弹塑性力学-第九章

弹塑性力学 重庆大学土木工程学院 第九章塑性极限分析 第九章塑性极限分析 9 1梁的弹塑性分析9 2梁和刚架的极限分析9 3梁和刚架极限荷载的上下限定理 9 0绪论 荷载增加到某一数值不再继续增加 而结构的变形仍会继续产生的状态 极限状态的重要性质 1 应变率的弹性部分恒为零 即塑性流动时的应变率是纯塑性应变率 2 极限状态的唯一性 即极限状态与加载历史无关 也与初始状态无关 1 当加载方式确定时 极限荷载是唯一确定的 2 当极限荷载给定时 极限状态是唯一的 极限状态 极限荷载 极限状态相应的荷载 极限承载能力 9 1梁的弹塑性分析 两个基本假定 1 平截面假定 梁的横截面变形之后仍然保持平面 2 只有截面上的正应力是主要的 其它应力分量都可忽略 问题就转化为简单应力状态问题 9 1梁的弹塑性分析 一 矩形截面梁的理想弹塑性纯弯曲 9 1 9 2 截面上的应力关系 离中性轴距离为y的一点的应变 9 3 曲率 小变形情况 9 3 挠度 ydy ydy 9 1梁的弹塑性分析 1 截面先处于弹性阶段 图a 9 5 截面惯性矩 9 6 代入 9 2 代回 9 5 9 7 9 1梁的弹塑性分析 2 上下最外层的应力最先达到屈服 图 b 代回 9 5 9 8 弹性极限弯矩 曲率 9 9 9 10 9 1梁的弹塑性分析 3 M Me 塑性区向截面内扩展 图 c 9 11 弹塑性交界 即 9 12 9 13 9 1梁的弹塑性分析 3 M Me 塑性区向截面内扩展 图 c 9 14 4 0 截面全部进入塑性状态 图 d 常见的截面形状系数 截面形状系数 9 1梁的弹塑性分析 引入无量纲的量 9 14 9 16 简化 当截面全部进入塑性状态 m 1 5 后 曲率可以任意增长 这时可将截面看作一个铰 称为塑性铰 塑性铰的待征 1 铰上作用弯矩 弯矩值保持为极限弯矩 2 铰的转角 可以任意增大 但必须同弯矩的方向一致 9 1梁的弹塑性分析 二 卸载情形 残余曲率和残余应力 9 17 9 18 M K完全服从弹性规律 残余曲率 卸载前一时刻的曲率与M 的关系 卸载过程中的M K弹性规律 9 15 9 1梁的弹塑性分析 9 19 残余应力 图9 5梁内的残余应力 9 1梁的弹塑性分析 三 横向弯曲的弹塑性分析 9 20 A点B点将首先进入塑性 P Pe后 在x 处梁分为两段考虑 交界线为 x 0处的弹性域 9 1梁的弹塑性分析 三 横向弯曲的弹塑性分析 进入塑性区域的梁段占整梁的1 3 固定端的弹性区域完全消失 Ps即梁的极限荷载 求挠度 各 9 1梁的弹塑性分析 三 横向弯曲的弹塑性分析 曲率方程 悬臂梁达到塑性极限荷载时 挠度还是弹性量级的 9 2梁和刚架的极限分析 一 梁的极限分析 M K曲线假设 图9 8 图9 8理想刚塑性模型 开始梁内弯矩按弹性超静定梁计算 最大弯矩截面A处 9 2梁和刚架的极限分析 一 梁的极限分析 最大正弯矩截面B处 点A B都变成塑性铰 Ps是塑性极限荷载 对于一个n次的超静定梁 当梁内出现n十1个塑性铰时 就可成为一个几何可变机构 对应的荷载即是极限荷载 9 2梁和刚架的极限分析 一 梁的极限分析 1 机动法 假设可能破损的机构 令外载在这个机构运动过程中所做的功与塑性铰在同一过程中所做的内力功相等 可以求得要形成这个机构所需的外载 内力功 外力功 内力功 外力功 2 静力法 在弯矩可能是最大的一些截面处 使弯矩达到屈服条件 M Ms 使结构成为一个机构 然后利用平衡方程求得整个结构的弯距分布 9 2梁和刚架的极限分析 二 刚架的极限分析 右图是一个平面框架 设各截面的塑性极限弯矩Ms相同 受水平力3P及竖直力2P的作用 求结构能承受的最大荷载P值 9 2梁和刚架的极限分析 二 刚架的极限分析 机动法 9 2梁和刚架的极限分析 对机构 a 对机构 b 对机构 c 对机构 d 取最小的P为Ps 9 2梁和刚架的极限分析 二 刚架的极限分析 静力法 先取2 3及4成铰作为机构 按虚功原理得 点5处水平力 考虑柱45的平衡 再考虑柱12的平衡 违反屈服条件 减小P至原值的1 12 结构很安全 不成为机构 9 2梁和刚架的极限分析 二 刚架的极限分析 取1 2及4成铰作为机构 考虑柱45的平衡 没有超过屈服条件 按虚功原理 9 3梁和刚架极限荷载的上下限定理 寻求结构所能承受外力P的最大乘子S 机动场 运动可能场 是一组满足运动约束条件的位移场 和截面转角 i 并且外力P在 上做正功 机动乘子 静力场 静力许可场 它是一组满足平衡方程和不违背屈服条件的弯炬分布Mi0 与它平衡的外力为S0P S0称为静力乘子 真实极限状态的外力 SP 9 3梁和刚架极限荷载的上下限定理 上限定理 真实的安全乘子S是最小的机动乘子 下限定理 真实的安全乘子S是最大的静力乘子 9 21 如果找到一个乘子既满足机动场 也满足静力场 则上述定理保证它是真实的安全乘子 SP是极限荷载 否则可以分别求得它的上限和下限 并改进这些上下限 以得到极限荷载的一个可靠估计 9 3梁和刚架极限荷载的上下限定理 上限定理证明 9 22 9 23 以机动场为虚位移 将真实应力和外力场作用在机动场 按虚功原理 按机动乘