坐标 与横坐标 之比表示 培养数形 结思想 讨论得出 任意直线 的斜率可 几何画板演 示 观察斜 率的正负及 大小与倾斜 角的关系 斜斜 率率 公公 式式 二二 则 21 12 21 yyy kxx xxx 问 这个公式是不是任 何时候都成立呢 问 任何直线都有斜率 吗 问 公式的特点有哪些 1 时公式才成立 时不能用此公式 此时 12 xx 12 xx 直线的斜率不存在 2 当时 直线与轴垂直 斜率不存在 12 xx x 3 是直线上的任意两点 12 P P 3 公式中的分子分母的下标应是一致的 4 斜率与的顺序无关 12 P P 5 当直线与平行时 公式依然成立 此时 x 12 0yy k 五 应用示例 五 应用示例 例 1 已知直线的倾斜角 求斜率 00000 1 0 2 30 3 45 4 60 5 90 解 1 00 3 tan00 2 tan30 3 不存在 000 3 tan451 4 tan603 5 tan90 例 2 下图中能表示直线倾斜角的是 1 3 以用其上 两点的坐 标表示 21 21 yy k xx 思考这个 公式成立 的条件 分析不成 立的直线 位置 培 养严谨的 数学思维 口答 熟 记特殊角 的正切值 板演 推到 斜率公式 分析成立条 件 揭示不 成立的时的 位置特征 学生作笔记 P 2 3 O X y 新新 知知 应应 用用 知知 例 3 求过已知两点的直线斜率 1 2 3 6 5 2 3 5 4 2 PQAB 解 1 直线的斜率为 PQ 5321 6242 k 2 直线 AB 的斜率为 257 1 437 k 例 4 在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率为 的直线 112 33 解 只须找出点 然后分别 1111121313 与原点连成直线即可 例 5 直线 的倾斜角为直线 与垂直 求 1 l 0 1 30 1 l 2 l 的斜率 12 l l 考察学生 新知识掌 握能力及 公式的正 确性 考察学生 应用知识 的灵活性 指导学生 积极研究 互相合作 培养积极 的学习热 老师板演 学生口述 学生板演 y x o 识目识目 标检标检 测测 能力能力 目标目标 检测检测 解 如图 的倾斜角为 2 l 000 9030120 的斜率分别为 12 l l 3 3 3 例 6 已知点 当 时 23 2 1MmmN m m 直线 MN 的倾斜角为锐角 当 时 直线 MN 的m 倾斜角为直角 当 时 直线 MN 的倾斜角为m 钝角 解 当即时 直线 MN 与轴平行 232mm 5m y 倾斜角为直角 当即时 232mm 5m 11 2325 mm k mmm 若即时 直线 MN 的倾斜角为锐角 0k 51m 或时 直线 MN 的倾斜角为钝角 5m 1m 例 7 已知三点在同一条直线上 求 2 5 1 4 2A aBCa 的值 a 解 三点共线 或 A B C 2 121 2 54 5 ABBC a kka a 7 2 a 六 知识小结 六 知识小结 一 本节课所学基本知识点有 1 确定直线的要素 由两点或一点和方向确定 2 直线的倾斜角和倾斜角的取值范围 3 直线的斜率的概念 求斜率的三种途径 1 用截直线所得的纵坐标 1x 2 000 tan0180 90k 情好探究 能力 独立思考 知识拓展 巩固 知识延伸 考察学生 综合能力 感受数学丰 富内涵 十十 课后反思 课后反思 本节课设计 的教学目标在同学 们的配合下完成的 很好 这节课在以 下几个方面比较成 功 1 利用多媒体 形象展示 使学生 真切感受到生活中 的数学模型 达到 了全面地 多角度 多层次地认知新概 念的目的 激发了 学生的学习兴趣 探知欲望 培养了 学生热爱生活 热 爱科学的情感 很 好地体现了新课标 的三维目标 注重 知识的形成 过程的感悟 情感价值观的培养 2 新知导学设问很好 问题设置合理有层次 使整个教学既有层次感 又流畅自然 学生清楚自己每个阶段的学习目标 对 所要学习的新知识关注点相对集中 目的性强 3 直线倾斜角 斜