第四章-平面向量-复习讲义

第1节平面向量的概念及线性运算考纲了然于胸1了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义要点梳理1向量的有关概念名称定义备注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)如a，零向量长度等于零的向量；其方向不确定记作0单位向量给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0.a0共线(平行)向量如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行向量a与b平行记作ab相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量如a相反向量与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量记作a2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0，若(a2b)(2ab)，则x的值为()A4 B8 C0 D25若平面向量b与向量a(1，2)的夹角是180，且|b|3，则b等于()A(3,6) B(3，6) C(6，3) D(6,3)6(2016九江模拟)Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，nR是两个向量集合，则PQ等于_7(2015高考新课标卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.8ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p(ac，b)，q(ba，ca)，且pq，则角C_.9已知a(1,0)，b(2,1)求(1)|a3b|；(2)当k为何实数时，kab与a3b平行，平行时它们是同向还是反向？10(2016莱芜一模)如图，已知OCB中，点C是以A为中点的点B的对称点，D是将分为21的一个内分点，DC和OA交于点E，设a，.(1)用a和b表示向量、；(2)若，求实数的值能力提升组11非零不共线向量、，且2xy，若 (R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是()Axy20 B2xy10 Cx2y20 D2xy2012(2016朝阳一模)在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，则的值为()A. B. C. D113在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是()A(0，) B(0，) C(，0) D(，0)14(2016成都市调研)设G为ABC的重心，若ABC所在平面内一点P满足22，则的值等于_15已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线第3节平面向量的数量积及应用考纲了然于胸1理解平面向量数量积的含义及物理意义；2了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系要点梳理1向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，如图所示，则AOB叫做向量a与b的夹角，也可记作a，b.(2)范围：向量夹角的范围是0，a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角.(3)垂直关系：如果非零向量a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab.2平面向量的数量积(1)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则向量a与b的数量积是数量|a|b|cos ，记作ab，即ab|a|b|cos .(2)向量的投影：设为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是|a|cos ；向量b在a方向上的投影是|b|cos .(3)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积. 3平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a、b的夹角.向量表示坐标表示数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2|4平面向量数量积的运算律已知向量a、b、c和实数，则：(1)交换律：abba；(2)结合律：(a)b(ab)a(b)；(3)分配律：(ab)cacbc.质疑探究：对于非零向量a、b、c.(1)若acbc，则ab吗？(2)(ab)ca(bc)恒成立吗？提示：(1)不一定有ab，因为acbcc(ab)0，即c与ab垂直，但不一定有ab.因此向量数量积不满足消去律(2)因为(ab)c与向量c共线，(bc)a与向量a共线所以(ab)c与a(bc)不一定相等，即向量的数量积不满足结合律5向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、夹角等问题6平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积即WFs|F|s|cos (为F与s的夹角)小题查验1下面结论正确的个数有()(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量(3)由ab0可得a或b.(4)(ab)ca(bc)(5)两个向量的夹角的范围是0，A1 B2C3 D52(2015高考山东卷)已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则()Aa2 Ba2 C.a2 D.a23已知|a|4，|b|3，a与b的夹角为120，则b在a方向上的投影为()A2 B. C2 D4设向量a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，则|a|_.5已知向量a、b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_考点一平面向量的数量积的运算(基础型考点自主练透)方法链接向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos a，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.提醒(1)在向量数量积的运算中，若abac(a)，则不一定得到bc.(2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)题组集训1(2016南昌市模拟)已知向量e1(cos ，sin )，e2(2sin ，4cos )，则e1e2_.2(2016昆明市调研)已知向量a，b的夹角为120，且|a|1，|b|2，则向量ab在向量ab方向上的投影是_3(2016石家庄市质检)在矩形ABCD中，AB2，BC1，E为BC的中点，若F为该矩形内(含边界)任意一点，则的最大值为_考点二平面向量数量积的性质(高频型考点多角探明)考情聚焦平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直角度一平面向量的模1已知平面向量a，b的夹角为，且|a|，|b|2，在ABC中，2a2b，2a6b，D为BC中点，则|等于()A2 B4C6 D82(2014北京高考)已知向量a，b满足|a|1，b(2,1)，且ab(R)，则|_.角度二平面向量的夹角3向量a，b均为非零向量，(a2b)a，(b2a)b，则a，b的夹角为()A.B.C.D.4(2014江西高考)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _.角度三平面向量的垂直5(2014重庆高考)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k()A B0 C3 D.6在直角三角形ABC中，已知(2,3)，(1，k)，则k的值为_通关锦囊平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos ，要注意0，(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x，y)，则|a|.题组集训1(2016石家庄质检)已知向量a、b的夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|()A3 B2 C. D12(2016武汉调研)已知向量a，b，满足|a|3，|b|2，且a(ab)，则a与b的夹角为()A. B. C. D.考点三数量积的综合应用(重点型考点师生共研)【例】(1)已知向量a，b是夹角为60的两个单位向量，向量ab(R)与向量a2b垂直，则实数的值为()A1 B1 C2 D0(2)(2016郑州市质检)在ABC中，若2，则ABC是()A等边三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D直角三角形【名师说“法”】(1)若a，b为非零向量，则abab0；若非零向量a(x1，y)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径(3)向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化，可用来解决几何中的线线垂直问题跟踪训练(1)(2016荆州质检)已知向量a与b的夹角是，且|a|1，|b|4，若(2ab)a，则实数_.(2)(2016厦门质检)已知点O，N，P在ABC所在的平面内，且|，0，则点O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心 C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心易错警示8数量积的正负与向量夹角关系不清典例(2016江西省七校联考)已知a(3,2)，b(2，1)，若向量ab与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围是_易错分析此题易忽略1时，有 ab与a b同向防范措施向量数量积正负与向量夹角是钝角、锐角不等价，如：mn0时，其m，n可为锐角，也可为0，mn0，其m，n可为钝角，也可为.此类题要考虑m与n共线情况课堂小结【方法与技巧】1计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧4向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题5以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法6向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题【失误与防范】1(1)0与实数0的区别：0a0，a(a)00，a00；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系2ab0不能推出a或b，因为ab0时，有可能ab.3abac(a)不能推出bc，即消去律不成立4注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价5注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a，b夹角为锐角和ab0不等价课时活页作业(二十六)基础训练组1已知向量a(1，1)，b(2，x)，若ab1，则x等于()A1 B C.D12(2015高考福建卷)已知非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B. C. D3设x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|等于()A. B. C2 D104(2016西安质检)在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为()A. B2 C5 D105ABC的外接圆圆心为O，半径为2，0，且|，则在方向上的投影为()A1 B2 C. D36(2014四川高考)平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m_.7在四边形ABCD中，(1,1)，则四边形ABCD的面积为_8(2015高考天津卷)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为_9已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1)计算：|ab|，|4a2b|；(2)当k为何值时，(a2b)(kab)?10在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a(1，2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin ，t)(0)(1)若a，且|，求向量；(2)若向量与向量a共线，当k4，且tsin 取最大值4时，求.能力提升组11在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量(2,2)，(4,1)，在x轴上取一点P，使有最小值，则P点的坐标是()A(3,