第十六章-偏导数与全微分

第十六章 偏导数与全微分 1 偏导数与全微分的概念1求下列函数的偏导数：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) .2设考察函数在(0,0)点的偏导数.3证明函数在(0,0)点连续但偏导数不存在.4求下列函数的全微分：(1) ；(2) .5求下列函数在给定点的全微分：(1) 在点(1,0)和(0,1)； (2 ) 在点(0,1)和(1,1)；(3) 在点(1,1,1)；(4) 在点（0，1）.6考察函数在(0,0)点的可微性，其中7证明函数在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。8证明函数的偏导数存在，但偏导数在(0,0)点不连续，且在(0,0)点的任何邻域中无界，而在原点(0,0)可微。9设证明和在(0,0)点连续.10设证明在(0,0)点可微，并求.11设(1) 是通过原点的任意可微曲线（即时，、可微）.求证可微.(2) 在(0,0)不可微.12设很小，利用全微分推出下列各式的近似公式：(1) (2) .13设在矩形：内可微，且全微分恒为零，问在该矩形内是否应取常数值？证明你的结论.14设在存在，在连续，求证在可微.15求下列函数的所有二阶偏导数：(1) ；(2) ；(3) ；(3) .16求下列函数指定阶的偏导数：(1) ,求；(2) ，求所有三阶偏导数；(3) ,求，；(4) ,求；(5) ，求；(6) ,求.17验证下列函数满足.(1) ；(2) ；(3) ；(4) .18设函数，证明.19设在点的某邻域内存在且在点可微，则有 .2 复合函数与隐函数微分法1求下列函数的所有二阶偏导数：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) .2设，其中是可微函数，验证.3设，为常数，函数二阶可导，。证明 .4若函数对任意正实数满足关系，则称为次齐次函数.设可微，试证明为次齐次函数的充要条件是.5验证下列各式：(1) ,则；(2) ,则；(3) ,则；(4) ,则.6设可微，在极坐标变换，下，证明.这时称是一个形式不变量.8设函数满足拉普拉斯方程，证明在下列变换下形状保持不变，即仍有.(1) ,；(2) ；(3) 满足.这组方程称为柯西黎曼方程.9作自变量的变换，取为新自变量：(1) ,变换方程；(2) ,变换方程.10作自变量和因变量的变换，取为新的自变量，为新的因变量：(1) 设，变换方程；(2) 设，变换方程.11求下列方程所确定的函数的一阶和二阶偏导数：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .12求由下列方程所确定的函数的全微分；(1) ；(2) ；(3) ；(4) .13设由方程所确定，证明。14设，其中为由方程所确定的隐函数，求和.15设，其中为由方程所确定的隐函数，求，.16求下列方程组所确定的函数的导数和偏导数：(1） 求；(2) 求；(3) 求；(4) 求.17下列方程组定义为的函数，求，.(1) (2) 3 几何应用1求下列曲线在所示点处的切线方程和法平面方程“(1) ,在点；(2) ,在点(1,-1,2)；(3) ,在点(1,-2,1)；(4) ,在点.2求下列曲面在所示点处的切平面方程和法线方程：(1) ，在点（1,1,2）；(2) 在点；(3) 在点(2,1,12)；(4) 在点.3证明曲线在锥面的母线相交成同一角度.4求平面曲线上任一点的切线方程，并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长.5求曲面的切平面，使它平行于平面.6证明：曲面的切平面与某一定直线平行，其中为常数.7证明曲面的每一切平面都通过原点.8求两曲面 的交线在平面上的投影曲线的切线方程.4 方向导数1设，求在点沿到点的方向导数.2求函数在点处沿到点的方向上的方向导数.3求：(1) ，与轴正向的夹角为；(2) , 与向量同向.4设函数在可微，单位向量，确定使得.5设在可微，在指向的方向导数是1，指向原点的方向导数是3，试回答：(1) 指向的方向导数是多少？(2) 指向的方向导数是多少？5 泰勒公式1写出下列函数在指定点的泰勒公式：(1)，在(1,-2)点.(2) ，在(-1,1)点.2求函数在(1,1)点邻域的阶带拉格朗日余项的泰勒公式.3求函数在(1,-1)点邻域的二阶泰勒公式，并写出拉格朗日余项.4求下列函数在点邻域的四阶泰勒公式：(1) ；(2) ；(3) ;(4) 。5证明泰勒公式的唯一性：若 ，其中.求证（为非负整数，），并利用唯一性求带拉格朗日余项的阶泰勒展开式. 6通过对用中值定理，证明存在，使 . 7设在区域内有偏导数存在，且.证明在为常数. 8若是很小的量，导出下列函数准确到二次项的近似