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分形艺术欣赏 2010年5月20日 序言二十世纪七十年代 分形学由美籍波兰人b b mandebrot所创立 分形是一种具有某种意义上的自相似 结构的任何局部与整体 结构 分形结构以特殊 敏锐的视觉透视着大自然的现象 表现了大自然现象结构的丰富内涵 分形学的创立是科学与艺术的完美结合 具有科学与艺术创新的双重价值 创立者因此获得物理学的巴纳奖 以及美国国家艺术科学奖 分形学魅力何在 分形艺术如何表现自然的美妙 让我们用心阅读分形艺术美之所在 背景确定性的终结20世纪初 牛顿力学的确定论继续其统治地位 20世纪中叶探索复杂性的科学上的几个创举 动摇了确定论的地位 从而揭示了世界复杂性 混沌理论 分形理论 协同论 耗散结构理论 带领人们认识非确定论的精彩世界 不断地揭示和描述着我们所处的世界 自然 社会的无序到有序等自组织以及不可逆现象 美丽 更多的非对称但是和谐 画卷 自然是美丽的 世界是美丽的 科学与艺术创造了美的升华 美的价值 赋予人类丰富的情感 无限的生命力 于是 如何审视这个世界 欣赏这个世界 与世界和谐共处 融入世界 才能焕发出生命朝气 主要内容一 关于美与艺术及其欣赏二 分形图形艺术及欣赏三 分形学的创立四 分形的度量五 分形的结构六 分形几何构形七 分形计算机生成算法 一 关于美与艺术1 美与美感1 美美是与人的需求被满足时的精神状态相联系的 人与刺激的互动过程 这种动态的过程包括三个要素 1 信号 引起人愉悦反应的一切刺激 包括第一和第二信号 它是产生美的原因 2 主体 人 它是美产生的场所 因为人有思想 意识 3 美感 人的需要被满足时人对自身状况产生的愉悦反映 它可以是现实需要被满足时的感受 也可以是以往需求被满足的经验和记忆 美是体现为一种和谐 任何现象 事物 过程的和谐 2 美感 美感 就是引导我们更好生存的一种 情感 美感的 本质 就是 意识 这个 二次导存 第二次引导事物存在的东西 让我们感到有 美感 的事物 将会对我们的生存带来好处 美感寄托着人的无限的情感 暇思 生存的动力 美感是对和谐的情感 一 关于美与艺术2 审美与审美观1 真 善 美真 善 美是具体事物具有的有利于社会和人类生存发展的特殊性质和能力 是具体事物对人类生存发展具有的正面意义和正价值 2 审美的角度 如何认识美 对称 和谐 自然 律动 烂漫 磅礴 壮阔 温柔 热情 博大 健壮 浩瀚 善良 豪放 3 审美观审美判断是 凭借完全无利害观念的快感和不快感对某一对象或其表现方法的一种判断 是 惟一的独特的一种不计较利害的自由的快感 康德 判断力批判 4 康德的名言 我最敬畏这个世界的两样东西 头上的星空和心中的道德 4 兴趣与爱好 审美观诱使 你都敬畏什么 一 关于美与艺术3 艺术 创作与欣赏艺术 是创作出来的 是人们为了更好地满足自己对主观缺憾的慰藉 需求和情感器官的行为需求而创造出的一种文化现象 又是人们进行情感交流的一种重要手段 艺术价值 对于艺术 通常可以从三个层面来认识 第一是从精神层面 把艺术看作是文化的一个领域或文化价值的一种形态 第二是从活动过程的层面来认识艺术 认为艺术就是艺术家的自我表现 创造活动 或对现实的模仿 刻画 升华的活动 第三是从活动结果层面 认为艺术就是艺术品 艺术与其它意识形态的区别在于它的审美价值 带给人们以美的感受 这是它的最主要 最基本的特征 艺术是社会性的 民族性的 世界性的 源自生活 高于生活 应该与社会和谐 人的活动息息相关 艺术与美存在与人类的任何活动中 最重要的在于挖掘 欣赏 一 关于美与艺术4 东西方审美文化的差异西方喜欢形似 所以西方的美术作品追求逼真 东方喜欢神似 所以东方的艺术作品大多追求一种意境美 在中国封建社会的土壤里 不可能开放出古希腊时期那种表现人体健美 体格强悍 袒露胸腹的艺术之花 也不可能有象维纳斯那样裸露肌肤的女性形象和像大卫那种全裸的男子雕像 西方的艺术创造是一种入木三分的细腻 直观再现 东方艺术则是充分利用外在条件的包裹意象影射着人体内在的气质和想象 东西方审美观因为文化背景的不同而不同 东方人审美观倾向精致 朴实 和谐 高雅 关注 审美何为 是一种价值论 意义论上的追问 偏重于直觉的感悟 西方人审美观倾向大气 张扬 热爱 庄重 对美的主体追问是偏重分析的逻辑思维 西方人冒险精神比较强烈 东方人比较保守 一 关于美与艺术5 科学与艺术1 科学与艺术的关系科学和艺术是不可分割的 就像一个硬币的两面 它们共同的基础是人类的创造力 它们追求的目标都是真理的普遍性 艺术 用创新的手法去唤起每个人的意识或潜意识中深藏着的已经存在的情感 科学 对自然界的现象进行新的准确的抽象 由人类优秀文化积淀 凝聚 孕育而成的人文精神 是在历史发展过程中形成的 人文精神是由优秀文化孕育而成的内在于主体的精神品格 李正道 2 学知识的同时 别忘记艺术与美的挖掘 别忘记欣赏 用欣赏的观点学习 因为知识是艺术 3 艺术与美的挖掘是自我的 不带厉害关系 不带功利性 因此 急功近利不是科学与艺术创造的风格和途径 4 科学与艺术创造更需要潜心 求知 无私的奉献 一 关于美与艺术关于弗朗兹 舒伯特 歌曲之王 奥地利作曲家弗朗兹 舒伯特于1797年1月31日出生于维也纳近郊的一个教师家庭 由于家境贫寒 年仅十一岁的舒伯特进入了当时一个供给食宿的教会儿童合唱团 在那 地狱 舒伯特语 般的生活里 舒伯特历经了艰难和困苦 然而 凭着个人的努力和对音乐的强烈热爱 他却掌握了许多音乐技能和理论 同时 还接触到了许多著名的音乐家 特别是维也纳古典派音乐家的作品及演奏 其中最使他敬仰和崇拜的是贝多芬 1813年 舒伯特到父亲所在的学校里担任了教师 但他并不喜欢这个职业 1818年 二十一岁的舒伯特终于辞掉了教师的职务 开始专心从事作曲 他一生从未任过公职 也没有得到过王公贵族的帮助 他只是通过自己的作品在艺术家中结交了许多患难与共的朋友 舒伯特一生贫困 没有结婚 1828年11月19日 年仅三十一岁的舒伯特 由于贫病交加 在维也纳的哥哥家中与世长辞 一 关于美与艺术舒伯特一生创作丰富多彩 留下了六百多首委婉动听的艺术歌曲 和许多不朽的器乐作品 其强烈的歌唱性可与莫扎特媲美 而欢快明朗的维也纳乡土气息又与海顿息息相通 他的器乐曲中宏大的组织结构 继承了贝多芬交响曲的传统 但更加奔放 富于幻想性 舒伯特的创作生涯虽然短暂 却给人类留下了一千多部音乐作品 其中除六百多首艺术歌曲外 还有九部交响曲 六首序曲 九部歌剧 二十四首室内乐作品 二十一首钢琴奏鸣曲和许多钢琴及其它器乐小品等等 遗憾的是 舒伯特生前从未听过自己这两部伟大作品的演奏 舒伯特是浪漫主义音乐的开创者之一 在世界音乐史上 他是作为早期浪漫主义的杰出代表出现的 他生前一直受到各方面的歧视 从未被人注意 死后才得到了很高评价 成为和莫扎特 贝多芬并列的杰出音乐大师 他生前維也納對他瞭解不多 即使死後很長一段時間 維也納也都沒有給這位天才應有的尊敬與重視 他的作品都有共同的特色 天使般優美純潔的旋律 一 关于美与艺术6 保持一分对真 善 美追求的激情在人类的历史上 大科学家 思想家 艺术家大多保持着儿时的天真 安徒生 保持儿时的天真与梦想 终成为童话作家 为世界留下很多优秀传世之作品 莎士比亚爱迪生达尔文舒伯特普里高金从欣赏的角度认识事物 7 历史上的大家风格或家境富裕 天资聪明 或爱好广泛 积极探索 凭童年的天真 持续 二 分形图形艺术及欣赏 1 分形 fractal 与分形学1 分形 由b b mandelbrot于1975年提出来的分形 fracta1 理论 是20世纪70年代同混沌理论一起发展起来的 是非线性科学的重要组成部分 分形的特征是整体和局部有严格的或统计意义下的自相似性 描述分形的定量参数为分维 分形在自然界中随处可见 曲折而不规则的闪电路径 弯曲复杂的海岸线形状 密如蛛网的人体血管系统 变换不定的宇宙星云分布以及材料的组织生长 准晶态的晶体结构 材料的损伤等等 从地理 生物到物理 化学甚至社会科学 例如分形理论与各种现代分析手段相结合 已用于研究高分子的链结构 结晶过程 凝胶化过程 高分子的相形态结构等等方面 分形公认的定义 分形是那些局部和整体按某种方式相似的图形 或结构 二 分形图形艺术及欣赏 1 分形 fractal 与分形学2 关于非线性线性系统是平凡的是特例 非线性系统是一般的 非线性系统意味着行为的复杂 系统演化有丰富的内涵 非线性系统行为给人的启示 不可忽略任何一件小事对你的影响 3 分形学分形学属几何学范畴 但不同于传统几何学 传统的欧氏几何以零维 一维 二维 三维 对应的点 线 面 体和时空来描述物体的形状 分形理论用 分维 fractaldimension 来描述大自然 事实上 任何物体的微观平面都是凹凸不平的 因而欧氏几何所描述的对象 严格来讲 在现实生活中是不存在的 分形是用来描述大自然的一门几何学 分形图形是具有某种意义上的自相似的图形 二 分形图形艺术及欣赏 2 分形图例1 分形图12 分形图23 sierpinsky 三 分形学的创立 1 分形学创立的科学基础1 关于复杂性探索问题科学史上至今尚未完全解决的两个基本问题是 1 有序和无序关系问题 2 可逆性和不可逆性关系问题著名热力学的熵增加原理2 当今世界面临的三大重要课题 1 寻求和探索新的资源 2 了解人类自身所处的环境 3 与大自然建立较少破坏性的和谐关系 3 如何贴近自然 认识自然挑战传统思维 更新思维看世界 4 探索系统复杂性的历程 三 分形学的创立 1 分形学创立的科学基础4 探索系统复杂性的历程 1 信息论 数学家 申农1946 信息量创始人 美国 c e shannon申农 香农 辞世 1916 2001 2 控制论 控制论专家 维纳1948 诺伯特 维纳 norbertwiener 1894年11月26日 1964年3月1日 美国应用数学家 控制论的创始人 3 系统论 生物学家 贝特兰菲1968 路德维希 冯 贝塔朗菲 ludwigvonbertalanffy 1901 1972 美籍奥地利理论生物学家和哲学家 一般系统论的创始人 4 耗散结构 理论物理学家 普里高津20世纪70年代 耗散结构理论的创始人是伊里亚 普里戈金 ilyaprigogine 教授 由于对非平衡热力学尤其是建立耗散结构理论方面的贡献 他荣获了1977年诺贝尔化学奖 5 协同论 理论物理学家 哈肯20世纪70年代 协同学是20世纪70年代初联邦德国理论物理学家哈肯创立的 6 突变论 法国数学家 汤姆 5 关于耗散结构耗散结构理论由比利时理论物理学家prigogine于70年代创立定义为 在远离平衡点的非线性区 系统通过和外界进行能力和物质的交换而维持的一种时间或空间的有序结构 耗散结构认为 一个封闭的平衡系统 总是要趋于最大熵状态 退化过程 为了摆脱这种状态 只有设法把系统改造成为开放系统 通过和外界环境进行能量和物质的交换 使系统进入远离平衡态的不可逆非平衡过程 才有可能形成新的有序结构 进化的过程 两个关键词 开放 非平衡 耗散结构的理论是高深的 涵义是朴实的 对人们认识与改造自然 社会具有极高的指导意义 三 分形学的创立 6 关于协同学 1 协同学是由前联邦德国理论物理学家哈肯 haken 于1977年创立 2 协同学是研究系统中的子系统怎样合作 以产生宏观的空间结构 时间结构或功能结构 这里所说的空间结构 时间结构 功能结构就是目前通常所说的自组织结构 3 自组织现象 贝那德对流水花 激光实验 生态学事例 生命的产生 苹果树的大小年问题等 4 自组织现象的特征开放性 合作性 随机性 个性 5 协同学表明 在一定条件下 系统原来所处的稳定平衡位置可以变成为非稳定的 然后在非稳定状态的基础上 由涨落的作用 系统可能会过度到一个新的更为有序的稳定结构 从而实现系统的自组织过程 三 分形学的创立 三 分形学的创立 2 分形学创立的数学基础1 关于几何形态 传统的几何学描述的几何对象 点 线 面 体 较规范的曲线 曲面 更一般的流形 超曲面 不规则几何形态的描述 更一般的自然形态描述问题 康托三分集 柯曲雪花 传统数学与物理学的确定论孕育的分形的萌芽 2 关于空间维数问题欧氏空间是规则的整数维空间 是否应该存在小数维数的空间 小数维数的空间图形是什么形状 如何度量 3 关于标度问题 三 分形学的创立 3 分形在历史上的实例1 cantor三分集 cantor1845 1918 德国数学家 1883年定义了这个集合 三 分形学的创立 3 分形在历史上的实例2 vonkoch雪花 瑞典数学家1904年创建 三 分形学的创立 3 分形在历史上的实例3 siepinsky垫片 地毯 海绵 1882 1969波兰数学家 以他的名字命名的垫片 地毯 海绵曾经是数学中奇特的例子被广泛引用 三 分形学的创立 4 分形创立的生物形态学基础 自然形态的描述生物形态学 进化 生长的模拟 三 分形学的创立 5 分形学的创立者1 b benoitmandelbrot 1924生于华沙 后移居巴黎和美国 曾任教于哈佛大学 经济学 耶鲁大学 工程学 爱因斯坦医学院 生理学 ibm公司高级研究员 1975年创立分形学 1985年barnard奖 1986年获frankin奖 1988年获艺术科学奖 注 有人认为 b benoitmandelbrot的贡献将历史上公认的反例摆正了位置 使其成为分形学的主角 b benoitmandelbrot有一段话 我赞扬这些早年的数学家 因为他们早就为我提供了象cantor集等这样的结构 使我能把他们串联在一起进行思考 从而发现其宝贵的价值 同时 我也责备他们 因为他们虽然构造出了许多精彩的反例 却没有发现他们之间的内在联系 反而象对待不受欢迎的畸形怪胎那样 认为那是不正常的事情 这样以来 真正深刻的内涵反而被完全忽视了 三 分形学的创立 6 创立者的素质 美 g holton著 物理科学的概念和理论导论 291页 奇怪的是 在科学上 对基本概念作出创始性修改的人 常常是那些在该门学科没有受过初始专业训练的人 这种人并没有受过该学科的已确立的方法和观点的训练 而是第一次以外行人的成熟的观点接触该学科的问题 他有时能对这些问题作出非正统的但确是显然简单的解答书中例子 普遍的能量守恒定律 是从工程学 生理学和哲学进入物理学的 l 德布罗意 提出物理学中广泛对称性问题 是一位杰出的物理学家 但他的第一个学位是巴黎大学的历史学学位 原打算从政 但由于经常和哥哥 物理学家讨论问题而感兴趣 所关心的自然界中最基本的问题 空间 时间 物质 能量 达尔文的进化论 四 分形的度量 空间与几何对象的维数1 欧氏空间的维数 描述空间中点所需要的参数个数 2 几何对象的维数 描述几何对象或物体中的点所需要的参数的个数 传统的欧几里德维数 欧几里德维数只能描述规则的几何对象 把病态 复杂 奇异的对象抛弃 3 hausedorff维数 hausedorff 数学家1919 认为 空间的维数应该是连续的 这样就有可能表达奇异几何对象 考虑到 四 分形的度量 空间与几何对象的维数4 几何体的hausedorff维数计算 对一般的几何体 设想用单位长为直径的小圆去覆盖几何体 用到小圆的数量与小圆的直径有关 小圆直径越小越应准确 于是考虑直径趋于无穷的极限 5 一些分形的hausedorff维数 1 cantor三分集df 0 63039 3 vonkoch雪花df m 4 c 1 3d 2ln2 ln3 1 2618 4 siepinsky垫片d ln3 ln2 1 5850 四 分形的度量 2 分形的维数问题1 历史上维数的概念 19世纪后半叶开始认真研究 空间的维数 刻画空间中的点所需要最少的实参数的个数 坐标 几何对象 实体 的维数 点 线 面 体 的维数0 1 2 3物理实体的维数 依赖于度量的标度 尺度 著名毛线球问题 远看抽象成质点 0维 近看是球体 三维 细看是毛线 一维 放大细看 弯弯的柱体相似结构 分形结构 实体维数与其所在的空间维数是有区别的 四 分形的度量 2 分形维数的简单定义对自相似集 只要将局部放大到一定倍数 总可以得到与整体一致的图形 称为自相似集 1 相似维数 对自相似集s d lnm ln 1 c 其中 m为组成s的相似子集的个数 c为相似比例系数对sierpinsky垫片 m 3 c 0 5 d ln3 ln2 1 5850 对koch曲线 m 4 c 1 3d 2ln2 ln3 1 2618 2 容量维数 对平面上的有界点集s 找到一个正方形包含s 将正方形等分割成边长为r的小正方形 则盖住s的小正方形的数量记为n r d lim lnn r ln 1 r 极限是取r趋于0 五 分形的结构 分形定义的内涵 局部与整体按某种方式相似 揭示1 分形图形的任何一个局部都有其丰富的内涵 揭示2 分形可以由简单到复杂进行复制 由简单构造复杂 揭示3 分形揭示事物的一种演化 生长的过程 按某种方式相似表明 复制与演化的机制可以不同 确定性 随机性 单一方式 多种方式混合等 分形的结构严格自相似分形 由简单生成元 按一定生成规则 不断生成 多生成元 多规则等随机生成随机分形 六 分形几何构形与分形艺术 分形构造与分形艺术分形构造方法是按分形局部与整体相似的类型建立复制机制 为使构造的图形更自然 可以是确定性 也可以是随机性或二者结合 分形图形既能体现出传统的对称美感 又能体现出显示中自然美 不对称的和谐 利用计算机算法与颜色的资源构造出的图形 动画 动漫等计算机图形艺术 2 分形构造的要素初始轮廓 生成元 生成规则 演化 进化规则 单一规则或多规则按确定性或随机性调用 构造方法 递归生成算法 l 系统文法 迭代函数系统 逃逸时间法 其它方法等 七 分形计算机生成 一 递归算法1 一个很简单的故事 从前有座山 1 描述分形的涵义 其任何局部都有丰富的内涵 永无完结 永无平凡 2 递归算法的涵义 迭代不休止 递归调用2 递归算法框图 一个过程直接或间接地调用自身1 直接递归调用 2 间接调用1 直接递归调用 编制函数文件 在函数文件中调用自身 七 分形计算机生成 一 递归算法绘制cantor三分集的直接方法 程序 functiony cantor x 定义函数y 1 x 1 0 5 y 2 x 1 x 2 x 1 3 0 5 y 3 x 1 2 x 2 x 1 3 0 5 y 4 x 2 0 5 上述四句定义一级康托三分集四个端点的坐标向量 注 x分量不变 y分量增加5各单位 为什么 plot y 1 1 2 y 2 1 2 holdonplot y 1 3 4 y 2 3 4 holdon 上述四句绘制图形if x 1 2 x 1 1 0 00001 returnend 定义终止迭带条件cantor y 1 2 cantor y 3 4 递归算法3 cantor集的递归生成 间接调用 1 编程原理 给定初始直线段两端点坐标矩阵b ax bx ay by 绘制直线段图形 编制函数子程序由b生成cantor三分集四端点坐标矩阵 对矩阵b递归调用函数子程序生成各级cantor三分集并画图 2 程序组织 编制函数子程序生成四点的坐标矩阵 主程序中 给定小量c正数 控制调用次数 给定初始直线段端点坐标矩阵 对坐标矩阵循环调用函数子程序生成高一级矩阵 画图 并检验集合中线段两段点是否小于预先给定的小量c 决定是否终止程序运行 七 分形生成的递归算法3 cantor集的递归生成 3 程序 递归算法4 koch折线的递归生成编程原理 对给定的两点组成的线段 建立函数子程序 输出一级折线顶点坐标矩阵 给定初始直线段端点坐标矩阵 对上一级折线坐标矩阵各线段端点坐标依次递归调用函数子程序计算并将计算结果添加到下一级坐标矩阵 绘制图形 设置小正数c决定调用是否终止 递归算法4 koch折线的递归生成程序 二 l 系统与分形生成 1 文法构图算法l 系统介绍文法构图算法是利用有限个字符或单词 按一定规则生成的语法结构 20世纪50年代美国语言学家乔姆撕基 n chomsky 给出了递归生成语言的算法 指定一个或几个初始字母 和一组生成规则 将生成规则反复作用在初始字母和新生成的字母上产生出语言 美国生物学家 aristidlindenmayer 1925 1989 在研究植物形态进化和构造时 于1968年提出一种文法描述方法 graftal 后来被数学家 计算机科学家发展为形式语言的一个分支 称为l systems ls 1984年 a r smith首次将l systems引入到计算机图形学领域 l systems文法的主要内容 1 用一定的字母表和字符串表示生成对象的初始形式 称为 公理 2 根据制定好的重写规则 对生成的对象的部分进行重写 替换 更新 生成所需的对象 l systems文法应用于分形递归生成方法 1 建立初始字符串2 生成文法规则3 生成字符串4 根据生成字符串中字符的含义 将字符串转换为图形 l 系统与分形生成 4 koch曲线的l s文法生成1 确定初始字符集及其代表含义2 确定初始形式3 重写 将生成形式中的字符替换为初始形式1 koch字符集f 向前移动一个单位 逆时针旋转600 顺时针旋转6002 koch曲线初始形式 f f f f重写 利用计算机语言编程不断地读字符串的每一个字符 如果遇到字符 f 则将字符 f 用初始形式改写 绘制图形 将生成的字符串的每一个字符进行解释绘制图形 注意每读一个字符要记忆转角的变化 l 系统与分形生成 5 考虑上述的生成元 可能生成的图形 1 字符集f 向前移动一个单位画线 逆时针旋转900 顺时针旋转9002 初始形式 f f f f f3 重写4 绘图6 随机l 系统考虑将多个生成规则 以一定的概率对字符串进行重写 生成的图形就更自然 6 l 系统的应用 生物形态模拟 自然景观描述 自动机等 二 l 系统与分形生成 f f f f f f f f f f ff f f f f f f len 3 象素长angle 30 转角为30度degree 4 迭代次数 多规则随机调用生成的分形树 l 系统与分形生成 多规则确定性调用规则生成的分形树 三 迭代函数系统 简介1 迭代函数系统的创立迭代函数系统 iteratedfunctionsystem ifs 分形构形的重要方法 人们认为它可能是分形图形图像处理中最富有生命力和具有广阔应用前景的领域 m f barnsley 美籍英国人 1946年生 美国佐治亚理工学院数学家 因创立这一系统成为很有影响的数学家 1985年创立了这一分形构形系统 ifs 将迭代函数系统应用实际问题取得成功 创建了迭代系统公司 stephendemko等对其进行了公式化 使其使用方便 2 迭代函数系统构形的特点根据分形的自相似性 建立几个相似变换的组合迭代完成整体构图 引入随机性调用不同的函数 对图形的生成性态可以更丰富 递归生成算法注重分形的细节到整体的迭代关系 编程的逻辑性较强 细节的刻画较困难 迭代函数系统将这种困难消化在每个迭代函数中 迭代函数系统构图是归结为点的迭代轨迹 不是局部的重画 因此 相比之下实现更容易 迭代函数系统 2 迭代函数系统原理1 仿射变换与压缩映射s rn rn线性变换 s满足 s x y s x s y s lx ls x 若当且仅当x 0时s x 0 则称s是非奇异线性变换 s rn rn仿射变换 设s是非奇异线性变换 则称w x s x a 为仿射变换 仿射变换在不同方向上可以有不同尺度的压缩与扩张 s rn rn压缩映射 当给定一个仿射变换w x 总可以找到一个实数s满足 w x w y s x y 满足上述的最小的s称为函数w的lipschitz常数 当s 1时 称为压缩映射 2 迭代函数系统原理一个二维的ifs由两部分组成 一个仿射压缩变换的集合 w1 w2 wn 一个概率的集合 p1 p2 pn 满足 w1 w2 wn分别将分形初始图形映射到它的n个局部 n个局部拼贴成整体 于是n个压缩映射将初始分形在不同方向上移动 压缩 p1 p2 pn之和为1表示各函数调用的概率 通常概率均等方式调用 根据分形的相似结构 构造一组仿射压缩变换w1 w2 wn每个w实现不同的压缩与仿射的方向 选取初始分形上的点 利用这些函数的按一定规律的调用迭代出的点的轨迹描点 逐渐显示出分形的容貌 这里的规律通常选取按一定概率调用各个迭代函数 这样生成的图形的过程更有自然的效果 3 ifs系统的实际构造 1 3 1 2 w1 x 0 5x 0y 0y 0 x 0 5y 0w2 x 0 5x 0y 0 5y 0 x 0 5y 0w3 x 0 5x 0y 0 25y 0 x 0 5y 0 5 sierpinsky垫片的ifs码 迭代函数系统 3 ifs系统的实际构造 1 3 1 2 w1 x 0 5x 0y 0y 0 x 0 5y 0w2 x 0 5x 0y 0 5y 0 x 0 5y 0w3 x 0 5x 0y 0 25y 0 x 0 5y 0 5 sierpinsky垫片的ifs码 迭代函数系统 3 ifs系统的实际构造 1 3 1 2 w1 x 0 5x 0y 0y 0 x 0 5y 0w2 x 0 5x 0y 0 5y 0 x 0 5y 0w3 x 0 5x 0y 0 25y 0 x 0 5y 0 5 sierpinsky垫片的ifs码 迭代函数系统 四 逃逸时间法 关于逃逸时间法 逃逸时间法是一种基于函数迭代法的描点绘图的方法 可以进行算法收敛性的可视化描述 一种迭代算法 p1 f p0 pn 1 f pn 给定m 和最大迭代次数n 对区域d中的p0 经过n次迭代 超过m 则称为逃逸 对于不同次数迭代逃逸的p0 绘制不同的颜色 就能反映算法特点 2 julia集1 关于juliajulia gaston 1893 1978 法国数学家 1919年第一次世界大战受伤 在医院期间潜心研究迭代变换 zn 1 z2n c 给定z0 c 迭代的点列绘制的图形 2 julia集 考虑 zn 1 z2n c 对给定的复数c经过上述迭代得到模收敛和不收敛的点列的初始值集合的边界点的集合称为julia集 1 c 0 2 c 0 12375 0 56508 i 3 c 0 12 0 74 i 逃逸时间法3 julia集的绘制设屏幕分辨率a b 可显示k 1种颜色步骤0 选定c p q i常数 xmin ymin 1 xmax ymax 1 m 100令dx xmax xmin a 1 dy ymax ymin b 1 步骤1 nx 1 any 1 bx xmin nx dxy ymin ny dyk 0 记录迭代次数 步骤2 xk 1 x2k y2k p yk 1 2xkyk qk k 1步骤3 计算r x2k y2k若r m选择颜色k 转步骤4 若k k 选择颜色0 转步骤4 若r m 且k k则转步骤2 步骤4 对点 nx ny 显示颜色k 并转至下一点 3 逃逸时间法的涵义 1 迭代函数选取 2 m k的选取及意义 3 逃逸的涵义 4 颜色0的涵义 5 颜色的级别 6 julia集外点迭代的结果如何 逃逸时间法4 mandelbrot集