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数学通报 1998年第 2期48 数学问题解答 1998年 1月号问题解答 (1) BC为斜边 ,= m,OP = n . 由三角形中线长公式知 : 22 22AP2 + AQ2 = 2 ( OA 2 + OP2)= 2 m+ 2 n.c,b d ,证明 : (a-b)( a +b2) (c-d)( c +d2 ).证明 a d a-bc-d又 幂函数 y=x 3在 R上是增函数 33 a d3 (1)且 (a-b) 3 (c-d) 3 (2)由 (1) ,得 b3 d3 a 3 -c 3 -(3) (2)+ 2 (3) ,得3 (a 3 -a 2 b+ ab2 -b3) 32 3 (c -cd+cd2 -d3 )于是 22(a-b)( a +b2 ) m)的圆 , BC的延长线交 O于 P, Q ,证明 : AP2 + AQ2 + PQ2为定值.证明作 ABC的外接圆 ,则圆心为 O ,半径为 m . (图 1) (图 2)又 PQ2 = 4 n 2 AP2 + AQ2 + PQ2 = 2 m 2 + 6 n 2 (定值 )情形 (2) BC为直角边 ,不妨设 B= 90. (图 2)设 AB =c,BC = a则 c 2 +a 2 = 4 m 2由相交弦定理知 BP BQ =(n-m)( n+ m) =n 2 -m 2又 BQ -BP = a ( BP = CQ ) AP2 + AQ2 + PQ2 = (AB2 + BP2) + (AB2 + BQ2) +(BQ+BP) 2 2 = 2 c +(BQ -BP) 2 + 2 BP BQ + (BQ -BP) 2 + 4 BP BQ 222 22 2 )= 2 c+ 2 a+ 6 (n -m 2) = 8 m+ 6 (n -m = 2 m 2 + 6 n 2 (定值 ) 1113设 P是 ABC内一点 ,且PAB = PBC = PCA = ( 即勃罗卡角 ),如果 B = C ,证明 : sin Asin = 5 -4cos A证明如图设 PA = x,PB = y,PC = z .显然 PAB PBC . AB y sin PCB = .BC z sin 从而 sin C= sin (C -) .sin A sin sin A= sin(B+C) = sin2 C, sin = 2sin (C -) cos C = sin2 C cos -2cos2 C sin.于是 tg = sin2 C= sin2 C= 1 + 2cos2 C 2 + cos2 C 利用同角三角函数关系可得 ctg2 =(2 -cos A) 2, 1115用 f (n)表示与 n最接近的整数 , n sin2 A csc 2 = 5 -4cos A , N ,求f( 1 k) .k= 1sin2 sin = sin A 解 64 1998 74且 74 . 5 -4cos A . 1114 RtABC中 , AB为斜边 .延长 AC到 A = ,延长 BC到 B,使 AA= BB= AB .给定一个正整数 m ,用 xm表示使 f(n) =mABC的内心为 I 41 MI与直线 AB的最大正整数 n .则 m xmm+ 2.从证明作 IE BC, MF BC ,其中 E, F是垂足 ;作 IK MF , K为垂足 .直线 MI交 AB于 H .记 BC = a,CA =b,AB =c .易知 IE = 11CE = (a+b -c),MF = b .22 11MK = MF-IE = b-(a+b-c) = 22 1 (c-a) ;2 11IK = EF =CF-CE = a-(a+b-c)22 1 = (c-b) .2 MK c-a =(1)IK c-b 又 BC= BB-BC =AB -BC =c-a , AC= AA-AC =AB -AC =c-b , BC c-a =(2)AC c-b 由 (1) , (2)知 : MK = BC ,IK AC 故有 RtMIK RtBAC IMK = ABC即HMF = HBF H,B,M, F四点共圆M HB= M FB= 90 MH AB,即 MI AB. 而 m 4 xm 1,右边不等式等号成立的充要条件为 : a1 ,a2 , , an中仅有一个为 1,其余为 0. (崔恒建提供 ) (贺斌提供 ) 1117设非负实数 a, b, c适合 a+b+c = 3,且 试证 : a2 -a1 a3 -a2 an-an-1 ,ab2 + bc 2 + ca 2 4 ,证明 : an 成等差数列的充要条件是 并指出等号成立的条件 . a1 +a3 + +a2 n+ 1 (李建潮计惠方提供 ) + +n N) 1118已知 a,b,c和 p分别为三角形的三边和(熊昌进提供 ) 半周长 ,且 a b c ,求证 : p 2 2 ac . tg x1如果 2 x1 x2 0,则 x1 1119设数列 x2 更正牡丹江师范学院数学系张国铭来信指出我刊 1996年第 3期上的浅谈数学分析教学中的几何直观文章有误 .张国铭提出的意见是正确的 .现更正如下 : x (1)原文例 3的证明中 “ 当 xX ,有 f(x) =f(t) dt f(t) dt X+ 1,有 0 f(x) f(t) dt ”. x-1 (2)最后一句话 “对 A 0或 A =- ,同理可证”改为 “若 A 0,或 A =- ,则将推出与 + f(x) dx收敛矛盾的结果 , 只能是 lim f(x) = 0 ”.ax + 数学通报 (月刊 ) 编辑出版数学通报编辑委员会SHUXUE TONGBAO 邮政编码 100875 (