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第三节等比数列及其前n项和 知识点一等比数列的概念1 等比数列的定义 1 条件 一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比等于 2 公比 是指常数 通常用字母q表示 q 0 3 定义表达式 n n q 0 同一个常数 2 等比数列的通项公式若等比数列 an 的首项是a1 公比是q 则其通项公式为 n n 推广式 an amqn m n m n 3 等比中项如果 成等比数列 那么g叫做a与b的等比中项 即g是a与b的等比中项 a g b成等比数列 an a1qn 1 g2 a b a g b 知识点二等比数列的前n项和及性质1 等比数列的前n项和公式 1 当公比q 1时 sn na1 2 等比数列的性质已知数列 an 是等比数列 sn是其前n项和 1 若m n p q 2r 则am an 2 数列am am k am 2k am 3k 仍是等比数列 3 数列sm s2m sm s3m s2m 仍是等比数列 此时 an 的公比q 1 ap aq 名师助学 方法1等比数列的性质的应用 1 等比数列的单调性设等比数列 an 的首项为a1 公比为q 当q 1 a1 0或01 a10时 数列 an 为递减数列 当q 1时 数列 an 是 非零 常数列 当q 1时 数列 an 是摆动数列 答案 1 a 2 c 点评 在等比数列的基本运算问题中 一般是列出a1 q满足的方程组 求解方程组 但有时运算量较大 如果可利用等比数列的性质 便可减少运算量 提高解题的速度 要注意挖掘已知和 隐含 的条件 方法2等比数列的判定与证明 方法3等差与等比数列的综合问题 1 在等差数列中蕴含等比关系 由等差数列设出数列的项 突出a1 d 利用等比数列列方程求解 同样等比数列中蕴含等差关系也如此解决 2 两个数列 一个是等差数列 另一个是等比数列 要找到它们之间的联系 来解决实际问题 3 解题时适当利用性质转化条件可简化运算 4 挖掘隐含条件 发现等差 或等比 关系 使解题目的明确 点评 关于等差 比 数列的基本运算 其实质就是解方程或方程组 需要认真计算 灵活处理已知条件 容易出现的问题主要有两个方面 一是计算出现失误 特别是利用因式分解求解方程的根时 不注意对根的符号进行判断
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