空间向量证明立体几何问题

空间向量证明立体几何问题 空间向量 空间向量的运算 空间向量基本定理 空间向量的坐标运算 加减和数乘运算 共线向量共面向量 空间向量的数量积 知识结构 夹角和距离平行和垂直 1 空间直角坐标系 以单位正方体的顶点O为原点 分别以射线OA OC 的方向为正方向 以线段OA OC 的长为单位长 建立三条数轴 x轴 y轴 z轴 这时我们建立了一个空间直角坐标系 B O为坐标原点 x轴 y轴 z轴叫坐标轴 通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面 一 基本概念 右手直角坐标系 横轴 纵轴 竖轴 2 空间直角坐标系中点的坐标 有序实数组 x y z 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标 记作M x y z 其中x叫做点M的横坐标 y叫做点M的纵坐标 z叫做点M的竖坐标 如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面 称这个向量垂直于平面 记作n 这时向量n叫做平面 的法向量 4 平面的法向量 3 直线的方向向量 1 假设平面法向量的坐标为n x y z 2 根据n a 0且n b 0可列出方程组 3 取某一个变量为常数 当然取得越简单越好 便得到平面法向量n的坐标 5 平面法向量的求法 设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 是平面 内的两个不共线的非零向量 由直线与平面垂直的判定定理知 若n a且n b 则n 换句话说 若n a 0且n b 0 则n 可按如下步骤求出平面的法向量的坐标 例 已知A 2 1 1 B 2 7 0 C 6 4 1 求平面ABC的法向量 解 平面ABC的法向量为 例 在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中 O是面AC的中心 求面OA1D1的法向量 解 以A为原点建立空间直角坐标系O xyz 如图 则O 1 1 0 A1 0 0 2 D1 0 2 2 设平面OA1D1的法向量的法向量为n x y z 由 1 1 2 1 1 2 得 解得 取z 1得平面OA1D1的法向量的坐标n 2 0 1 5 两法向量所成的角与二面角的关系 设n1 n2分别是二面角两个半平面 的法向量 由几何知识可知 二面角 L 的大小与法向量n1 n2夹角相等或互补 于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角 二 基本公式 1 两点间的距离公式 线段的长度 2 向量的长度公式 向量的模 3 向量的坐标运算公式 4 两个向量平行的条件 5 两个向量垂直的条件 或 7 重心坐标公式 6 中点坐标公式 9 直线与平面所成角公式 8 直线与直线所成角公式 10 平面与平面所成角公式 为二面角两个半平面的法向量 11 点到平面的距离公式 PM为平面的斜线 为平面的法向量 12 异面直线的距离公式 A B为异面直线上两点 为公垂线的方向向量 利用向量求角 直线与直线所成的角 直线与平面所成的角 平面与平面所成的角 二面角 利用向量求距离 点到直线的距离 点到平面的距离 直线到平面的距离 平行到平面的距离 直线到直线的距离 三 基本应用 利用向量证平行 利用向量证垂直 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行 垂直问题 四 基本方法 1 平行问题 角度问题 距离问题 点到点的距离 点到平面的距离 直线到直线的距离直接用公式求解 点到直线的距离 直线到平面的距离 平面到平面的距离转化为点到平面的距离求解 例 五 典型例题 所以 解 以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示 不妨设则 C 所以与所成角的余弦值为 N 解 如图建立坐标系A xyz 则 N 又 例 在正方体AC1中 E为DD1的中点 求证 DB1 面A1C1E E F E X Y Z 或先求平面BDE的法向量再证明 设平面 X Y Z 例 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求证 面A1BD 面CB1D1 或先求两平面的法向量再证明 例 在正方体AC1中 E F分别是BB1 CD的中点 求证 面AED 面A1FD1 A B C D A1 B1 C1 D1 E F 或证明两平面的法向量垂直 练习 练习 练习 练习 练习 A B C C1 取x 1 z则y 1 z 1 所以 E A1 B1 A B C D E F G X Y Z 练习 练习 练习 练习 已知正方形ABCD的边长为1 PD平面ABCD 且PD 1 E F分别为AB BC的