利用导数求函数单调性题型全归纳

利用导数求函数单调性题型全归纳一.求单调区间二.函数单调性的判定与逆用三.利用单调性求字母取值范围四.比较大小五.证明不等式六.求极值七.求最值八.解不等式九.函数零点个数（方程根的个数）十.探究函数图像一.求单调区间例1. 已知函数，求函数的单调区间解：.则令，因为当，所以 所以在上是增函数,又,所以不等式的解集为, 故函数的单调增区间为 减区间为：变式：已知，求的单调区间解：，当时，单调递增当时，由得：，在单调递增由得：，在单调递增综上所述：当时，的单调递增区间为：，无单调递减区间当时，的单调递增区间为：，递减区间为：二.函数单调性的判定与逆用例2.已知函数在上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数的取值集合解：因为函数在上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数所以在上有解所以，又，解得：，所以正整数的取值集合三.利用单调性求字母取值范围例3. 已知函数，若函数在上是减函数，求实数的最小值.解：因为在上是减函数所以在上恒成立，即在上恒成立令，则，则因为，所以，所以变式：若函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围.解：因为函数在区间上为减函数，在区间上为增函数所以恒成立，即所以，所以，所以四.比较大小例4. 设为实数，当时，比较与的大小关系.解：令，则令则，令得：当时，；当时，所以，因为，所以，所以在上单调递增所以，即，所以变式：对于上的可导函数，若满足，比较与的大小关系.解：因为所以当时，单调递增，故当时，单调递减，故所以五.证明不等式例5.已知函数， .证明：当时，存在，使得对任意的，恒有.证明：令 则有 当时，故 在上单调递增，.故任意实数 均满足题意. 当 时，令，得.当时，故 在上单调递增当时，故 在上单调递减取，对任意，有，故在上单调递增所以即，综上所述：当时，存在，使得对任意的，恒有.变式：已知关于的方程有两个不同的实数根.求证：证明：因为，所以，令则当时，单调递减，当时，单调递增因为关于的方程有两个不同的实数根所以不妨设，要证：，只需证：因为，且函数在上单调递减所以只需证：，又因为，所以只需证：即证：即证：对恒成立令，则因为，所以所以恒成立所以在上单调递减，所以综上所述：六.求极值例6.已知函数，是否存在实数，使得函数的极大值为3？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.解：令得：当时，恒成立，无极值，舍去当时，递增极大值递减极小值递增由表可知： 解得： 当时，递增极大值递减极小值递增由表可知：，即，所以：令，则所以在上单调递增，又所以函数在上无零点，即方程无解综上所述：存在实数，使得函数的极大值为3，此时七.求最值例7. 已知函数，若存在,使得（其中是自然对数的底数),求实数的取值范围.解：因为存在,使得成立, 而当时, 所以只要即可又因为,的变化情况如下表所示:减函数极小值增函数所以在上是减函数,在上是增函数,所以当时,的最小值,的最大值为和中的最大值. 因为, 令,因为, 所以在上是增函数.而,故当时,即; 当时,即 所以,当时,即,函数在上是增函数,解得; 当时,即,函数在上是减函数,解得. 综上可知,所求的取值范围为 变式：已知函数在区间上的最小值为1，求实数的值.解：，令，则所以在区间单调递增，所以存在唯一的，使得，即所以当时，单调递减当时，单调递增所以，由得：所以 当且仅当即，由得，此时，满足条件，所以八.解不等式例8. 函数，对任意，解不等式： 解：令，则因为对任意，所以，所以为上的单调递增函数，又所以当即，所以，所以即不等式：的解集为变式：已知定义在上的可导函数满足，若，求的取值范围.解：令，则，因为所以，所以为上递减函数由，得：即，所以，即九.函数零点个数（方程根的个数）例9. 已知在处取得极值.若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.解： ，因为在处取得极值所以，即，检验知符合题意.令递增极大值递减所以因为方程在区间上恰有两个不同的实数根所以，即解得：所以实数的取值范围是：变式：已知函数是上的可导函数，当时，有，判断函数的零点个数解：当时，有，即令，则所以当时，函数在单调递增且，所以当时，恒成立，函数无零点当时，函数在单调递减且恒成立所以在上为单调递减函数且当时，所以当时，所以所以在上有唯一零点综上所述：在上有唯一零点十.探究函数图像例10.设函数在定义域内可导，的图像如图所示，则导函数的图像可能为下列图像的 . （4）（3）（2）（1）解：由的图像可判断出：在递减，在上先增后减再增所以在上，在上先有，后有，再有.所以图（4）符合.变式：已知函数，若关于的不等式只有两个整数解，求实数的取值范围.解：，令得所以当时，单调递增当时，单调递减由当时，当时，作出的大致函数图像如图所示：因