中考复习三角形专题一(含答案)

20182018 年年 0202 月月 2828 日刘笑天的初中数学组卷日刘笑天的初中数学组卷 一 选择题 共一 选择题 共 1212 小题 小题 1 如图 两个三角形的面积分别是 9 6 对应阴影部分的面积分别是 m n 则 m n 等于 A 2B 3C 4D 无法确定 2 如图 在四边形 ABCD 中 AB CD BA 和 CD 的延长线交于点 E 若点 P 使得 S PAB S PCD 则满足此条件的点 P A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 组成 E 的角平分线 D 组成 E 的角平分线所在的直线 E 点除外 3 如图 AD 是 ABC 的角平分线 则 AB AC 等于 A BD CD B AD CD C BC AD D BC AC 4 如图 在 ABC 中 A 36 AB AC BD 是 ABC 的角平分线 若在边 AB 上 截取 BE BC 连接 DE 则图中等腰三角形共有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 5 平面直角坐标系中 已知 A 2 2 B 4 0 若在坐标轴上取点 C 使 ABC 为等腰三角形 则满足条件的点 C 的个数是 A 5B 6C 7D 8 6 如图 已知 ABC 的面积为 12 AD 平分 BAC 且 AD BD 于点 D 则 ADC 的面积是 A 10B 8C 6D 4 7 如图 在下列三角形中 若 AB AC 则不能被一条直线分成两个小等腰三角 形的是 A B C D 8 如图 P 为边长为 2 的正三角形内任意一点 过 P 点分别作三边的垂线 垂 足分别为 D E F 则 PD PE PF 的值为 A B C 2D 2 9 如图 ABC 的面积为 20 点 D 是 BC 边上一点 且 BD BC 点 G 是 AB 上 一点 点 H 在 ABC 内部 且四边形 BDHG 是平行四边形 则图中阴影部分的面 积是 A 5B 10C 15D 20 10 如图 在四边形 ABCD 中 ABC 90 AB BC 2 E F 分别是 AD CD 的 中点 连接 BE BF EF 若四边形 ABCD 的面积为 6 则 BEF 的面积为 A 2B C D 3 二 填空题 共二 填空题 共 1414 小题 小题 11 如图 在 ABC 中 已知 1 2 BE CD AB 5 AE 2 则 CE 12 如图 ABC 的三边 AB BC CA 长分别为 40 50 60 其三条角平分线交 于点 O 则 S ABO S BCO S CAO 13 如图 在 ABC 中 B 40 三角形的外角 DAC 和 ACF 的平分线交于点 E 则 AEC 14 如图 矩形 EFGH 内接于 ABC 且边 FG 落在 BC 上 若 AD BC BC 3 AD 2 EF EH 那么 EH 的长为 15 在三角形纸片 ABC 中 C 90 B 30 点 D 不与 B C 重合 是 BC 上 任意一点 将此三角形纸片按下列方式折叠 若 EF 的长度为 a 则 DEF 的周 长为 用含 a 的式子表示 16 如图 Rt ABC 中 B 90 AB 4 BC 3 AC 的垂直平分线 DE 分别交 AB AC 于 D E 两点 则 CD 的长为 17 如图 ABC 中 C 90 CA CB 点 M 在线段 AB 上 GMB A BG MG 垂足为 G MG 与 BC 相交于点 H 若 MH 8cm 则 BG cm 18 如图 1 4 在直角边分别为 3 和 4 的直角三角形中 每多作一条斜边上的 高就增加一个三角形的内切圆 依此类推 图 10 中有 10 个直角三角形的内切 圆 它们的面积分别记为 S1 S2 S3 S10 则 S1 S2 S3 S10 19 如图 在 ABC 中 CD 是高 CE 是中线 CE CB 点 A D 关于点 F 对称 过点 F 作 FG CD 交 AC 边于点 G 连接 GE 若 AC 18 BC 12 则 CEG 的周 长为 20 如图 等边三角形的顶点 A 1 1 B 3 1 规定把等边 ABC 先沿 x 轴翻折 再向左平移 1 个单位 为一次变换 如果这样连续经过 2017 次变换后 等边 ABC 的顶点 C 的坐标为 21 如图 在 ABC 中 AB BC 4 AO BO P 是射线 CO 上的一个动点 AOC 60 则当 PAB 为直角三角形时 AP 的长为 22 如图 在一张长为 7cm 宽为 5cm 的矩形纸片上 现要剪下一个腰长为 4cm 的等腰三角形 要求 等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合 其余的 两个顶点在矩形的边上 则剪下的等腰三角形的面积为 23 在 ABC 中 AB 13 AC 20 BC 边上的高为 12 则 ABC 的面积为 24 如图 在四边形 ABCD 中 ABC 90 AB 3 BC 4 CD 10 DA 5 则四 边形 ABCD 的面积为 BD 的长为 三 解答题 共三 解答题 共 4 4 小题 小题 25 如图 在四边形 ABCD 中 A C 45 ADB ABC 105 1 若 AD 2 求 AB 2 若 AB CD 2 2 求 AB 26 如图 在矩形 ABCD 中 AD 60cm CD 120cm E F 为 AB 边的三等分点 以 EF 为边在矩形内作等边三角形 MEF N 为 AB 边上一点 EN 10cm 请在矩形内找一点 P 使 PMN 为等边三角形 画出图形 并直接写出 PMF 的 面积 27 如图 已知 Rt ABC 中 ACB 90 CD 是斜边 AB 上的中线 过点 A 作 AE CD AE 分别与 CD CB 相交于点 H E AH 2CH 1 求 sinB 的值 2 如果 CD 求 BE 的值 28 如图 ACB 和 DCE 均为等腰三角形 点 A D E 在同一直线上 连接 BE 1 如图 1 若 CAB CBA CDE CED 50 求证 AD BE 求 AEB 的度数 2 如图 2 若 ACB DCE 120 CM 为 DCE 中 DE 边上的高 BN 为 ABE 中 AE 边上的高 试证明 AE 2CM BN 20182018 年年 0202 月月 2828 日刘笑天的初中数学组卷日刘笑天的初中数学组卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 1212 小题 小题 1 如图 两个三角形的面积分别是 9 6 对应阴影部分的面积分别是 m n 则 m n 等于 A 2B 3C 4D 无法确定 分析 设空白出的面积为 x 根据题意列出关系式 相减即可求出 m n 的值 解答 解 设空白出图形的面积为 x 根据题意得 m x 9 n x 6 则 m n 9 6 3 故选 B 点评 本题考查了三角形的面积 设出未知数 根据三角形的面积得出关系 式是解决问题的关键 2 如图 在四边形 ABCD 中 AB CD BA 和 CD 的延长线交于点 E 若点 P 使得 S PAB S PCD 则满足此条件的点 P A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 组成 E 的角平分线 D 组成 E 的角平分线所在的直线 E 点除外 分析 根据角平分线的性质分析 作 E 的平分线 点 P 到 AB 和 CD 的距离 相等 即可得到 S PAB S PCD 解答 解 作 E 的平分线 可得点 P 到 AB 和 CD 的距离相等 因为 AB CD 所以此时点 P 满足 S PAB S PCD 故选 D 点评 此题考查角平分线的性质 关键是根据 AB CD 和三角形等底作出等高 即可 3 如图 AD 是 ABC 的角平分线 则 AB AC 等于 A BD CD B AD CD C BC AD D BC AC 分析 先过点 B 作 BE AC 交 AD 延长线于点 E 由于 BE AC 利用平行线分 线段成比例定理的推论 平行线的性质 可得 BDE CDA E DAC 再 利用相似三角形的性质可有 而利用 AD 时角平分线又知 E DAC BAD 于是 BE AB 等量代换即可证 解答 解 如图 过点 B 作 BE AC 交 AD 延长线于点 E BE AC DBE C E CAD BDE CDA 又 AD 是角平分线 E DAC BAD BE AB AB AC BD CD 故选 A 点评 此题考查了角平分线的定义 相似三角形的判定和性质 平行线分线 段成比例定理的推论 关键是作平行线 4 如图 在 ABC 中 A 36 AB AC BD 是 ABC 的角平分线 若在边 AB 上 截取 BE BC 连接 DE 则图中等腰三角形共有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 分析 根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数 再根据等腰三角形的 判定即可找出图中的等腰三角形 解答 解 AB AC ABC 是等腰三角形 AB AC A 36 ABC C 72 BD 是 ABC 的角平分线 ABD DBC ABC 36 A ABD 36 BD AD ABD 是等腰三角形 在 BCD 中 BDC 180 DBC C 180 36 72 72 C BDC 72 BD BC BCD 是等腰三角形 BE BC BD BE BDE 是等腰三角形 BED 180 36 2 72 ADE BED A 72 36 36 A ADE DE AE ADE 是等腰三角形 图中的等腰三角形有 5 个 故选 D 点评 此题考查了等腰三角形的判定 用到的知识点是等腰三角形的判定 三角形内角和定理 三角形外角的性质 三角形的角平分线定义等 解题时要 找出所有的等腰三角形 不要遗漏 5 平面直角坐标系中 已知 A 2 2 B 4 0 若在坐标轴上取点 C 使 ABC 为等腰三角形 则满足条件的点 C 的个数是 A 5B 6C 7D 8 分析 由点 A B 的坐标可得到 AB 2 然后分类讨论 若 AC AB 若 BC AB 若 CA CB 确定 C 点的个数 解答 解 点 A B 的坐标分别为 2 2 B 4 0 AB 2 若 AC AB 以 A 为圆心 AB 为半径画弧与坐标轴有 3 个交点 含 B 点 即 0 0 4 0 0 4 点 0 4 与直线 AB 共线 满足 ABC 是等腰三角形的 C 点有 1 个 若 BC AB 以 B 为圆心 BA 为半径画弧与坐标轴有 2 个交点 A 点除外 即 满足 ABC 是等腰三角形的 C 点有 2 个 若 CA CB 作 AB 的垂直平分线与坐标轴有两个交点 即满足 ABC 是等腰三 角形的 C 点有 2 个 综上所述 点 C 在坐标轴上 ABC 是等腰三角形 符合条件的点 C 共有 5 个 故选 A 点评 本题考查了等腰三角形的判定 也考查了通过坐标确定图形的性质以 及分类讨论思想的运用 6 如图 已知 ABC 的面积为 12 AD 平分 BAC 且 AD BD 于点 D 则 ADC 的面积是 A 10B 8C 6D 4 分析 延长 BD 交 AC 于点 E 则可知 ABE 为等腰三角形 则 S ABD S ADE S BDC S CDE 可得出 S ADC S ABC 解答 解 如图 延长 BD 交 AC 于点 E AD 平分 BAE AD BD BAD EAD ADB ADE 在 ABD 和 AED 中 ABD AED ASA BD DE S ABD S ADE S BDC S CDE S ABD S BDC S ADE S CDE S ADC S ADC S ABC 12 6 故选 C 点评 本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用 由 BD DE 得到 S ABD S ADE S BDC S CDE是解题的关键 7 如图 在下列三角形中 若 AB AC 则不能被一条直线分成两个小等腰三角 形的是 A B C D 分析 A D 是黄金三角形 C 过 A 点作 BC 的垂线即可 只有 B 选项不能被 一条直线分成两个小等腰三角形 解答 解 A 中作 B 的角平分线即可 C 过 A 点作 BC 的垂线即可 D 中以 A 为顶点 AB 为一边在三角形内部作一个 72 度的角即可 只有 B 选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形 故选 B 点评 此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握 此题的 4 个选项中只有 D 选项有点难度 所以此题属于中档题 8 如图 P 为边长为 2 的正三角形内任意一点 过 P 点分别作三边的垂线 垂 足分别为 D E F 则 PD PE PF 的值为 A B C 2D 2 分析 首先连接 PA PB PC 再根据正三角形的面积的求法 求出边长为 2 的正三角形的面积是多少 然后判断出 SABC SAPB SAPC SBPC PD PE PF 据此求出 PD PE PF 的值为多少即可 解答 解 如图 连接 PA PB PC ABC 是边长为 2 的正三角形 ABC 的面积为 SABC SAPB SAPC SBPC 2 PD 2 PF 2 PE PD PE PF PD PE PF 即 PD PE PF 的值为 故选 B 点评 1 此题主要考查了等边三角形的性质和应用 要熟练掌握 解答此 题的关键是要明确 等边三角形的三个内角都相等 且都等于 60 等边三 角形是轴对称图形 它有三条对称轴 它的任意一角的平分线都垂直平分对 边 三边的垂直平分线是对称轴 2 此题还考查了等边三角形的面积的求法 要熟练掌握 解答此题的关键是 要明确 边长是 a 的等边三角形的面积是a2 9 如图 ABC 的面积为 20 点 D 是 BC 边上一点 且 BD BC 点 G 是 AB 上 一点 点 H 在 ABC 内部 且四边形 BDHG 是平行四边形 则图中阴影部分的面 积是 A 5B 10C 15D 20 分析 设 ABC 底边 BC 上的高为 h AGH 底边 GH 上的高为 h1 CGH 底边 GH 上的高为 h2 根据图形可知 h h1 h2 利用三角形的面积公式结合平行四边 形的性质即可得出 S阴影 S ABC 由此即可得出结论 解答 解 设 ABC 底边 BC 上的高为 h AGH 底边 GH 上的高为 h1 CGH 底边 GH 上的高为 h2 则有 h h1 h2 S ABC BC h 2 S阴影 S AGH S CGH GH h1 GH h2 GH h1 h2 GH h 四边形 BDHG 是平行四边形 且 BD BC GH BD BC S阴影 BC h S ABC 5 故选 A 点评 本题考查了三角形的面积公式以及平行四边形的性质 解题的关键是 找出 S阴影 S ABC 本题属于基础题 难度不大 解决该题型题目时 根据三 角形的面积公式找出阴影部分的面积与 ABC 的面积之间的关系是关键 10 如图 在四边形 ABCD 中 ABC 90 AB BC 2 E F 分别是 AD CD 的 中点 连接 BE BF EF 若四边形 ABCD 的面积为 6 则 BEF 的面积为 A 2B C D 3 分析 连接 AC 过 B 作 EF 的垂线 利用勾股定理可得 AC 易得 ABC 的面 积 可得 BG 和 ADC 的面积 三角形 ABC 与三角形 ACD 同底 利用面积比可得 它们高的比 而 GH 又是 ACD 以 AC 为底的高的一半 可得 GH 易得 BH 由中 位线的性质可得 EF 的长 利用三角形的面积公式可得结果 解答 解 连接 AC 过 B 作 EF 的垂线交 AC 于点 G 交 EF 于点 H ABC 90 AB BC 2 AC 4 ABC 为等腰三角形 BH AC ABG BCG 为等腰直角三角形 AG BG 2 S ABC AB BC 2 2 4 S ADC 2 2 DEF DAC GH BG BH 又 EF AC 2 S BEF EF BH 2 故选 C 方法二 S BEF S四边形 ABCD S ABE S BCF S FED 易知 S ABE S BCF S四边形 ABCD 3 S EDF S BEF S四边形 ABCD S ABE S BCF S FED 6 3 故选 C 点评 此题主要考查了三角形面积的运算 作出恰当的辅助线得到三角形的 底和高是解答此题的关键 二 填空题 共二 填空题 共 1414 小题 小题 11 如图 在 ABC 中 已知 1 2 BE CD AB 5 AE 2 则 CE 3 分析 由已知条件易证 ABE ACD 再根据全等三角形的性质得出结论 解答 解 ABE 和 ACD 中 ABE ACD AAS AD AE 2 AC AB 5 CE BD AB AD 3 故答案为 3 点评 本题主要考查了全等三角形的性质和判定 熟记定理是解题的关键 12 如图 ABC 的三边 AB BC CA 长分别为 40 50 60 其三条角平分线交 于点 O 则 S ABO S BCO S CAO 4 5 6 分析 首先过点 O 作 OD AB 于点 D 作 OE AC 于点 E 作 OF BC 于点 F 由 OA OB OC 是 ABC 的三条角平分线 根据角平分线的性质 可得 OD OE OF 又由 ABC 的三边 AB BC CA 长分别为 40 50 60 即可求得 S ABO S BCO S CAO的值 解答 解 过点 O 作 OD AB 于点 D 作 OE AC 于点 E 作 OF BC 于点 F OA OB OC 是 ABC 的三条角平分线 OD OE OF ABC 的三边 AB BC CA 长分别为 40 50 60 S ABO S BCO S CAO AB OD BC OF AC OE AB BC AC 40 50 60 4 5 6 故答案为 4 5 6 点评 此题考查了角平分线的性质 此题难度不大 注意掌握辅助线的作法 注意数形结合思想的应用 13 如图 在 ABC 中 B 40 三角形的外角 DAC 和 ACF 的平分线交于点 E 则 AEC 70 分析 根据三角形内角和定理 角平分线的定义以及三角形外角定理求得 DAC ACF B B 1 2 最后在 AEC 中利用三角形内角和定 理可以求得 AEC 的度数 解答 解 三角形的外角 DAC 和 ACF 的平分线交于点 E EAC DAC ECA ACF 又 B 40 已知 B 1 2 180 三角形内角和定理 DAC ACF B 2 B 1 B B 1 2 110 外角定理 AEC 180 DAC ACF 70 故答案为 70 点评 此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质 熟练应用角 平分线的性质是解题关键 14 如图 矩形 EFGH 内接于 ABC 且边 FG 落在 BC 上 若 AD BC BC 3 AD 2 EF EH 那么 EH 的长为 分析 设 EH 3x 表示出 EF 由 AD EF 表示出三角形 AEH 的边 EH 上的高 根 据三角形 AEH 与三角形 ABC 相似 利用相似三角形对应边上的高之比等于相似 比求出 x 的值 即为 EH 的长 解答 解 如图所示 四边形 EFGH 是矩形 EH BC AEH ABC AM EH AD BC 设 EH 3x 则有 EF 2x AM AD EF 2 2x 解得 x 则 EH 故答案为 点评 此题考查了相似三角形的判定与性质 以及矩形的性质 熟练掌握相 似三角形的判定与性质是解本题的关键 15 在三角形纸片 ABC 中 C 90 B 30 点 D 不与 B C 重合 是 BC 上 任意一点 将此三角形纸片按下列方式折叠 若 EF 的长度为 a 则 DEF 的周 长为 3a 用含 a 的式子表示 分析 由折叠的性质得出 BE EF a DE BE 则 BF 2a 由含 30 角的直角三角 形的性质得出 DF BF a 即可得出 DEF 的周长 解答 解 由折叠的性质得 B 点和 D 点是对称关系 DE BE 则 BE EF a BF 2a B 30 DF BF a DEF 的周长 DE EF DF BF DF 2a a 3a 故答案为 3a 点评 本题考查了翻折变换的性质 含 30 角的直角三角形的性质 三角形周 长的计算 熟练掌握翻折变换的性质 由含 30 角的直角三角形的性质得出 DF a 是解决问题的关键 16 如图 Rt ABC 中 B 90 AB 4 BC 3 AC 的垂直平分线 DE 分别交 AB AC 于 D E 两点 则 CD 的长为 分析 先根据线段垂直平分线的性质得出 CD AD 故 AB BD AD BD CD 设 CD x 则 BD 4 x 在 Rt BCD 中根据勾股定理求出 x 的值即可 解答 解 DE 是 AC 的垂直平分线 CD AD AB BD AD BD CD 设 CD x 则 BD 4 x 在 Rt BCD 中 CD2 BC2 BD2 即 x2 32 4 x 2 解得 x 故答案为 点评 本题考查的是线段垂直平分线的性质 熟知垂直平分线上任意一点 到线段两端点的距离相等是解答此题的关键 17 如图 ABC 中 C 90 CA CB 点 M 在线段 AB 上 GMB A BG MG 垂足为 G MG 与 BC 相交于点 H 若 MH 8cm 则 BG 4 cm 分析 如图 作 MD BC 于 D 延长 DE 交 BG 的延长线于 E 构建等腰 BDM 全等三角形 BED 和 MHD 利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等 得到 BE MH 所以 BG MH 4 解答 解 如图 作 MD BC 于 D 延长 MD 交 BG 的延长线于 E ABC 中 C 90 CA CB ABC A 45 GMB A GMB A 22 5 BG MG BGM 90 GBM 90 22 5 67 5 GBH EBM ABC 22 5 MD AC BMD A 45 BDM 为等腰直角三角形 BD DM 而 GBH 22 5 GM 平分 BMD 而 BG MG BG EG 即 BG BE MHD HMD E HMD 90 MHD E GBD 90 E HMD 90 E GBD HMD 在 BED 和 MHD 中 BED MHD AAS BE MH BG MH 4 故答案是 4 点评 本题考查了全等三角形的判定与性质 判定三角形全等的方法有 SSS SAS ASA AAS 全等三角形的对应边相等 也考查了等腰直角三角形的性 质 18 如图 1 4 在直角边分别为 3 和 4 的直角三角形中 每多作一条斜边上的 高就增加一个三角形的内切圆 依此类推 图 10 中有 10 个直角三角形的内切 圆 它们的面积分别记为 S1 S2 S3 S10 则 S1 S2 S3 S10 分析 1 图 1 作辅助线构建正方形 OECF 设圆 O 的半径为 r 根据切线 长定理表示出 AD 和 BD 的长 利用 AD BD 5 列方程求出半径 r a b 是 直角边 c 为斜边 运用圆面积公式 r2求出面积 2 图 2 先求斜边上的高 CD 的长 再由勾股定理求出 AD 和 BD 利用半径 r a b 是直角边 c 为斜边 求两个圆的半径 从而求出两圆的面积 和 3 图 3 继续求高 DM 和 CM BM 利用半径 r a b 是直角边 c 为 斜边 求三个圆的半径 从而求出三个圆的面积和 综上所述 发现 S1 S2 S3 S10 解答 解 1 图 1 过点 O 做 OE AC OF BC 垂足为 E F 则 OEC OFC 90 C 90 四边形 OECF 为矩形 OE OF 矩形 OECF 为正方形 设圆 O 的半径为 r 则 OE OF r AD AE 3 r BD 4 r 3 r 4 r 5 r 1 S1 12 2 图 2 由 S ABC 3 4 5 CD CD 由勾股定理得 AD BD 5 由 1 得 O 的半径 E 的半径 S1 S2 3 图 3 由 S CDB 4 MD MD 由勾股定理得 CM MB 4 由 1 得 O 的半径 E 的半径 F 的半径 S1 S2 S3 图 4 中的 S1 S2 S3 S4 则 S1 S2 S3 S10 故答案为 点评 本题考查了直角三角形的内切圆 这是一个图形变化类的规律题 首 先应找出图形哪些部分发生了变化 是按照什么规律变化的 通过分析找到各 部分的变化规律后直接利用规律求解 解决此题的思路为 先找出计算直角 三角形内切圆半径的规律 半径 r a b 是直角边 c 为斜边 利用 面积相等计算斜边上的高 运用勾股定理计算直角三角形的边长 19 如图 在 ABC 中 CD 是高 CE 是中线 CE CB 点 A D 关于点 F 对称 过点 F 作 FG CD 交 AC 边于点 G 连接 GE 若 AC 18 BC 12 则 CEG 的周 长为 27 分析 先根据点 A D 关于点 F 对称可知点 F 是 AD 的中点 再由 CD AB FG CD 可知 FG 是 ACD 的中位线 故可得出 CG 的长 再根据点 E 是 AB 的中点可知 GE 是 ABC 的中位线 故可得出 GE 的长 由此可得出结论 解答 解 点 A D 关于点 F 对称 点 F 是 AD 的中点 CD AB FG CD FG 是 ACD 的中位线 AC 18 BC 12 CG AC 9 点 E 是 AB 的中点 GE 是 ABC 的中位线 CE CB 12 GE BC 6 CEG 的周长 CG GE CE 9 6 12 27 故答案为 27 点评 本题考查的是三角形中位线定理 熟知三角形的中位线平行于第三边 并且等于第三边的一半是解答此题的关键 20 如图 等边三角形的顶点 A 1 1 B 3 1 规定把等边 ABC 先沿 x 轴翻折 再向左平移 1 个单位 为一次变换 如果这样连续经过 2017 次变换后 等边 ABC 的顶点 C 的坐标为 2015 1 分析 据轴对称判断出点 A 变换后在 x 轴下方 然后求出点 A 纵坐标 再根 据平移的距离求出点 A 变换后的横坐标 最后写出即可 解答 解 ABC 是等边三角形 AB 3 1 2 点 C 到 x 轴的距离为 1 2 1 横坐标为 2 C 2 1 第 2017 次变换后的三角形在 x 轴下方 点 C 的纵坐标为 1 横坐标为 2 2017 1 2015 所以 点 C 的对应点 C 的坐标是 2015 1 故答案为 2015 1 点评 本题考查了坐标与图形变化 平移 等边三角形的性质 读懂题目信息 确定出连续 2016 次这样的变换得到三角形在 x 轴上方是解题的关键 21 如图 在 ABC 中 AB BC 4 AO BO P 是射线 CO 上的一个动点 AOC 60 则当 PAB 为直角三角形时 AP 的长为 2或 2或 2 分析 利用分类讨论 当 ABP 90 时 如图 2 由对顶角的性质可得 AOC BOP 60 易得 BPO 30 易得 BP 的长 利用勾股定理可得 AP 的长 当 APB 90 时 分两种情况讨论 情况一 如图 1 利用直角三角形斜边的中 线等于斜边的一半得出 PO BO 易得 BOP 为等边三角形 利用锐角三角函数可 得 AP 的长 易得 BP 利用勾股定理可得 AP 的长 情况二 如图 3 利用直角 三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论 解答 解 当 APB 90 时 如图 1 AO BO PO BO AOC 60 BOP 60 BOP 为等边三角形 AB BC 4 AP AB sin60 4 2 当 ABP 90 时 如图 2 AOC BOP 60 BPO 30 BP 2 在直角三角形 ABP 中 AP 2 情况二 如图 3 AO BO APB 90 PO AO AOC 60 AOP 为等边三角形 AP AO 2 故答案为 2或 2或 2 点评 本题主要考查了勾股定理 含 30 直角三角形的性质和直角三角形斜边 的中线 分类讨论 数形结合是解答此题的关键 22 如图 在一张长为 7cm 宽为 5cm 的矩形纸片上 现要剪下一个腰长为 4cm 的等腰三角形 要求 等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合 其余的 两个顶点在矩形的边上 则剪下的等腰三角形的面积为 8cm2或 2cm2或 2 cm2 分析 因为等腰三角形腰的位置不明确 所以分三种情况进行讨论 1 AEF 为等腰直角三角形 直接利用面积公式求解即可 2 先利用勾股定理求出 AE 边上的高 BF 再代入面积公式求解 3 先求出 AE 边上的高 DF 再代入面积公式求解 解答 解 分三种情况计算 1 当 AE AF 4 时 如图 S AEF AE AF 4 4 8 cm2 2 当 AE EF 4 时 如图 则 BE 5 4 1 BF S AEF AE BF 4 2 cm2 3 当 AE EF 4 时 如图 则 DE 7 4 3 DF S AEF AE DF 4 2 cm2 故答案为 8 或 2或 2 点评 本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用 要根据三角 形的腰长的不确定分情况讨论 有一定的难度 23 在 ABC 中 AB 13 AC 20 BC 边上的高为 12 则 ABC 的面积为 126 或 66 分析 分两种情况 B 为锐角 B 为钝角 利用勾股定理求出 BD CD 即可求出 BC 的长 解答 解 分两种情况 当 B 为锐角时 如图 1 所示 在 Rt ABD 中 BD 5 在 Rt ADC 中 CD 16 BC BD CD 21 ABC 的面积为 21 12 126 当 B 为钝角时 如图 2 所示 在 Rt ABD 中 BC CD BD 16 5 11 所以 ABC 的面积为 11 12 66 故答案为 126 或 66 点评 本题主要考查了勾股定理 熟练掌握勾股定理 画出图形 分类讨论 是解答此题的关键 24 如图 在四边形 ABCD 中 ABC 90 AB 3 BC 4 CD 10 DA 5 则四 边形 ABCD 的面积为 31 BD 的长为 2 分析 连接 AC 在 Rt ABC 中 根据勾股定理求出 AC 的长 利用勾股定理 的逆定理 说明 ACD 是直角三角形 利用 Rt ABC 和 Rt ACD 的面积和求出 四边形 ABCD 的面积 过点 D 作 DE BC 交 BC 的延长线与点 E 易证明 ABC CED 求出 DE CE 的长 再利用勾股定理求出 BD 的长 解答 解 连接 AC 过点 D 作 DE BC 交 BC 的延长线与点 E 因为 ABC 90 AB 3 BC 4 AC 5 由于 AC2 CD2 25 100 125 AD2 5 2 125 AC2 CD2 AD2 所以 ACD 90 所以 S四边形 ABCD S ABD S ACD 3 4 5 10 6 25 31 DEC 90 DCE CDE 90 所以 DCE ACB 90 CDE ACB 又 ABC 90 ABC CED CE 6 DE 8 BE BC CE 10 在 Rt DEB 中 DB 2 故答案为 31 2 点评 本题考查了直角三角形的勾股定理和逆定理及相似三角形的判定 解 决本题的关键是连接 AC 利用直角三角形的面积求出四边形的面积 三 解答题 共三 解答题 共 4 4 小题 小题 25 如图 在四边形 ABCD 中 A C 45 ADB ABC 105 1 若 AD 2 求 AB 2 若 AB CD 2 2 求 AB 分析 1 在四边形 ABCD 中 由 A C 45 ADB ABC 105 得 BDF ADC ADB 165 105 60 ADE 与 BCF 为等腰直角三角形 求得 AE 利用锐角三角函数得 BE 得 AB 2 设 DE x 利用 1 的某些结论 特殊角的三角函数和勾股定理 表示 AB CD 得结果 解答 解 1 过 D 点作 DE AB 过点 B 作 BF CD A C 45 ADB ABC 105 ADC 360 A C ABC 360 45 45 105 165 BDF ADC ADB 165 105 60 ADE 与 BCF 为等腰直角三角形 AD 2 AE DE ABC 105 ABD 105 45 30 30 BE AB 2 设 DE x 则 AE x BE BD 2x BDF 60 DBF 30 DF x BF CF AB AE BE CD DF CF x AB CD 2 2 AB 1 点评 本题考查了勾股定理 等腰直角三角形的判定和性质 含有 30 角的直 角三角形的性质 解题的关键是作辅助线 DE BF 构造直角三角形 求出相应 角的度数 26 如图 在矩形 ABCD 中 AD 60cm CD 120cm E F 为 AB 边的三等分点 以 EF 为边在矩形内作等边三角形 MEF N 为 AB 边上一点 EN 10cm 请在矩形内找一点 P 使 PMN 为等边三角形 画出图形 并直接写出 PMF 的 面积 分析 如图 以 MN 为边容易作出等边三角形 结合等边三角形的性质 连接 PE 可证明 MPE MNF 可证明 PE MF 容易求得 S PMF S MEF 可求得答 案 解答 解 如图 以 MN 为边 可作等边三角形 PMN PMF 的面积为 400 求解过程如下 连接 PE MEF 和 PMN 为等边三角形 PMN EMF MFE 60 MN MP ME MF PME NMF 在 MPE 和 MNF 中 MPE MNF SAS MEP MFE 60 PEN 60 PE MF S PMF S MEF EF2 400 点评 本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的性质和判定 利用全 等证得 PE MF 得到 S PMF S MEF是解题的关键 27 如图 已知 Rt ABC 中 ACB 90 CD 是斜边 AB 上的中线 过点 A 作 AE CD AE 分别与 CD CB 相交于点 H E AH 2CH 1 求 sinB 的值 2 如果 CD 求 BE 的值 分析 1 根据 ACB 90 CD 是斜边 AB 上的中线 可得出 CD BD 则 B BCD